抛物线的几何性质

1、今天努力一点，明天幸福一点抛物线一、抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的简单几何性质1 1、范围：因为p0,p0,由方程y y2 2=2px=2px可知，这条抛物线上任意一点M M的坐标(x,y)满足不等式x之 0,所以这条抛物线在y y轴的右侧；当x的值增大时，|y也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2 2、对称性：以-y y代y,y,方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3 3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程y y2 2=2px(p0)=2px(

2、p0)中，当y=0 时，x=0,因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4 4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e表示.按照抛物线的定义，e=1知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点MI,M2,线段M1M2叫作抛物线的通径，将 x=：代入y2=2px得 y=p,故抛物线y2=2px的通径长为 2P例 1 1、已知点M(x,y)在抛物线y2=8x上，则f(x,y)=x2y2+12x+9的取值范围？分析：本题的实质是将f(x,y)转化为关于x的二次函数，求二次函数在区间0,依)上的最值.f(x,y)=x2-8x+12x+9=(x+

3、22+5,又xwfo,),所以当 x=0 时，f(x,y)取得最小值9,当xWb,时，f(x,y)=(x+2)2+5,无最大值.故f(x,y)=x2y2+12x+9的取值范围为9,二答案：9,二今天努力一点，明天幸福一点二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质:标准方程2-y=2px(p0)2-y=-2px(p0)2-x=2py(p0)2-x=2py(p0)图像ly-一yJylc/0FxI0 xl范围x 轴x 轴y轴y轴对称轴x0,ywRxE0,ywRy20,xwRy0,x=R焦点坐标(P，0)2(-,0)2(0-)2(0，-上)2准线方程x-Px2x-Px2yT顶点坐标0(0,0)离心率e=1

4、通径长2p知识剖析：(1)通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为0(0,0),离心率均为1,它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.(2)抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形；顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点；焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是 0ce1,抛物线的离心率是 e=1；椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物

5、线时切忌将其画成双曲线今天努力一点，明天幸福一点例 2 2、 某抛物线的顶点是椭圆16x2+9y2=144的中心， 而焦点为椭圆的左顶点， 求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为(-3,0),所以可直接设抛物线的标准方程，求得p后可得方程.22答案：解：由16x2+9y2=144得：=1，所以椭圆的左顶点为(-3,0).由题意设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p0),由=3,得p=6,故所求抛物线的标准方程为y2=-12x.三、焦点弦问题及其应用1 1、焦点弦如图，ABAB 是抛物线y2=2px(p0)过焦点 F F 的一条弦.设点人依，必)B(x2,y2),线

6、段 ABAB 的中点为M(址芈卜过 A,B,M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A,B,M1,则根据抛物线的定义有|AF+BF|=AA|十|BB.又MM1是梯形AARB的中位线，:AB=|AA+|BB,=2MM1综上可得以下结论:AF=x1+匕 BF=x2+匕二 AB=Jx1x2+卫=x1+x2+p,其常被称作抛物线的焦22I2jI2j点弦长公式.AB|=2.ix0+R(焦点弦长与中点的关系)I2)若直线 ABAB 的倾斜角为，则 AB=一 sin;推导：AB=|AF+|BF|=x+x2+p由的推导知，当 ABAB 不垂直于x轴时，y1+y2=2p(k=0)ky1y2PJ?pkk2当 k

7、不存在时，即 a=90时,分析：利用点斜式写出直线 ABAB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况.1-2+f 为定值-.今天努力一点，明天幸福一点2p,二 AB=2+2pktanY2p十 112P=-2Jsin2aA、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2p2松=，y1y2=-p推导：丫焦点 F 的坐标为 3,0；2,当 ABAB 不垂直于x轴时，可设直线 ABAB 的方程为:，P，八y=kIxk=0,2y=kx_)，由I2分y=2pxRI2 人得：ky?2pykp2=02丫佻-p,x1x2二2V1V24p24p4p2当 ABAB 垂直于x轴时，直线 ABAB

8、 的方程为:则yi=p,y2=-p=YIY2=-P2,XIX2二2p2p4AFBF一 2为定值-P推导:由焦半径公式知,AF=x1+,BF=x221AFBFxx2p2xx2：为 x2A又 x1x2+x2=AB-p,代入上式得:1AFABBF2p_+_p42(ABY故AF22|BF|pA.FPiFP2=FP3C.2FP2=FPFP32,2B.FP1+FP2=FP3D.|FP22=FP1LFP3,今天努力一点，明天幸福一点2 2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质(1)抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切(2)抛物线y2=2px(p0)中，设 ABAB 为焦点弦，M M 为准线与X轴的交点

9、，则/ /AMFAMF=/=/BMFBMF(3)设 AB 为抛物线的焦点弦.点 A、B 在准线上的射影分别为点A、B,若 P 为 AB 的中点，则 PAPA，PBPB；O 为抛物线的顶点,若 AO 的延长线交准线于点 C,连接 BC,则 BC 平行于X轴，反之,若过点 B B作平行于x轴的直线交准线于点 C,则 A,O,C 三点共线.(4)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦.例 3 3、已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为土的直线，被抛物线所4截得的弦长为6,求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在X轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),则焦点 F F的

10、坐标为,0j,直线 l 的方程为 y=x-p.设直线 l 与抛物线的交点为A(xi,yJB(x2,y2),过点 A,B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A、B1,则有：AB=AF+BF=AA1+BB1=i%+-|+1x2+卫=x+x2+p=6,I2 八 2jv=v=x x-K-K22由42,消去 y,得1x-f=2px,即 x23px+=02o22JH4J=2px3.x,+x2=3p,代入式得：3p+p=6,J.p=2，所求抛物线的标准方程为y2=3x当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：y2=-3x例 4 4、已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为 F F,点P(K,yi)、PUx2,y2)、鸟(兄以心抛物线上,且2x2=x1+乂3,则有(今天努力一点，明天幸福一点解析