平行四边形知识点、经典例题、常考题型练习

1、平行四边形(一)【知识梳理】1、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分。除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2、特殊平行四边形：一、矩形(1)有一角是直角的平行四边形是矩形(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等。(4)矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形(5)矩形判定定理2:对角线相等的平行四

2、边形是矩形二、菱形(1)把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)定理1:菱形的四条边都相等(3)菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角(4)菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2(5)菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形(6)菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。三、正方形(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(2)性质：四个角都是直角，四条边相等对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角(3)判定：一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形知识结构如下图(1)弄清定义及四边形之间关系图1:(2)四边形之间关系图2:2、几

3、种特殊的四边形的性质和判定：3、一些定理和推论：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。推论：夹在两平行线间的平行线段相等。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【例题精讲】填空题:在下列特征中，平行四边形具有的是：矩形具有的是：菱形具有的是：正方形具有的是：(1) 四条边都相等(2) 对角线互相平分(3) 对角线相等(4) 对角线互相垂直(5) 四个角都是直角(6) 每一条对角线平分一组对角(7) 对边相等且平行(8) 邻角互补【巩固】1、下列说法中错误的是（A.四个角相等的四边形是矩

4、形B.四条边相等的四边形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.菱形、矩形或正方形3、下面结论中，正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4、如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE/CA,DF/BA.下列四种说法：四边形AEDF是平行四边形;如果ZBAC=90二那么四边形AEDF是矩形;如果AD平分/BAC,那么四边形AEDF是

5、菱形；如果AD_LBC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中，正确的有.（只填写序号）【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别是AD,BC的中点.求证：四边形BFDE是平行四边形.【巩固】已知，如图9,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE,DF=BE,DF/BE.四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.【例2】如图，梯形ABCD中，AB/CD,AC平分/BAD,CE/AD交AB于点E.求证：四边形AECD是菱形.【例3】如图，在等边ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边ADE.(1)求/CAE的度数；(2)ABAB边的中点F,连结CF、CE,试证明四

6、边形AFCE是矩形.A二BDC【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE/AC,CE/(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.X、BC【例4】如图所示，在ABC中，分别以AB、AC、BC为辿在边/BCF.FBC(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=ABC而DB=AB,BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以:DF=AC=AE同理可证：DA=FE所以:DAEF为平行四边形BD.BC的同侧作等边ABD、等边ACE、

7、等(1)如图,如果角DAE=90度，则DAEF为矩形则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度(而如果，另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中，角DAE=2*60度+角BAC90度,DAEF不可能为矩形，而BC为短边，角BACAD)BD=10,BD=DC,E、F分别是BC、CD上的点，且CE+CF=4.(1)求BC的长；(2)设EC的长为x,四边形AEFD的面积为v,求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域;(3)在(2)的条件下，如果四边形AEFD的面积等于40,试求EC的长.(二)平行四边形的性质1、如图，在周长为20cm的DABC珅，A回ADACBD相交于点

8、O,OELBD交AD于E,则ABE的周长为()(A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm2 .如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.(1)证明：/DFA=/FAB;(2)证明：ABEAFCE.3 .如图，在？ABCD中，E为BC的中点，连接DE.延长DE交AB的延长线于点F.求证：AB=BF.4、已知如图：在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,点E、F分别在BC和AD边上，AF=CE,EF和对角线BD相交于点O,求证：点O是BD的中点。OAF（三卜平行四边形的判定1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件：AB/

9、CD,AD/BC;AB=CD,AD=BC;AO=CO,BO=DO;AB/CD,AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A.1组B.2组C.3组D.4组2 .点A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面符合这样条件的点D有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3 .已知，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,BE=DF,BE/DF,求证：四边形ABCD是平行四边形.4 .如图所示，？AECF的对角线相交于点O,DB经过点O,分别与AE,CF交于B,D.求证：四边形ABCD是平行四边形.10

10、5、已知如图12-1-21所示，在DABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CFMN是ABCD上的点，且BMkDN.求证：四边形MEN陛平行四边形.BC（四）三角形中位线1、三角形各边长为5、9、12,则连结各边中点所构成的三角形的周长是2、如图，D、E、F分别为ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点,贝UPQ：BE=GPABDCB3、如图，已知ABC的周长为1,连结Al的中点构成第三个三角形，依此类推，第A、-B、-200320044、如图，ABC的三边长分别为AB=14,AD,M为BC的中点，求PM的长。AQPBDMC5、如图4-113,已知在直角三

11、角形ABC中，EF交十O点.CBC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边2004个二角形的周长为（）C、/2003D、-200422BC=16,AC=26,P为/A的平分线AD上一点，且BPX/BAC=90,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点，AD,11（1）求证：AD=EF;（2）若/DOF=2/AOF,求证：ABD是等边三角形.图4713（五）平行四边形的面积平行四边形的面积=底又该底上的高；平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。拓展：同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2,3田1g必脚1、一个平行四边形的底是10.2厘米，高是4厘米，与它等底等高的三角形的

12、面积是。40.8平方厘米20.4平方厘米408平方厘米204平方厘米2、一个三角形的底和一个平行四边形的底相等，面积也相等。平行四边形的高是4.8厘米，三角形的高4.8厘米2.4厘米9.6厘米14.4厘米3、已知平行四边形的一条边长为6,这条边上的高为3,另一条边上的高为4,如果用铁丝围成这样一个平行四边形，至少需要用多长的铁丝？4、已知平行四边形的面积是24m2,梯形的下底是5m,高是4m,求图中三角形的面积。矩形、菱形、正方形讲义【知识点1】矩形一、矩形的性质矩形性质定理1:矩形的四个角都是直角.矩形性质定理2:矩形的对角线平分且相等.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.二、矩形的

13、判定有三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形是矩形对角线平分且相等的四边形是矩形.12三、矩形的应用：用以证明线段相等或平分或倍数关系；直角三角形两锐角互余;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半；证明两条直线垂直.例1:如图所示，在矩形ABCD43,对角线AGBD相交于点O,AE，BD于E,则:(1)图中与/BAE相等的角有;(2)若/AOB=60,则AB:BA。图中DOB三角形(按边分).例2:已知：如图，矩形ABCD勺两条对角线相交于点O,ZAOD=120,AB=4cm求矩形对角线的长例3:如图，已知矩形纸片ABCD中,AD=9cm,AB=

14、3cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是【A、4cm、10cmB、5cm、/T0cmC、4cm、24r3cmD、5cm、2T3cm例4:如图1,在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC,CD,DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x,ABP的面积为V,如果y关于x的函数图象如图2所示，则4ABC的面积是【A.10B.16C.18D.2013【知识点2】菱形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分分别平分两组对角；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。菱形的识别：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角

15、线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；例5:如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB,AB=a.（1）求/ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积.例6：下列命题正确的是【】A.邻角相等的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形例7:小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC;小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是【】A、小明、小亮都正确B、小明正确，小亮错误C、小明错误，小亮正

16、确D、小明、小亮都错误例8:在菱形ABCD中，AELBC于E点，菱形ABCD面积为48平方厘米，上6厘米，则AB等于【】A.12厘米B.8厘米C.4厘米D.2厘米14例9:已知菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，面积为S,则它的边长应为【A.VSB.1VSC.1V3SD.1d5s222例10:如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PEAB于点E,PFLAD于点F,PF=3cm,则P点到AB的距离是cm例11:已知DE/AGDF/AB,添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是【】A.AD平分/BACB.AB=AC=且BD-CDC.AD为中线D.EFAD例12:已知在DABCD43,AD

17、=2ABAE=AB=BFEGFD分别交ADBC于MM求证：四边形DMNCI菱形。DCMnEABF例13:如图，在RtABC,/BAB90,ADLBC于D,BE平分/ABC交AD于F,交AC于E,若EGLBC于G,连结FG说明四边形AFG比菱形例14:已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB,AE=2。求（1）/ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。15【知识点3】正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.正方形各边的性质：四条边相等，对边平行.正方形各角的性质：四个角都是

18、直角.正方形对角线的性质：正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角.正方形的对称性：正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴.正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；一个内角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形;对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.例1：如图，把正方形ABCD的对角线BD分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长和为p,正方形ABCD的周长为S,则S与p的关系式是【A、SvpB、SpC、S=pD、S与p无关例2:如图，在正方形ABCD中，DE=EC,/CDE=600,则下列关系式：/1：/4=4：1;/1：/3=1：1;(/1+/2):(/3+/4)=5：3中，正确的是【】A、B、仅C、仅和D、仅和16BCAD第1题图的面积为256,点例3:如图，正方形ABCDF在AD上，点E在AB的延长线上，RtACEF的面积为200,贝UBE的值为【A、10B、11C、12D、15例4:正方形