排列组合归纳总结

1、排列、组合及二项式定理一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理一1 .分类加法计数原理定义完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有mi种方法，在第二类力法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事情共有N=mi+m2+mn种不同的方法.2 .分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有mi种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有N=mim2mn种不同的方法.3 .分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数.区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任

2、一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.4 .分类分步标准分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；(2)总数完整。分步是局部到位，(1)按事件发生的连贯过程进行分步；(2)步与步之间相互独立，互不干扰；(3)保证连续性。7排列与组合1 .排歹U(1)排列定义：从n个不同元素中，任取m(m0n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数公式：Am=C：A：=n(n1)(n2)n(m+1)或一，、n!一，与成AR?=.特殊：Ann=n!=n(n-1)!(nm)!(3)特征：有序且不

3、重复2 .组合(1)组合定义：从n个不同元素中，任取m(m0n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.mn(n1)(n2)(nm+1)(2)组合数公式：cm=d=或写Amm!n!成cm=.m!(nm)!组合数的性质cm=cn-m；cm+1=crn+cm-1.(4)特征：有序且不重复3 .排列与组合的区别与联系：区别：排列有序，组合无序联系：排列可视为先组合后全排4 .基本原则：(1)先特殊后一般；(2)先选后排；(3)先分类后分步。一排列组合的应用(常用方法：直接法，间接法)1 .抽取问题：(1)关键：特殊优先；(2)题型：把n个相同的小球，一次性的放入到m个不同的盒子中

4、(nwm),每个盒子至少1个，有多少种不同的方法cmn把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中(nwm),每个盒子至少1个，有多少种不同的方法Amn把n个相同的小球，放入到m个不同的盒子中(n<m),每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法mn把n个不同的小球，放入到m个不同的盒子中（n<m）,每个盒子至少1个，有多少种不同的方法Amn把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（n>m）,每个盒子至多1个，有多少种不同的方法Cn-im-1隔板法2 .排序问题：特殊优先（1）排队问题：对n个元素做不重复排序Ann;对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定）排列片;

5、如果对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置n固定）排列蓬广；AmAK相邻问题一捆绑法（注意松绑）；不相邻问题：（a）一方不相邻一先排没要求的元素，再把不相邻的元素插入空位；（b）互不相邻先排少的在插入多的；数字问题；各位相加为奇数的-奇数的个数是奇数；各位相加为偶数的-奇数的个数是偶数；组成n为偶数（奇数）的数-特殊优先法；能被n整除的数-特殊优先法；比某数大的数，比某数小的数或某数的位置-从大于（小于）开始排，再排等于；着色问题:区域优先-颜色就是分类点颜色优先-区域就是分类点几何问题:点、线、面的关系一般均为组合问题;的最短距离C83分组、分配问题:图中有多少个矩形非均分

6、不编号;n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相mi_m2等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽-CnCn-Cm3nm1m2非均分编号;n个不同元素分成m组，每组组元素数目均不相mim2m3等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽CnCnmiCnm1m2?？A均分不编号浦个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等,且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽miCnCm2nmm3nmi均分编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽._mim2m3_km(CnCn'Cn'i?父间二、二项式定理1 .定理：(a+b)n=Cnanb0+Cnan

7、-ib+C2an-2b2+-+Cnan-rbr+Cna0bn(r=0,i,2,，n).2 .二项展开式的通项Tr+i=Chan-rbr,r=0,1,2,，n,其中Ch叫做二项式系数.3 .二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即cr=cr,Cn=CRT,，Cn=Cn最大值：当n为偶数时,中间的一项匿二项式系数取维由值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.各二项式系数的和a. CR+CA+C2+CK+CR=2n;1b. Cn+C2+,+Cnr+,=Cn+Cn+,+Cnr+1+-=_-2=2n-12一二项式定理的应用：1 .求通项；Tr1Cnra

8、nrbr2 .含xr的项：项的系数；二项式系数。3 .常数项(含xr的项中r=0)整数项(含xr的项中r6N)有理项(含xr的项中r6Z)无理项(含xr的项中rZ)4 .项的系数和：(1)已知多项式f(x)=(a+bx)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+anxn:ao=f(0)a。+a1+a2+an=f(1)=(a+b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=f(1)=(a+b)n;ff(1)；a0+a2+a4+=2'a1田田+二皿产；(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f(1)f(-1)(2)已知多项式f(x)=(a-bx)n(a,b>0)=a

9、0+aix+a2x2+anxn:a0=f(0)ao+ai+a2+an=f(1)=(a-b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=f(-1)=(a+b)nff(i);a。+a2+a4+=2'(5)ai+a3+a5+=f1f-);2(a0+a2+a4+-)2-(a1+a3+a5+)2=f(1)f(-1)。(3)已知多项式f(x)=(ax-b)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+anxn:令g(x)=(-1)n(b-ax)na0=f(0) a0+a1+a2+an=f(1)=(a-b)n; |a0|+|a1|+|a2|+-+|an|=|(-1)n|g(-1)ff(1);a0+

10、a2+a4+=2'a1+a3+a5+=f1f);2(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f(1)f(-1)。(4)已知多项式f(x)=(-ax-b)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+anxn:令g(x)=(-1)n(ax+b)na0=f(0)a0+a1+a2+.+an=f(1)=(a-b)n;|a0|+|a1|+|a2|+-+|an|=|(-1)n|g(1)ff(1).a0+a2+a4+=2'ai+a3+a5+=f(1)2"1;(ao+a2+a4+-)2-(a1+a3+a5+)2=f(1)f(-1)。5.最值问题：n二项式系数最大：(a)当n为偶数时，二项式系数中，C?最n1n