广西梧州高二数学上学期期末试卷理含解析

1、广西梧州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2,则抛物线的方程是（）A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x2. （5分）在ABC中，a=8,B=60°,C=75,贝Ub=（）A-!-/<B.：二CD三33. （5分）设an是公比为正数的等比数列，若A.63B.64a=1,a5=16,则数列an的前7项的和为()C.127D.1284.(5分)2已知椭圆与双曲线工一一工2二有共同的焦点，且离心率为4=,则椭圆的标准方V5程为（）A.x2y20

2、+25=122BB.25201C.22Xdyr1=12555. （5分）若p：|x|>1,q：x<-2,则？p是？q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. （5分）已知数列an为等差数列，bn为等比数列，且满足a1003+a1013=兀,b6?b9=2,则tanA.1B.-1D.二7. (5分)若cos(-9)*cos(-7-+§)=9)，贝Usin20=04462A.1B,"C."D3366y+x-l408. （5分）已知变量x,y满足约束条件“y-l<0,则z=2x+y的最大值为（）y-k+10A.

3、 2B. 1C. -4D.49. (5分)已知等腰三角形底边的两个端点是A(-1,-1),B(3,7),则第三个顶点C的轨迹方程()A.2x+y-7=0B.2x+y-7=0(xw1)C.x+2y-7=0D.x+2y7=0(xw1)10. （5分）下列命题正确的个数是（）命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2W1,则xW1”；若命题p：?x°CR,x°2x°+1w0,则-1p：?xR,x?x+1>0;ABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件；若pVq为真命题，则p、q均为真命题.A.0B.1C.2D.311. （5分）设椭圆的两个焦点

4、分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P,若FE为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A.加TB.V2-1C.亚D.返3212. (5分)已知数列an为等差数列,公比qw1,若a4=b4,a12=b12,则()A.a8=b8B.a8Vbsbn为等比数列，且两个数列各项都为正数，bn的C.as>bsD.as>bs或asvbs二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）已知tan（a+3）=3,tan（a-3）=5,贝Utan2a=.14. （5分）在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为工M过2Fi的直

5、线交于A,B两点，且4ABF2的周长为16,那么C的方程为.15. （5分）在ABC中，若B=60°,a=1,S>AABC=-,贝u=.2sinC16. （5分）从双曲线短一左二1的左焦点F引圆x2+y2=36的切线，切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|的值为.三、解答题（共6小题，满分70分）17. （10分）双曲线C与椭圆工+二=1有相同的焦点，直线y=Vx为C的一条渐近线.求84双曲线C的方程.18. (12分)锐角三角形ABC中，边a,b是方程x2-2yx+2=0的两根，角A,B满足2sin(A+B)-夷=0,求

6、：(1)角C的度数；(2)边c的长度及ABC的面积.19. (12分)已知c>0且cwl,设p：指数函数y=(2c-1)x在R上为减函数，q：不等式x+(x-2c)2>1的解集为R.若pAq为假，pVq为真，求c的取值范围.20. (12分)已知数列an各项均为正数,其前n项和为且满足4Sn=(an+1)2(1)求an的通项公式；(2)设b=-，数列bn前n项和为Tn,求Tn的最小值.nan'an+l21. (12分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,(1)求不等式g(x)V0的解集；(2)若对一切x>2,均有f(x)>(m+2x-

7、m-15成立，求实数m的取值范围.2222. (12分)已知椭圆C方程为工+匕=1(a>b>0),左、右焦点分别是Fi,F2,若椭圆C2,2ab上的点P(1,至IR,F2的距离和等于4(I)写出椭圆C的方程和焦点坐标；(n)直线l过定点M(0,2),且与椭圆C交于不同的两点A,B,(i)若直线l倾斜角为三，求|AB|的值.3(ii)若6A，法。，求直线l的斜率k的取值范围.广西梧州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1. (5分)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()A.y2

8、=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x考点：抛物线的标准方程.专题：计算题.分析：根据准线方程求得p,则抛物线的标准方程可得.解答：解：二准线方程为x=-2二二22p=4.抛物线的方程为y2=8x故选B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了考生对抛物线基础知识的掌握.2. (5分)在ABC中，a=8,B=60°,C=75,贝Ub=()A.二B.7C.7D3考点：正弦定理.专题：计算题.分析：由B和C的度数，利用三角形的内角和定理求出A的度数，然后由a,sinA,sinB的值，利用正弦定理即可求出b的值.解答：解：由内角和定理得：A=180°-60

9、6;-75°=45°,根据正弦定理得：=,又a=8,sinA=Y,sinB=,sinAsinB22XX近,n_则b二二=4二sinAV22故选C点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.学生做题时注意内角和定理这个隐含条件.3. （5分）设an是公比为正数的等比数列，若ai=1,a5=16,则数列an的前7项的和为（）A.63B.64C.127D.128考点：等比数列的前n项和.分析：先由通项公式求出q,再由前n项公式求其前7项和即可.解答：解：因为a5=aq4,即q4=16,又q>0,所以q=2,1-27所以S7=一:二127.1

10、-2故选C.点评：本题考查等比数列的通项公式及前n项公式.4. （5分）已知椭圆与双曲线¥-=1有共同的焦点，且离心率为-L,则椭圆的标准方32V5程为（）22AA2025B.22+-1252022CC.-12551D.22XVI+5251考点：专题：分析:解答:双曲线的简单性质；椭圆的简单性质.计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.由题意，c=y亏，=-=,可得a=5,解：由题意，c=二-=,aV5b=”0,即可求出椭圆的标准方程.a=5,b=屈,22椭圆的标准方程为工+一口,25201故选：B点评：本题考查椭圆的标准方程，考查双曲线、椭圆的性质，确定a,b是关键.5. （5分）若p

11、：|x|>1,q：x<-2,则？p是？q的（）A.C.充分不必要条件充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件考点：专题：分析：解答:q：必要条件、充分条件与充要条件的判断.阅读型.根据绝对值的性质分别解出命题p和q,然后再根据必要条件和充分条件的定义;解：p：|x|>1,x>1或XV1,x<-2,.q?p,反之则不成立，根据逆否命题的性质：?p?q,反之不成立，.?p是？q的充分不必要条件；故选A点评：此题主要考查充分条件与必要条件的定义，及逆否命题与原命题的关系，是一道基础题.6. （5分）已知数列an为等差数列,bn为等比数列,且满足a1003+a1

12、013=兀,be?b9=2,则&i+3口ietan（）l+b7b3A.1B.一1C如C.3D.；考点：两角和与差的正切函数；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式.专题：等差数列与等比数列.分析：利用等差数列与等比数列的性质，可得ai+a20i5=ai003+ai0i3=兀,b7?b8=b6?bg=2,于是可得+即口15=工,从而可得答案.1+b7b弓3解答：解：因为数列an为等差数列，bn为等比数列，且满足：ai003+ai0i3=兀，b6?bg=2,所以ai+a20i5=ai003+ai0i3=兀,b7?b8=b6?b9=2,所以tan：LL=tan=tan-=v3.l+b7b31

13、+23故选：D.点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，考查特殊角的正切，求得31+即015=上£是l+bYba3关键，考查运算求解能力，属于中档题.7.(5分)若eg-e)-cos(三e)二退(o<e<),贝usin2。=()4462A.二B.C.D.承3366考点：二倍角的正弦.专题：计算题.分析：根据三-9+9=2L,利用两角和的余弦函数公式以特殊角的三角函数值得到442sin(-0)sin(+0)和cos(-0)cos(+0)相等都等于全，然后利用正44446弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数求出sin(0-工)sin(+0)和cos(0-)444cos(+0)的值

14、，然后根据2。=(0-)+(0+J1),利用两角和的余弦函数公444式化简后将相应的值代入即可求出cos20的值，然后根据角的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sin20的值.解答：解：由于cos(0)?cos(+0)-sin(0)sin(+0)=cos(一44444.，兀一、.K，兀一、一K贝Usin(0)sin(+0)=cos(0)?cos(+0)=44446所以sin(0)sin(一+0)="-,cos曰=*cos+U)=cos(044644则cos20=cos(0三)+(0+2L)=cos(0-2X)cos(0+>2£)-sin(0-JX)44444s

15、in(0+)=/143所以sin20=Ji-sJ2e=Ji-)Y故选B.点评：此题要求学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式、同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用三角函数的奇偶性解决实际问题，是一道中档题.做题时注意灵活变换角度.y+x-1<08. (5分)已知变量x,y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为()y-k+10A.2B.1C.-4D.4考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分AB。.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2

16、x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大.,fy+x-l=0.x-1幡由<,解得4，即A(1,0)y-x+l=0(y=0将A的坐标代入目标函数z=2x+y,得z=2X1+0=2.即z=2x+y的最大值为2.故选：A.点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.9. （5分）已知等腰三角形底边的两个端点是A（-1,-1）,B（3,7）,则第三个顶点C的轨迹方程（）A.2x+y-7=0B.2x+y-7=0（xw1）C,x+2y-7=0D.x+2y-7=0（xw1）考点：轨迹方程.专

17、题：计算题；直线与圆.分析：由两点间距离公式得（x+1）2+（y+1）2=（x-3）2+（y-7）之，化简可得x+2y-7=0,利用A,B,C不共线，即可得出结论.解答：解：由两点间距离公式得（x+1）2+（y+1）2=（x-3）2+（y-7）2,化简可得x+2y-7=0.A,B,C不共线，xw1且yw3,故选：D.点评：本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，容易误选C.10. （5分）下列命题正确的个数是（）命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2W1,则xW1”；若命题p：?x°CR,x°2x°+1w0,则-1p：?xR,x?x+1>0;ABC中，

18、sinA>sinB是A>B的充要条件；若pVq为真命题，则p、q均为真命题.A.0B.1C.2D.3考点：命题的真假判断与应用.专题：简易逻辑.分析：利用否命题的定义即可判断出；利用“非命题”的定义即可判断出；4ABC中，由正弦定理可得-7=-,因此sinA>sinB?a>b?A>B,即可判断出；sinAsinB若pVq为真命题，则p、q只要有一个为真命题即可.解答：解：命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2w1,则xw1”，正确；若命题p：?xcR,x02-x°+1W0,则-1p：?xR,x2-x+1>0,正确；ABC中，由正弦定理可得,

19、因此sinA>sinB?a>b?A>B,因此sinA>sinBsinAsinB是A>B的充要条件，正确；若pVq为真命题，则p、q只要有一个为真命题即可，因此不正确.综上可得：正确的命题个数为3.故选：D.点评：本题考查了简易逻辑的判定、正弦定理，考查了推理能力，属于基础题.11. （5分）设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P,若FE为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）B."-ID.丁2C.二3考点：椭圆的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设椭圆的方程和点P的坐标，把点P的坐标代

20、入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，RtPFiF2中，利用边角关系，建立a、c之间的关系，从而求出椭圆的离心率.222,2解答:解：设椭圆的方程为座一+苫二1(a>b>0),设点P(c,h),则£一+工=1,2,212,2abab221E2工h=b-=_,|h|=,22aaa口由题意得/FiPFa=90°,/PFiF2=45°,AP%相-J PFiF2中，tan45=1=,2c2ac .a2-c2=2ac,e2+2e-1=0,，e=/T,故选：B.点评：本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用.考查计算能力.12. （5分）已知数列an

21、为等差数列，bn为等比数列，且两个数列各项都为正数，bn的公比qw1,若a4=b4,a12=b12,则（）A.a8=b8B.a8Vb8C.a8>b8D.a8>b8或a8Vb8考点：等比数列的性质；等差数列的性质.专题：等差数列与等比数列.分析：分别根据等差数列及等比数列的性质得到a4+a12=2a8和b4b12=b8；根据已知a4=b4,知加以利用基本不等式即可得到a8与b8的大小关系.解答：解：根据等差数列的性质得：a4+a12=2a8,根据等比数列的性质得：b4b12=b82,又a4=b4,a12=b12,数列bn是各项均为正数且公比q>1,1. a4+a12=2a8=b

22、4+b12>2,=2b8,则a8>b8.故选：C.点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质化简求值，掌握基本不等式的运用，是一道中档题.学生做题时注意数列bn是各项均为正数的等比数列，且公比q>1这个条件的应用.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）一一、一.，一，一一413. (5分)已知tan(a+3)=3,tan(a-3)=5,贝Utan2a=二万考点：两角和与差的正切函数.专题：计算题.分析：根据tan2a=tan(a+3+a-3)利用正切的两角和公式展开后，把tan(a+3)和tan(a-3)的值代入即可求得答案.解答：解：tan2a=tan(a+3+

23、a-3)=；了血(0=)_3+5_=1-tan(OL+p)tan(Q-)1-3X57故答案为：-7点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数.本题解题的关键是利用了tan2a_tan(a+3+a-3),通过挖掘题设的条件达到解决问题的目的.14.(5分)在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为爽.过222Fi的直线交于A,B两点，且4ABF2的周长为16,那么C的方程为工工=1.16一8一考点：椭圆的简单性质.专题：计算题；压轴题.分析：根据题意，ABE的周长为16,即BF2+AF2+BF1+A+16,结合椭圆的定义，有4a=16,即可得a的值；又由椭圆的离心率

24、，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上,可得椭圆的方程.解答：解：根据题意，ABF2的周长为16,即BE+AE+BF1+AF1=16;根据椭圆的性质，有4a=16,即a=4;椭圆的离心率为返，即£=返，则a=V2c,22将a=&c,代入可得，c=2遍，贝Ub2=a2-c2=8;则椭圆的方程为工+=1;16882故答案为：16点评：本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可.八一一4_汨匚15. （5分）在4ABC中，若B=60,a=1,$abc=±二则一-=2.2sinC考点：余弦定理；正弦定理.专

25、题：解三角形.分析：利用三角形面积公式列出关系式，将a,sinB及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理即可求出所求式子的值.解答：解：B=60°,a=1,4ab金虫,2SAABC=acsinB=c=,即c=2,242由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=1+4-2=3,即b=、/,则由正弦定理得：=：='=2.sinCsinByJ2故答案为：2点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.16. （5分）从双曲线工一-2L二i的左焦点F引圆x2+y2=36的切线，切点为T,延

26、长FT交双36641曲线右支于点P,若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|的值为2.考点：圆与圆锥曲线的综合.专题：计算题.分析：设双曲线的右焦点为Q,必。|=怛吐，园丁|=坦工一|FTI,|MO|-|MT|=|=怛吐222Ift|）.2解答：解：设双曲线的右焦点为Q|MO|=JM,|MT|=_fLL-|FT|,2乜,|OF|=10,|OT|=6,所以|FT|=8,则imoitmti=i=IM（JfLL-|ft|）PQI-IffI仔-0.222故答案为2.点评：本题考查圆的性质的综合运用，解题时要注意双曲线的性质的合理运用.三、解答题（共6小题，满分70分）2217.（10分

27、）双曲线C与椭圆工+匕=1有相同的焦点，直线y=Vx为C的一条渐近线.求84双曲线C的方程.考点：双曲线的标准方程.专题：计算题；反证法.分析：求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c2=a2+b2；双曲线的渐近线的方程与系数的关系列出方程组，求出a,b,写出双曲线方程.22解答：解：设双曲线方程为-=i（a>0,b>0）（1分）212fab22由椭圆±+±=1,求得两焦点为（-2,0）,（2,0）,（3分）S4，对于双曲线C:c=2.（4分）又y=J8为双曲线C的一条渐近线，.»=正（6分）解得a=1,b=，§,（9分）2双曲线C的方程为翼

28、2-J1.（10分）3点评：本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是：a2=b2+c2;双曲线中系数的关系是：c2=a2+b2.18.（12分）锐角三角形ABC中，边a,b是方程x2-2行x+2=0的两根，角A,B满足2sin（A+B）-V3=0,求：（1）角C的度数；（2）边c的长度及ABC的面积.考点：余弦定理；正弦定理.专题：解三角形.分析：（1）由已知可得sin（A+B）Hl,由4ABC是锐角三角形，从而求得A+B=120,2即可求/c的值.（2）由已知可得a+b=2赤，ab=2,根据余弦定理可求c的值，由三角形面积公式即可求解.解答：解：（1）由2sin（A+B

29、）-a=0,得sin（A+B>法，2.ABC是锐角三角形,.-A+B=120,./C=60,(2)a,b是方程x226x+2=0的两根,，a+b=2Wab=2,.c2=a2+b2-2abcosC,、2一一一一=(a+b)-3ab=12-6=6,，c=V，abc=absinC=二.x'22点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基本知识的考查.19.(12分)已知c>0且cw1,设p：指数函数y=(2c-1)x在R上为减函数，q：不等式x+(x-2c)2>1的解集为R.若pAq为假，pVq为真，求c的取值范围.考点：专题：分析：个

30、正确,解答：复合命题的真假.计算题.分别求出当p,q为真命题时的c的取值范围，然后由题意可得p和q有且只有然后分两类由交集的运算可得答案.解：当p正确时，x 函数y=(2c-1)在R上为减函数，0V2c-K1 当p为正确时，1<C<1;2当q正确时， 不等式x+(x-2c)2>1的解集为R,当xCR时，x2-(4c-1)x+(4c2-1)>0恒成立. .=(4c-1)2-4?(4c2-1)<0,-8c+5V0 当q为正确时，c>下.8由题设，p和q有且只有一个正确，则(1)p正确q不正确，、(2)q正确p不正确，、c>1综上所述，c的取值范围是(：.&

31、#39;23点评：本题为变量取值范围的求解，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属基础题.20. (12分)已知数列an各项均为正数，其前n项和为S,且满足4Sn=(an+1)2(1)求an的通项公式；考点：专题：分析：(2)设b二-，数列bn前n项和为Tn,求Tn的最小值.n数列的求和；数列递推式.计算题.(1)由4s=(an+1)之,得4S+i=(an+i+1)2,两者作差，研究an的相邻项的关系,(2)由(1)可得由此关系求其通项即可.an+1-(2n-l)<：2(n+1)-12裂项求和即可.解答：解：(1)由题设条件知48=(an+1)2,得48+1=(an+1+1)2,两者

32、作差，得4an+1=(an+1+D2-(an+1)2.整理得(an+1-1)2=(an+1)2.又数列an各项均为正数，所以an+1-1=an+1,即an+1=an+2,故数列an是等差数列，公差为2,又4S=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,故有an=2n-1(2)由(1)可得卜naTn=I-一2123nan+l-Ax(2n-l)<2(n+1)-1一22n-12n-12n+l)(122n+l由其形式可以看出，Tn关于n递增，故其最小值为T1=l3点评：本题考查数列求和，求解的关键是根据其通项的形式将其项分为两项的差，采用裂项求和的技巧求和，在裂项时要注意分母上两个因子相差2不是1,

33、故裂项后应乘以1,此2是裂项时易出错的地方.21. (12分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,(1)求不等式g(x)v0的解集；(2)若对一切x>2,均有f(x)>(m+2x-m-15成立，求实数m的取值范围.考点：一元二次不等式的解法；函数恒成立问题.专题：不等式的解法及应用.分析：(1)直接因式分解后求解不等式的解集；(2)把函数f(x)的解析式代入f(x)>(m+2x-m-15,分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围.解答：解：由g(x)=2x2-4x-16<0,得x22x8v0,即(x+2)(x4)<0,解得一2vxv4.所以不等式g(x)v0的解集为x|-2vxv4;(2)因为f(x)=x2-2x-8,当x>2时，f(x)>(m+2)x-m-15成立，则x2-2x-8>(m+2)x-m-15成立，即x2-4x+7>m(x1).2所以对一切x>2,均有不等式K一号7加成立而上三生工(工-1