广西桂林第十八中学2015届高三全真模拟二数学理试题版含答案

1、绝密启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（桂林十八中适应性考试2）本试卷分第I卷（选择题）和第口卷（非选择题）两部分，其中第口卷第2224题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1 .答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2 .选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号在各题的

2、答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4 .保持卡面清洁，不折叠，不破损。5 .做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知全集U=1,2,3,4,5,集合M=3,4,5，N=l,2,5,则集合1,2可以表示为（）A.MnNB.（UM）nNC.Mn（UN）D.（筋M）R（uN）2.若复数a&（aWR,i为虚数单位1-2i性纯虚数，则实数a的值为（A. -6B. -2C.4D.63.若等比数列an的前n项和SnA.

3、 4B. 124.设a=0.3,b=log36,A.c>b>aC. a>c>bC.24C=log510,b>c>aa>b>c-3n-2,则D. 3a则（）a25 .某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A.-36 .有4名优秀学生A,B,则不同的保送方案共有A.26种B.32种3D全部被保送到甲,3乙，丙3所学校,56种，2x-y4_0,7 .已知不等式组x+y-3<0,构成平面区域C（其中y_0z=ax+6y（a>0）的最小值为-6,则实数a的值为（8 .执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（A.14B.15C.16D.1

4、7FU每所学校至少去一名,x,y是变量）。若目标函数9.在MBC中，ZBAC=120；l,AB=2,AC=1,D是边BCk的点(包括端点y则,A.ADbC的取值范围是(1，2B. 0,1C. 0,2D.-5,210.已知函数f(x)=asin0xcoscox+V3cos20x(a>0,0>0)的最小正周期为三，最小值为2将函数f(x)的图像向左平移呼(邛>0)个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为则中的值不可能为(A.512413二2417二2411.如图过抛物线2y=2pXp0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为

5、()9二x2D. y2=3x223二2412.设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0,h(xo)处的切线方程为l:y=g(x),当x#xo时,h(x)-g(x)x-Xo>0在D内恒成立，则称P为函数y=h(x)的“类对称点”,贝Uf(x)=x2-6x4lnx“类对称点”的横坐标是(A.1本卷包括必考题和选考题两部分.第n卷13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.11J°二项式：XiJx)的展开式中的常数项是14.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方

6、的点构成j0y的区域.在D内随机取一点，则该点落在E中的概率为。15.A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中MBC是正三角形，AD±平面ABC,AD=4,AB=2;3,则该球的表面积为16.已知数列的前n项和Sn=2an2",若不等式2n2n3<(5九)an对N十通成立,则整数力一的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17 .(本小题满分12分)如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P,上午11时，测得轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60&

7、#176;的C处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？18 .(本小题满分12分)某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业8040120小型企业240200440合计320240560(I)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？(n)从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元。

8、记X表示所发奖励的钱数，求X的分布列和数学期望：2附：K2=3一闷(a-b)(c-d)(ac)(bd)P（K2汰）0.0500.0250.010k03.8415.0246.63519 .(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是C/ABC=60©的菱形，M为棱PC上的动点，且只*=九(九Wb,1】)。PC(I)求证：BC_LPC;(n)试确定九的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值为空5。520 .(本小题满分12分)已知抛物线的焦点到准线的距离为2。(I)求p的值；(n)如图所示，直线li与抛物线r相交于A,B两点

9、，C为抛物线r上异于A,B的一点,且AC1x轴，过B作AC的垂线，垂足为M，过C作直线交直线BM于点N，设li,%的斜率分别为k1,k2,且k1k2=1。线段MN的长是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由求证：A,B,C,N四点共圆21 .(本小题满分12分)已知f(x)=lnxex*(1声x=1是f(xW极值点，讨论f(x*勺单调性;(2户at-2时，证明：f(x取定义域内无零点请考生在A,B,C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.(本小题满分10分)22 .选彳41:几何证明选讲如图所示，AB为圆O的直

10、径，BC,CD为圆O的切线，B,D为切点.(I)求证：AD/OC;(n)若圆O的半径为2,求ADOC的值.23 .选彳4-4:坐标系与参数方程x32cos6已知在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为3x32cos(8为参数)y=4+2sin日(I)以原点为极点、X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(n)已知A(二,0B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求MBM面积的最大值24 .选彳4-4-5:不等式选讲已知函数f(x)=kx3,kwRM£仔+3户0的解集为1,1111一123一+=1,证明：-a+b+c至1.ka2kb3kc999(I)求k的值；(II法a,b,

11、c是正实数，且2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分1 .答案：B解析：有元素1,2的是0M,N,分析选项则只有B符合。2 .答案：Aa3i12i(a3i)(1-2i)a63-2a.二i(12i)(1-2i)55a63-2a所以=0,丰0,a553 .答案：B4 .设a=0.36,b=log36，,c=log510,贝U().A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c4 .答案：B6lg6lg2lg10lg2解析：根据公式变形，a=0.3<1b=1+,c=1+,因为

12、lg5>lg3lg3lg3lg5lg5所以电2<由2,即a<c<b.故选B.lg5lg35 .答案：A解析：该几何体是下面是一个三棱柱，上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。111其体积为一12l：1121-16.答案：36解析：先从4名优秀学生A,B,C,D中选出2名保送到甲，乙，丙3所学校中的某一所,有C2c3=18种方案；然后将剩余的2名优秀学生保送到剩余的2所学校，有a2=2种方案；故不同的保送方案共有18M2=7.答案：C解析：不等式组2x-y4_0,xy-3_0,a因为a>0,故一一<0O可知z=ax+6y在6联立2x-y4=0，y=0x-2,

13、I解得V，即C(2,0)，故4=-2a+6父0,解得y=0,a=38.答案：C解析：由程序框图可知，从n=1到n=15得到S<3,因此将输出n=16.故选C。9.答案：D解析：:D是边BC上的一点（包括端点）:可设AD-AB(1-)AC(0,_1)V.BAC=120，AB=2,AC=1,.AbLaC=21COS120：=1.AdbC=Ab(1-)AcXAC-AB)=(2-1)AB_AC-AB-(1-)AC=一(2-1)-4'1-三一7'2.,：0<<1二（-7九+2）w-5,2,AdIbC的取值范围是j-5,2510.答案：B解析：f(x)=asin6xcos

14、®x+V3cos2®x=-sin2«x23。3cos21x22所以a2+3=12因为a>0,解得一.3f(x)=-sin2二3ds3in2xco3s22-22Tl1)-x6，3Rin(22故三2.3T=，所以28=4,即f(R=<&i(4x+立。将函数f(X)的图片向左平移(中>0)个单位后得到g(x)=73sin(4x+"+4邛)+62J3,因为函数g(x)的一条对称轴211.答案:JIX=一。故8D+工的中三十旧女文)，解得中=324+kl(kWZ),观察可知,4选B。E,D,解析：如图分别过点A,B作准线的垂线，分别交准线

15、于点设|BF|=a,则由已知得：|BC|=2a,由定义得：|BD|二a,故/BCD=3o,在直角三角形ACE中，|AF|=3,|AC|=3+3a,2|AE|=|AC|.-.3+3a=6,从而得a=1,-1BD/FG1P=-,求得p=-,32因此抛物线方程为12.答案：By2=3x。解析：由于f(x)=2x44X0+6,则在点P处切线的斜率卜切=1(xo)=2/+6.4y=g(x)=2xo+-6xo224(x-Xo)+xo6x0+4lnXo=2xo+6X-Xo2一，4lnXo-4Xox=fx)-gx=x一.44-6x4lnx-2xo+-6lx-Xo)-(x2-6xo+4lnx0),XoXoX22

16、)=(x-Xo)(x-一).XXo2xo,一、Xo)上单调递减，所以当xwXo,Xo，(x)：二(Xo)=o.从而有xW'Xo,21寸，-<o；<XoIx-Xo当%>J2时，中(x)在2,%上单调递减，所以当xw色,Ji时，cp(x)><p(xo)=o.从<Xo)lXo)2X而有xW|Z,xoI时，<0；XoX-Xo所以在(0,2)(J2,*0)上不存在"类对称点”.当/=42时，中'(x)=2(x«2),所以x(x)巴xW(0,收)上是增函数，故>0.x-'x0所以x=、，2是一个类对称点的横坐标（可

17、以利用二阶导函数为0,求出f*（x）=2，=0，x则x=J2。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.答案：45.1.r0解析：书二二)1(4)r=C；0x2(1)rxr=C；o(12)r.2,.2一C10(1)45°三.52=0r=,故磔项为14.答案:x2dx2|223k1628316,该点落在E中的概率为1315.答案：32n解析：由题意画出几何体的图形如图，把A、RCD扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=4,AB=2j3,ABC是正三角形,所以AE=2,AO=2V2。所求球的表面积为：4n（2J2）n=32n。16.答案：4解析：当n=1时，

18、S=2&22得4=4,Sn=2an2n+；当n圭2时，Sn工=2an2n,两式相减得an=2an2an人2n,得a0=2%+2”，所以斗生W。2n2n，又*=2,所以数列斗'是以2为首项，1为公差的等差数列，n"=n+1,即an=（n+1）*2n。2222n-3因为an>0,所以不等式2n2-n3<（5九），等价于5九>衿。2n-1记)=型二，n±2时，叱=三=空二1。2nbn2n-34n-6所以n之3时，处1,（bn）max=b=|。bn8所以5九3,九53=37,所以整数人的最大值为4。888,.6分17.解：(1)在RtAPAB中，/

19、APB=60°,PA=1,AB=、/3(千米)在RtAPAC,/AP030°,AG=13(千米)，,，3分3在AACB中，/CAB=30°+60°=90°,bc=Jac2+ab2=jg)2+(r13)230-1=2/30(千米/时)36、'AB33/DAC90-60=30,sin/DCAsin(180-ZACB=sin/ACB：=_=,、：10BC301031010.sin/CDAsin(/ACB-30°)=sin/ACB-cos30°cos/ACB-sin303132(33-1)10°八、1一(一、10)

20、=-,.9分221020ADAC在ACW,据正弦定理得=,sinDCAsinCDA答：此时船距岛A为2士百千米,，12分.13_2丘2560(80X20040X240)18 .解：K2=1Q440X320X240657',因为5.657>5.024,所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有，6分（n）由（I）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3,按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家.设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（mn）可能为X的可能取值为90,130,170,210.,7分C3C91C

21、C927RX=90)=a=_,P(X=130)C12220C92220，C2C9108CC984RX170)-9P(X-210)52209eO2220'(0,9),(1,8),(2,7),(3,6).与之对应,分布列如下:9分（每两个1分）X90130170210P1271088422022022022010分12710884-期望E（X）=90*220+130*谢+170><220+210*220=180,12分19 .解：（I）取AD中点O,连结OP,OC,AC,依题意可知PAD,ACD均为正三角形，所以OC1AD,OP_LAD,又OCDOP=O,OC,OPu平面POC

22、,所以AD_L平面POC，又PCu平面POC，所以AD_LPC,因为BC/AD，所以BC_LPCo,5（n）由（I）可知PO_LAD,又平面PAD_L平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO匚平面PAD,所以PO_L平面ABCD.,6由PM=ZPC=九33,0,73）可得点M的坐标为（正九,0,73-向九）,所以AM=.S',1,.3-,3',DM”/3-1,3-白,3xy.3-.3'z=0,3x-y.3-3z=0以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，,7则P0,0,.3,A0,-1,0,D0,1,0,C、3,0,0,PC=13,0，一3一一设平面M

23、AD的法向量为n=(x,y,z),则|n空|=0,即nDM=01x二z解得九,令2=九，得门=(九一1,0,Z),8y=0.显然平面PAD的一个法向量为OC=(J3,0,0),9nOC依题意cos：n,OC2.510分.1.解得九=一或九=1(舍去)，,311分所以，当儿=1时，二面角P-ADM的余弦值为义5.,3512分20.解：（I）p=2（n）设A（x1,y1）B（X2,y2）则C（x1，y1）M（x1，y2）,直线l1的方程为：y=k1x+b,4'y=k1x+by2=4x消元整理可得:k12x22bk1一4xb2=042bk1xi+x2=2所以Jk1,5分.2bxix22k1可

24、求得:4y1y2=k14bV1V2k1直线l2的方程为:y+y1=k2(xx1)所以可求得所以MN=y1y2=4=4,7分k2kkzAB的中点E2一外,2),Ik1'k1J则AB的中垂线方程为:212-bk1；y=x2k1k1Ik1J与BC的中垂线x轴交点为：oJ2k；-冰1+20,9分k12,所以AABC的外接圆的方程为:2kl2-bk1+2'2+k2=(2kl2-bk12k12、22-x2)'y2,10由上可知Nx14,y2_2_/2k1-bk12x14-2x2-k12k；-'bk1k122三x1x24一2k12-'bkjk2二x1+422kl2-b

25、k12k"y；二（22kl2-bk12kj22-x2)V211分所以A,B,C,N四点共圆.12分21.解:由已知得f1=0=.1-e&=0=-a-1l|112分此时f,x=1-ex1x一，1当0:x：二1时，-1,e'-：e=1=fx广0x二f(x/(0,1p递增|川4分当x.1时，1：二1xx10,ee=1=fx：0二f(x产(1,依yb递减IHI6分(2)f(x户义域为(0,+s)当a之1时，ex+>ex-f(x)=lnx-ex*<lnx-ex2|H|7分令gx=lnxe'-ll川扮贝1Jg.x=-ex-2x1x2.gx=-e：:0xg,xa(0,收yh递减1-10又g1=1-e-0,g2=-e：:0二gx卢(1,2¥有唯一零点x°l|川|10分1-ex0/=0=Inx0=-x