一元二次方程教学案例及反思

1、一元二次方程教学案例及反思一、案例背景1、教材分析：一元二次方程在初中代数学习中， 具有重要的地位， 起着承前启后的作用。 一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用， 比如说整式、 开平方、 一元一次方程、 一次方程组以及不等式的知识在这一章里都有应用， 另一方面， 一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展， 它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础，比如说，二次函数、高中要学习的指数方程、对数方程等等都与一元二次方程有关。 这节课是人教版第 22 章的第一节课时， 主要学习一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。 本节在引言方程的基础上， 首先通过两个实际问题面积问题和比赛问题， 进一步

2、引出一元二次方程的具体例子， 然后再引导学生观察列出这三个具体方程， 并发现它们在形式上的共同点， 给出一元二次方程的定义。2、学生分析在前面学生已经学习了一元一次方程， 二元一次方程组， 可化为一元一次方程的分式方程等等， 已经初步地感受了方程的模型作用， 并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验， 解决了一些实际问题。 教师要在这基础上， 通过实际问题，引导学生认识一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。3、教学目标：（ 1）理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式， 能将一个一元二次方程化为一般形式； 理解二次根式的根的概念，会

3、判断一个数是否是一个一元二次方程的根。（ 2）经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念及其一般形式和其它三种特殊形式。（ 3）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。4、教学重点：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念。5、教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， ?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。6、教学思路：以实际问题为背景， 引出一元二次方程及其有关概念， 通过学生分组讨论， 得到一元二次方程的一般形式， 给出一元二次方程根的概念， 组织学生分析一元二次方程的根的不唯一性。二、课堂实录 ：（一）复习引入师：

4、我们已经学习了一元一次方程及其解法、可化为一元一次方程的分式方程，知道运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题， 是非常常见的一种数学方法。今天我们来学习一种新的方程一元二次方程。师：在学习之前，同学们回忆一下，什么叫一元一次方程？生 1：含有一个未知数，并且未知数的次数是1 的式子是一元一次方程。生 2：不是“式子”应该是整式方程。师：对了，一定是整式方程才行，要不然有可能是分式方程，大家要记住哦。(二)探究新知师：请同学们阅读课本问题1、问题2,你们发现了什么？生1:用方程解实际问题。生2:列出的两个方程是一个未知数，不过未知数的指数是2师：很好，我们看下列的方程，它们都有什么共同点

5、？分组讨论下？X2 +2x-4=0； x2 -75x+350=0； x2 - X= 56小组1：它们都有一个未知数，而且是个等式。小组2:它们的未知数的最大次数都是 2。小组3:和一元一次方程类似，我们可以把它叫做一元二次方程。师：大家都讲得很好，特别是小组 3,通过和以前学过的知识比较，总结出一个新的知识来，这个做法很好，在数学上叫做类比思想，我们要好好利用这种方法。师：那么什么是一元二次方程？(受到老师的激励，学生纷纷举手)生：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。师：我们知道一元一次方程的一般形式是 ax+b=0 (aw 0),那么一元二次方程的 一般形式是

6、怎样的呢？2生：ax bx c = 0师：那个同学还有什么意见？可以讨论一下。学生在讨论，老师提示：a、b、c表示常数，这些字母可以取任意数的，在这里可以吗？小组1： a、b不能等于0,等于0,未知数就没了，不是方程了。小组2：我们组认为，aw0, b、c可以等于0,这样方程还是一元二次方程，只 不过缺项了。师：小组2的总结比较精确，在一般形式av2 + bx+c = 0中，aw 0。如果b=0或xc=0的话，一元二次方程还有哪些特殊的形式？生 1 ： ax2 + bx = 0(a。0)生 2 ： ax2 + c = 0(a 0 0)生 3： ax2 = 0(a = 0)师：很好，还有三种特殊

7、的形式，最难得的是大家都明白aw0师：一般形式ax2+bx+c = 0 (a*0)其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项的系数；c是常数项。教师讲解课本26页例题，类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号。(三)学生练习老师出示题目(1)在下列方程中，一元二次方程的个数是().3x2+7=0 ax2+bx+c=0 (x-2) (x+5) =x2-1 3x2- - =0xA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个(2)关于x的方程(a-1) x2+3x=0是一元二

8、次方程，则a范围(3)写出下列方程的二次项系数、一次项系数及常数项老师叫两个学生到黑板上写 5x2 -1 =4x 4x x 2 =25生 1:解：(1)选 C(2) a *1(3) 5 x2 -1 =4x二次项系数是5, 一次项系数是-4 ,常数项是-1生 2:解：(1)选 B(2) a *1(3): 5x2 _1=4x二次项系数是5, 一次项系数是4,常数项是-14x(x+2 )=25二次项系数是4, 一次项系数是1,常数项是25师：同学们对两位同学在黑板上的解答有什么意见？生3:第(1)题我选A,第(2)题是a *1,第(3)题5x2 1=4x二次项系数是5, 一次项系数是-4 ,常数项是

9、-1、4x(x + 2)=25二次项系数是4, 一次项 系数是8,常数项是-25师：请你说说一下你的理由。生3:第(1)题的理由是：ax2+bx+c=0一元二次方程的二次项系数不能是 0, 当a=0时，不合题意，(x-2) (x+5) =x2-1要把它变为一元二次方程的标准形 式，化简后是3x-9=0不是一元二次方程，3x2- 5 =0分母有未知数，而一元x二次方程是整式方程，所以它也不是一元二次方程，所以只有一个是一元二次方 程，选A；第(2)题的理由是：一元二次方程的系数不能为0即a-1w0解得a* 1;第(3)题的理由是：要把这2道题变成标准形式才能找出它们的系数和常数 项。师：说得非常

10、棒，你把老师想说的都说出来了，同学们要记住，一元二次方程是 个整式方程，分母不能有未知数，二次项系数不能是0,要找它们的系数和常数项时先要化成标准形式。(四)探究新知师：那个同学知道什么是方程的解？生：使方程左右两边相等的数是方程的解师：对了，问题2我们列出方程x2-x=56,那么它的解是多少？各小组讨论 一下。老师提问每个小组的代表，答案都是 x=8师：我们可不可以从负数考虑下？ 小组1: x=-7也行，把-7代入方程的左边x2-x=(_7)2-( -7) =56左右两边都 相等师：对了，x=-7也是方程的解，方程X2-x=56勺解有两个x=8或x=-7。我们 也把x=8或x=-7叫做方程的

11、根。师：虽然方程x2-x = 56的根有两个，但是排球邀请赛问题只有一个，即应邀请8个队参赛，-7不合题意，舍去。列方程解实际问题，我们要考虑解是否符合 实际。（五）学生练习师：请同学们做课本第28页的练习，请个同学上黑板来做。生：解：1、-2和3是方程的根2、1是方程的根师：我们看黑板的答案，那个同学有意见？生：我认为第2题还有个根是0,因为0代入方程左右两边也相等。师：所以第2题的方程的根应该是0或1（六）小结 师：这节课我们学到了哪些知识？生1:什么是一元二次方程，一元二次方程的标准形式。生2:我还学到一元二次方程的根（七）作业师：今天的作业是第1第3题。下课 三、案例反思这是一节概念课

12、，我从以下几个环节进行教学：第一环节：由实际问题引出一元二次方程的，说明学习一元二次方程的必要性。通过2个问题让学生建立一元二次方程，使学生认识到数学概念的产生来源于实际的需要体会学习一元二次方程的必要性， 通过分组讨论，切实提高立学生的合 作能力和应用的意识；第二环节：与一元一次方程做比较建立一元二次方程的概念， 介绍一元二次方程 的一般形式，并说明有关的概念。让学生在对实际事例观察的基础上，通过比较、 分析、归纳，在进一步概括得到结论，在此过程学生的逻辑思维能力得到发展。首先通过把所得的3个方程进行横向的比较，概括出方程的共同点，然后把所得 的方程与一元一次方程进行纵向的比较抽象出一元二次方程的概念以及一般形式，通过分