抛物线及其标准方程 (2)

1、喷泉喷泉34请同学们思考一个问题请同学们思考一个问题我们对抛物线已有了哪些认识？我们对抛物线已有了哪些认识？想一想？想一想？【课题引入】【课题引入】 大家知道二次函数的图像是一条抛物线，斜大家知道二次函数的图像是一条抛物线，斜抛物体在没有阻力的情况下其轨迹为抛物线，抛物体在没有阻力的情况下其轨迹为抛物线，如铅球足球的运行轨迹，有些拱桥、雷达的天如铅球足球的运行轨迹，有些拱桥、雷达的天线等也都是利用抛物线原理所制成的。线等也都是利用抛物线原理所制成的。请同学们观察这样一个小实验？请同学们观察这样一个小实验？ 平面内与一个定点平面内与一个定点F和和一条定直线一条定直线l 的距离相的距离相等的点的轨

2、迹叫做等的点的轨迹叫做抛抛物线物线。 （定点定点F不在定不在定直线直线l 上上） 点点F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准准线线。（一）（一）抛物线的定义抛物线的定义lFKMN想一想：定义中当直线想一想：定义中当直线l 经经过定点过定点F，则点，则点M的轨迹的轨迹是什么是什么?lF一条经过点一条经过点F且且垂直于垂直于l 的直线的直线 FMlN想一想：求抛物线方程时该如何想一想：求抛物线方程时该如何建立直角坐标系？建立直角坐标系？（二）抛物线的标准方程（二）抛物线的标准方程yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考：思考： 抛物抛物线是一个怎样

3、线是一个怎样的对称图形？的对称图形？如图所示，以经过点如图所示，以经过点F且垂直且垂直于于l 的直线为的直线为x轴轴, x轴与直线轴与直线l 交于点交于点K，与抛物线交于点，与抛物线交于点O，则则O是线段是线段KF的中点的中点，以，以O为为原点原点,建立直角坐标系。建立直角坐标系。设设|KF|=p (p0),那么焦点那么焦点F的坐标为的坐标为( ,0),准准 线线 l 的方程为的方程为x= 。p2p2xyOFMlNK设点设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点是抛物线上任意一点，点M到到l的距离的距离为为d=|MN|想一想：想一想：p的几何意义？的几何意义？求抛物线的方程求抛物线的方程为什么？为

4、什么？xyOFMlNK由抛物线的定义，由抛物线的定义，|2pdx|MFd22()|22ppxyx22|()2pMFxy22ypx化简后得化简后得 :抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为22(0)ypx p它表示的抛物线焦点在它表示的抛物线焦点在x轴的轴的正半轴上正半轴上,坐标是坐标是 ，准线方程是准线方程是(, 0 )2p2px 注意：抛物线注意：抛物线标准方程标准方程表示的是顶点在原点，表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。对称轴为坐标轴的抛物线。13 方程方程 y2 = 2px（p0）其中其中 为为正常数正常数，它的几何意义是，它的几何意义是: 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距

5、距 离！离！ 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。它形式。想一想：怎样推导出其它几种形式的方程？想一想：怎样推导出其它几种形式的方程？yoxyxoyxoyxoyxo图象开口方向 标准方程焦点准线向右向右向左向左向上向上向下向下想一想：想一想：第一：一次项变量决定对称轴。第一：一次项变量决定对称轴。第二：一次项系数的正负决定了开口方向。第二：一次项系数的正负决定了开口方向。说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图象就随

6、之确定，根据图象可以很容易判断焦点坐标象就随之确定，根据图象可以很容易判断焦点坐标和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由形到数的数形结合思想。形到数的数形结合思想。（三）例题讲解（三）例题讲解例例1.(1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方求它的焦点坐标和准线方程程; (2)已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。，求它的标准方程。 解解: :(1)(1)由方程可知由方程可知, ,焦点在焦点在x轴正半轴上，坐标为轴正半轴上，坐标为 ，2 2p=6=6，所以焦点坐标是

7、所以焦点坐标是 ，准线方程是，准线方程是 . .(,0)2p3( ,0)232x (2) 抛物线焦点坐标为抛物线焦点坐标为F(0,-2)(0,-2)， 抛物线焦点在抛物线焦点在y轴负半轴上，设标准方程为轴负半轴上，设标准方程为x2=-2 2py,并且并且 2 2p=8=8， 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=-8=-8y.22p18（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y = 6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点

8、坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），）， 求它的标准方程。求它的标准方程。例例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（-2，0）（2）准线方程）准线方程 是是x = 41（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2解：解：y2 =-8x解：解：y2 =x解：解：y2 =4x或或y2 = -4x 或或x2 =4y或或x2 = -4y1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数都只含一个系数p，因此只要给出确定，因此只要给出确定p的的一个一个条件，条件，就可以

9、求出抛物线的标准方程就可以求出抛物线的标准方程 由例由例1.和例和例2.反思研究反思研究已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程先定位先定位，后定量后定量变式训练1.根据下列条件写出抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点是（0，-3） ；(2)准线是 ；2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.(1)y=8x2 ；(2)x2+8y=0；12x x2= -12yy2=2x焦点 ，准线1(0,)32132y 焦点 ，准线(0, 2)2y 感悟感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物抛物线的标准方程。

10、线的标准方程。感悟感悟：用用待定系数法待定系数法求抛物线标准方程应求抛物线标准方程应先确定抛物先确定抛物线的形式线的形式，再求再求p p值。值。强化提高根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是2；(2)焦点在直线3x-4y-12=0上。关键：理解关键：理解p的几何意义，的几何意义，熟记标准方程四种形式熟记标准方程四种形式关键：标准方程表示的关键：标准方程表示的是顶点在原点，对称轴是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线为坐标轴的抛物线解：解：焦点到准线的距离为焦点到准线的距离为2 p=2 又又焦点的位置不确定焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式该抛物线标准方程有四种形式

11、y2=2px ， x2=2py 此抛物线的标准方程有四种情况：此抛物线的标准方程有四种情况： y2=4x ， x2=4y 解：解：标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上；上； 又又抛物线的焦点在直线抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上，上， 焦点就是直线与坐标轴的交点，直线焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-12=0与与x轴的交点是（轴的交点是（4，0），与），与y轴的交点是轴的交点是（0，3），）， 焦点坐标为（焦点坐标为（4，0）或（）或（0，3）；）； 当焦点为（当焦点为（4，0）时标准方程为）时标准方程为y2=16x , 当焦点为（当焦点为（

12、0，3）时标准方程为）时标准方程为x2= 12y , 综上，抛物线标准方程为综上，抛物线标准方程为 y2=16x或或 x2= 12y 例例3：求过点：求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程。标准方程。AOyx解：解：1）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把把A（-3，2）代入代入， 得得p= 49 2）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把把A（-3，2）代入代入， 得得p= 32抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。2934 已知抛物线方程为已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论讨论 抛物线的开

13、口方向、焦点坐标和准线方程？抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：解：抛物线的方程化为：y2= x1a即2p=1 a4a1焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=4a1当当a0时时, ,抛物线的开口向右抛物线的开口向右p2=14a25例例3 3、M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 X0 + 2pOyxFM这就是抛物线的焦半径公式!262、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）2y2 +

14、5x =0 （4）x2 +8y =021焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1)（2)（3)（4)（5，0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2（四）课堂小结（四）课堂小结平面内与一个定点平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l 的距离的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。相等的点的轨迹叫做抛物线。一个定义：两类问题：三项注意：四种形式：求抛物线标准方程；求抛物线标准方程；已知方程求焦点坐标和准线方程。已知方程求焦点坐标和准线方程。定义的前提条件：直线定义的前提条件：直线l 不经过点不经过点F; p的几何意义：焦点到准线的距离；的几何意义：焦

15、点到准线的距离；标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。的抛物线。抛物线的标准方程有四种：抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0)44 1.已知抛物线则它的焦点坐标是（ ） A.B. C.D. 抛物线的标准方程为焦点在y轴上，其坐标为（0,），选D. 易错点：研究抛物线的几何性质时，方程必须是标准方程.234yx ，D30,16（）3,016（）1,03（）10,3（）243xy ，1345 2.若抛物线 的准线过双曲线 的左焦点，则p的值为（ ） A.4 B.

16、-4 C.2 D.-2 双曲线的左焦点为（-2,0），抛物线y2=2px的准线方程为 所以有 所以p=4，选A.22ypx 2213yx A2213yx 2px ，22p ，46 3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点F的距离为（ ） A.2B.3 C.4D.5D47 解法1：y=4代入x2=4y，得x=4， 所以A（4,4），焦点坐标为（0,1）， 由两点间距离公式知距离为 解法2：抛物线的准线方程为y=-1，所以A到准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A到焦点的距离相等，所以距离为5,选D.22441255.（） （）48 4.已知抛物线过点P（-1,2），则抛物线

17、的标准方程为. 当焦点在y轴上时，方程可设为x2=my，因为过点P（-1,2），所以m=，方程为x2=y；当焦点在x轴上时，方程可设为y2=nx，因为过点P（-1,2），所以n=-4，方程为y2=-4x.填x2=y或y2=-4x. 易错点：求抛物线的标准方程，应分析焦点所在的位置.22142xyyx 或或12121249 5.已知过点M（2,2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A,B两点，且M是线段AB的中点,则弦长=. 显然直线l的斜率必存在，设l：y-2=k（x-2）， y-2=k（x-2） y2=4x，AB4 2则由则由，消去，消去x得得y2-y+2-2k=04k50 设A（x1,y1

18、）,B（x2,y2），M是线段AB的中点， 所以得k=1， 则y2-y=0，得y=0或y=4. 所以A（0,0）,B（4,4）， 所以填1244yyk ，1422444 2AB ，4 2.51讨论题：讨论题： 1 若抛物线若抛物线y2=8x上一点上一点M到原点的距离到原点的距离 等等于点于点M到准线的距离则点到准线的距离则点M的坐标是的坐标是 2 已知定点已知定点A(3,2)和抛物线和抛物线y2=2x, F是抛物线是抛物线 焦点，试在抛物线上求一点焦点，试在抛物线上求一点P,使使 PA与与PF 的的 距离之和最小，并求出这个最小值。距离之和最小，并求出这个最小值。 521、抛物线的定义、抛物线

19、的定义,标准方程类型与图象的标准方程类型与图象的对应对应关系关系以及以及判断方法判断方法；2、抛物线的、抛物线的定义定义、标准方程标准方程和它的焦点、和它的焦点、准线、方程；准线、方程；3、注重、注重数形结合数形结合的思想。的思想。53课外作业：课外作业：课本课本P73习题习题2.4A组组T1，2（1）补充补充1.求满足下列条件的抛物线的标准方程：求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点过点P(4，-2)；(2)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上上.54例例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为为4.8m，深度为，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。的标准方程和焦点坐标。yxBFAo.55解：如上图，在接收天线的轴截