第1章 逻辑代数基础

1、1宋绍民宋绍民第第1章章 逻辑代数基础逻辑代数基础勤学勤学 务实务实 园融园融 卓越卓越数字电子技术数字电子技术2本章内容提要本章内容提要u 概述概述u 常用逻辑运算常用逻辑运算u 基本逻辑公式与定理基本逻辑公式与定理u 逻辑函数及其表示逻辑函数及其表示u 逻辑函数的公式与卡诺图化简方法逻辑函数的公式与卡诺图化简方法数字电子技术数字电子技术31、概述、概述本节主要内容本节主要内容u 数字量与模拟量数字量与模拟量u 数制与码制数制与码制u 算术运算与逻辑运算算术运算与逻辑运算数字电子技术数字电子技术41.1 数字信号数字信号 与数字电路与数字电路 模拟电路:传递、处理模拟信号模拟信号的电路电子电

2、路分类电子电路分类数字电路:传递、处理数字信号数字信号的电路模拟信号模拟信号: : 时间上和幅度上都连续连续变化的信号数字信号数字信号: : 时间上和幅度上都断续断续变化的信号1、概述、概述数字电子技术数字电子技术5 数字电路的特点数字电路的特点：l 研究对象: 输出信号与输入信号之间的对应逻辑关系l 分析工具: 逻辑代数l 处理信号: 只有高电平和低电平两个取值l 电路器件工作状态: 导通(开)、截止(关)l 主要优点: 集成度高,工作可靠,抗干扰力强,便于保密等.1、概述、概述数字电子技术数字电子技术6 数字电路的种类数字电路的种类：l 根据电路结构分：分立元件电路和集成电路l 根据半导体

3、的导电类型分：双极型和单极型数字集成电路l 根据集成密度分：小规模集成电路(SSI), 中规模集成电路 (MSI), 大规模集成电路(LSI), 超大规模集成电路(VLSI)1、概述、概述数字电子技术数字电子技术7对于字符串“3406”，若为数制，则它表示的是大小；若为代码，则它代表的是某种事物，如房间编号，运动员编号等。1 1、数制、数制可用数码及进位制的统称l 构成数制的三要素构成数制的三要素： 每位可用的数码； 可用数码的个数(基数)； 不同数位对应的固定大小(权)。1.2 数制与码制数制与码制 1、概述、概述 可用数码：可用数码：0-90-9 基数：基数：1010 相同数码所处位置不同

4、，所代相同数码所处位置不同，所代 表的数值不同。表的数值不同。1101 1100 510- -1 110- -2权权 权权 权权 权权 ( (11.51) )10 数字电子技术数字电子技术8l 常见数制及其大小：常见数制及其大小：10进制：(an-1an-2a1a0. a-1a-2)10或或(an-1an-2a1a0. a-1a-2)D可用数码：0-9; 基数：10； 第i位的权：10i 2进制： (an-1an-2a1a0. a-1a-2)2或或(an-1an-2a1a0. a-1a-2)B 可用数码：0-1; 基数：2； 第i位的权：2i 8进制：(an-1an-2a1a0. a-1a-2

5、)8或或(an-1an-2a1a0. a-1a-2)O 可用数码：0-7; 基数：8； 第i位的权：8i16进制：(an-1an-2a1a0. a-1a-2)16或或(an-1an-2a1a0. a-1a-2)H 可用数码 ：0-9，A-F; 基数：16； 第i位的权：16i1、概述、概述数字电子技术数字电子技术9可见，对于任意N进制数(an-1an-2a1a0. a-1a-2)N，其对应的大小可由以下按权展开式进行计算：1、概述、概述121012101101110(.)()nnmNnmnmnkkkmaaa a a aaaNaNaNaNaN数的大小：数的大小：例如例如：(5EC.D4)16 =

6、 5162 + 14161 + 12160 + 1316-1 + 416-2 = (1516.828125)10 (573.46)8 = 582 + 781 + 380 + 48-1 + 68-2= (379.59375)10 数字电子技术数字电子技术10l 不同数制间的转换：不同数制间的转换： N进制进制10进制进制：按权展开求和即可。 10进制进制N进制进制： 整数和小数部分分开进行：整数部分按“除基逆向取余”法转换，直至余数小于基数(商为0)为止；小数部分按“乘基顺向取整”法转换，直至乘积等于零或满足预定精度要求为止。1、概述、概述例如：例如：(26.375)10 =( ? )2=( ?

7、 )16整数部分：2222210226136310,(261101001011)()161610162610, (26)()1A101数字电子技术数字电子技术11例如：例如：(26.375)10 =( ? )2=( ? )16整数部分转换：小数部分：综合整数和小数部分转换结果得： (26.375)10 =( 11010.011 )2=( 1A.6 )16采用按权展开求和法验证，证明转换结果正确。1、概述、概述2221020.3750.750.50,(0.0.0110175)()13 1021016(26)() ,(1101026)(1A)1610160.3750, (0.375)0 6).(6

8、 数字电子技术数字电子技术12 2进制进制8进制进制：因8=23，所以有直接转换方法： 整数部分：自右往左，3位2进制聚为1位8进制，不足3位时用0补足3位即可。 小数部分：自左往右，3位2进制聚为1位8进制，不足3位时用0补足3位即可。 8进制进制2进制进制：转换方法同2进制8进制，唯一不同的是：需要将1位8进制拆开成3位2进制。例如： (11100101.11101011)2 = (345.726)8 (745.361)8 = (111100101.011110001)21、概述、概述数字电子技术数字电子技术13 2进制进制16进制进制：因16=24，所以有直接转换方法： 整数部分：自右往

9、左，4位2进制聚为1位16进制，不足4位时用0补足4位即可。 小数部分：自左往右，4位2进制聚为1位16进制，不足4位时用0补足4位即可。 16进制进制2进制进制：转换方法同2进制16进制，唯一不同的是：需要将1位16进制拆开成4位2进制。例如： (11100101.11101011)2 = (E5.EB)16 (A4C.36)16 = (101001001100.00110110)21、概述、概述数字电子技术数字电子技术142、码制、码制l 代码与码制的概念代码与码制的概念： 代码：用来表示或区分不同事物的字符串或数字串。 编码：用数码的特定组合表示特定事物或信息的过程。 码制：编码时应遵循

10、的一整套规则。l 二进制代码：二进制代码： 二进制代码概念：用若干二进制数码0和1，按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码。 常用二进制代码：二-十进制代码(BCD码)，格雷码(Gray码或循环码)，ASCII码(美国信息交换标准代码)。1、概述、概述数字电子技术数字电子技术15l BCD码码(Binary Coded Decimal) ： 用4位二进制数码串中的10个以表示0-9十个数字符号的代码。 BCD代码的种类：u有权码：8421BCD码(从高位到低位的权值分别为8、4、2、1)，2421BCD码(从高位到低位的权值分别为2、4、2、1)，5421BCD码(从高位到低位的权值分别为5

11、、4、2、1) 。u 无权码：余3码。余3码= 8421BCD码+00111、概述、概述数字电子技术数字电子技术161、概述、概述1111111111001110111010111101011110101100011010011011010110000100010001000011001100110010001000100001000100010000000000009876543210 十十 进进 制制 数数1100101110101001100001110110010101000011余余 3 码码2421( (B) )2421( (A) ) 5421 码码 8421 码码无权码无权码 有

12、有 权权 码码1001100001110110010101000011001000010000数字电子技术数字电子技术17l用用 BCD 码表示十进制数举例：码表示十进制数举例：1、概述、概述 (36)10 = (0011 0110)8421BCD (4.79)10=(0100.01111001) 8421BCD (536.8)10=(010100110110.1000) 8421BCD特别注意特别注意：BCD码与数制之间的区别。 (150)10 = (000101010000)8421BCD = (10010110)2 = (226)8 = (96)16 数字电子技术数字电子技术18l 算术

13、运算与逻辑运算概念算术运算与逻辑运算概念： 算术运算：对表示大小的数，使用某种运算方法(如+，-，)按某种运算规则进行的运算。 逻辑运算：对表示逻辑状态的数，按某种因果关系(如与，或，非)进行的运算。逻辑运算本质上是一种逻辑的推理。l 算术运算中的数据及表示：算术运算中的数据及表示：无符号数和有符号数：n 无符号数：所有数位都有权的数。n 有符号数：某些数位用于表示数据的符号(一般为最高位)，其余数位用来表示数据大小的数。1.3 算术运算与逻辑运算算术运算与逻辑运算 1、概述、概述数字电子技术数字电子技术19 有符号数的表示方法：n 原码表示：符号位+绝对值位。其中符号位：+0，-1，即(x)

14、原= xs xn-2 xn-3.x1 x0n 反码表示：n 补码表示：1、概述、概述23102310 0 0 1 0snnssnnsx xxx xxor xxx xxx xxor x反23102310 0 0 +1= +1 1 0snnssnnsx xxx xxor xxx xxx xxxor x补反数字电子技术数字电子技术20l 基本算术运算方法：基本算术运算方法：加法运算:一般采用原码和补码进行,并且 x+y原=x原+y原, x+y补=x补+y补减法运算:一般采用补码进行,并且 x-y补=x补+-y补其中 -y补等于y补包括符号位在内的按位反+1。1、概述、概述例如例如: : 7-5补=7

15、补+-5补=0111补+1011补=0010补=2补 4-(-3)补=4补+3补=0100补+0011补=0011补=7补 数字电子技术数字电子技术212、逻辑代数中的常用逻辑运算、逻辑代数中的常用逻辑运算本节主要内容本节主要内容u 逻辑代数概述逻辑代数概述u 基本逻辑运算基本逻辑运算u 复合逻辑运算复合逻辑运算数字电子技术数字电子技术222.1 逻辑代数及其基本概念逻辑代数及其基本概念 2、逻辑代数中的常用逻辑运算、逻辑代数中的常用逻辑运算1、逻辑代数、逻辑代数l 逻辑逻辑：即事物之间的因果关系。 逻辑代数逻辑代数：用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔 代数(Boole Algebr

16、a)或开关代数。l 逻辑代数的特点：逻辑代数的特点： 用字母表示变量(称逻辑变量)，并且只有0和1两种取值(0和1并不表示数量大小，而仅表示两种相反的状态)。 用逻辑代数式(即逻辑函数)描述客观事物间的关系。 按逻辑关系进行运算，且运算规律与普通代数有很大不同。数字电子技术数字电子技术232、逻辑体制、逻辑体制l 逻辑状态逻辑状态: :逻辑代数中，通常将工程上开关的闭合与断开，电机的运行与停止等状态称为逻辑状态，而逻辑或数字电路,又通常采用高电平和低电平来表示不同的逻辑状态。l 逻辑体制逻辑体制：对逻辑状态表示所作出的某种规定。存在两种逻辑体制:正逻辑制和负逻辑制。正逻辑制:规定高电平为逻辑1

17、、低电平为逻辑0。负逻辑制:规定高电平为逻辑0、低电平为逻辑1。如无特别申明,一般采用正逻辑制。l 高低电平的获取：高低电平的获取：通常使用如图所示的开关电路来获取。2、逻辑代数中的常用逻辑运算、逻辑代数中的常用逻辑运算ViVoVDD数字电子技术数字电子技术242.2 基本逻辑运算基本逻辑运算2、逻辑代数中的常用逻辑运算、逻辑代数中的常用逻辑运算 逻辑代数中,有3种基本逻辑运算,即逻辑与运算、逻辑或运算和逻辑非运算。 1、逻辑与运算、逻辑与运算l 运算规则运算规则：决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。l 典型实例：典型实例：灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关

18、开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 数字电子技术数字电子技术252、逻辑代数中的常用逻辑运算、逻辑代数中的常用逻辑运算l 表示方法表示方法： 真值表：反映条件变量与结果变量间因果关系的表格。 逻辑表达式： Y = A B 或 Y = AB 图形表示：用来实现逻辑与运算的数字电路称为与门与门。与运算可以用与门来表示。11 1YA B00 000 101 0 与门与门 (AND gate)数字电子技术数字电子技术262、逻辑代数中的常用逻辑运算、逻辑代数中的常用逻辑运算2、逻辑或运算、逻辑或运算l 运算规则运算规则：决定某一事件的诸条件中，只要有一个条

19、件具备，该事件就发生。l 典型实例及表示：典型实例及表示：灭灭断断断断亮亮合合合合亮亮断断合合亮亮合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A00 011 1YA B10 111 0 或门或门 (OR gate) 逻辑表达式 Y = A + B 数字电子技术数字电子技术272、逻辑代数中的常用逻辑运算、逻辑代数中的常用逻辑运算3、逻辑非运算、逻辑非运算l 运算规则运算规则：决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。l 典型实例及表示：典型实例及表示：AY0110逻辑表达式 Y = A 非门(NOT gate) 又称“反相器” 数字电子技术数字电子技术282.3 复合逻辑运算复合逻辑运算2

20、、逻辑代数中的常用逻辑运算、逻辑代数中的常用逻辑运算 复合逻辑运算由基本逻辑运算组合而成。 常用复合逻辑有以下五种： 1、与非运算、与非运算(NAND)先与后非先与后非入有入有 0 出出 1入全入全 1 出出 010 001 1YA B10 111 0数字电子技术数字电子技术292、逻辑代数中的常用逻辑运算、逻辑代数中的常用逻辑运算2、或非运算、或非运算(NOR)01 1先或后非先或后非入有入有 1 出出 0入全入全 0 出出 110 0YA B00 101 03、与或非运算、与或非运算(AND OR INVERT)先与后或再非先与后或再非数字电子技术数字电子技术302、逻辑代数中的常用逻辑运

21、算、逻辑代数中的常用逻辑运算4、异或运算、异或运算 (Exclusive OR)5、同或运算、同或运算 (Exclusive - NOR)入相异出入相异出 1入相同出入相同出 000 001 1YA B10 111 0入相同出入相同出 1入相异出入相异出 010 011 1YA B00 101 0注意注意：异或和同或互非，即：异或和同或互非，即：数字电子技术数字电子技术31本节主要内容本节主要内容u 逻辑代数中的基本公式与常用公式逻辑代数中的基本公式与常用公式u 逻辑代数中的基本定理逻辑代数中的基本定理3、逻辑代数中的基本公式和定理逻辑代数中的基本公式和定理数字电子技术数字电子技术323.1

22、逻辑代数中的基本公式逻辑代数中的基本公式 3、逻辑代数中的基本公式和定理、逻辑代数中的基本公式和定理1、常量间的运算公式、常量间的运算公式2、单个变量运算公式、单个变量运算公式0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 1 律律重迭律重迭律 互补律互补律 还原律还原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A 数字电子技术数字电子技术333、逻辑代数中的基本公式和定理、逻辑代数中的基本公式和定理3、多个变量间的运算公式、多个变量间的运算公式 交换律

23、 A + B = B + A ， A B = B A 结合律 (A + B) + C = A + (B + C)，(A B) C = A (B C) 分配律 A (B + C) = AB + AC， A + BC = (A + B) (A + C) 摩根定律(又称反演律) 摩根定律有如下推广形式：注意：注意：以上公式均可以采用推演和真值表两种方法予以证明。数字电子技术数字电子技术341、 证：证： 2、 证：证：3、 证：证：4、 证：证：3.2 逻辑代数中的常用公式逻辑代数中的常用公式 ABABA(BB)AABABAAABAAABA(1B)AAABA+BAAB(AA)(A+B)A+BBCDA

24、BAC+AB+ACABABCABACACABC+BCAB+AC+BC(AA)+=AC()+()=AB+1+BCACBA1+注意：注意：该公式可以推广为：BCABAC+AB+AC3、逻辑代数中的基本公式和定理逻辑代数中的基本公式和定理数字电子技术数字电子技术351、代入定理、代入定理定理内容：若将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑式替代，则等式仍然成立。 例如例如：注意注意：利用代入规则能扩展基本定律的应用。 2、反演定理、反演定理定理内容：对任一个逻辑函数式 Y，若将其中的“”“+”，“+” “”，“0” “1”， “1” “0”，原变量原变量反变量反变量，反变量反变量原变量原变量，则得到原

25、逻辑函数的反函数。3.3 逻辑代数中的基本定理逻辑代数中的基本定理 CDA+AB=A+BA ()+BCDCD=()+DBC用替代公式中的变量 , 则有以下等式成立：3、逻辑代数中的基本公式和定理逻辑代数中的基本公式和定理数字电子技术数字电子技术362、反演定理、反演定理反演变换时必须注意：n 不能改变原来的运算顺序。n 原变量换成反变量，反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非号应保持不变。 例如例如： 解解：利用反演定理得：YA B+CCD,Y已知求Y(AB C) (C+D)3、逻辑代数中的基本公式和定理逻辑代数中的基本公式和定理数字电子技术数字电子技术373、对偶定理、对偶定理 对偶式：对

26、任一个逻辑函数式 Y，若将其中的“”“+”，“+” “”，“0” “1”，“1” “0”，则得到原逻辑函数式的对偶式 Y 。 对偶变换必注意：(1)不能改变原来的运算顺序；(2)变量上的非号不改变。 对偶定理：若两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 显然，利用对偶规则，可以减少一半公式的记忆。或者利用对偶规则，可以将基本公式和常用公式扩展一倍。例如例如： (A+BAB) (A+C) (B+C)=(A+BACBC=AB+A)C(A+C)公式的对偶形式为： 3、逻辑代数中的基本公式和定理逻辑代数中的基本公式和定理数字电子技术数字电子技术38本节主要内容本节主要内容u 逻辑函数及其表示方法逻辑函数

27、及其表示方法u 逻辑函数的两种范式逻辑函数的两种范式u 逻辑函数的建立方法逻辑函数的建立方法4、逻辑函数及其建立与表示逻辑函数及其建立与表示数字电子技术数字电子技术394.1 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 4、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示1、逻辑函数、逻辑函数 反映某输出(结果)逻辑变量Y与输入(条件)逻辑变量A,B,C, 之间因果关系的表达式称为逻辑函数。 对于逻辑函数中的所有逻辑变量，只有0和1两种取值。 对于一个逻辑函数，一旦所有输入变量的取值确定，则输出变量的取值也随之确定。2、逻辑函数的表示方法、逻辑函数的表示方法 表示逻辑函数的方法主要有：真值表，逻辑

28、表达式，逻辑图，波形图，卡诺图，等。数字电子技术数字电子技术404、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示 真值表：将输入变量各种取值组合及其对应输出函数值排列而成的表格。 逻辑式：用与、或、非运算符号将逻辑变量按某种方法连接并能反映输出输入变量间逻辑关系的式子。 如： 逻辑电路图：用逻辑门图形符号和连线表示逻辑关系的图形。 逻辑图实质是逻辑函数的电路实现。Y ABCABC=输入变量输入变量A B C输出变量输出变量Y1 Y2 遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值数字电子技术数字电子技术414、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示 波形图：将输入变量所有可能取值组合

29、与对应输出按时间顺序排列起来而画成的时间波形。 卡诺图：逻辑函数的一种几何表示方法，本章后面介绍。3、逻辑函数不同表示方法间的相互转换：、逻辑函数不同表示方法间的相互转换： 对于逻辑函数，以上表示方法之间具有等价性，它们之间可以相互转换。 函数式函数式真值表真值表的方法： (1) 按n位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合； (2) 分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。数字电子技术数字电子技术424、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示 真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式的方法： (1) 找出函数输出值为 1 的项； (2) 对应这些项，分别用原变量、反变量表示其中取值为

30、1和0的输入变量，得到一个输入变量与项； (3) 将所有这些输入变量与项相加即得逻辑式。 逻辑函数式逻辑函数式逻辑图逻辑图的方法： 将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现，并按运算关系连接起来即可。 逻辑图逻辑图逻辑函数式逻辑函数式的方法： 在逻辑图中，按从前往后顺序，逐级写出各级相应输出即可得到最终的逻辑函数表达式。数字电子技术数字电子技术434、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示例：例：已知某逻辑函数真值表如下。(1)写出该逻辑函数的表达式；(2)画出其对应的逻辑电路图；(3) 画出逻辑电路对应的波形图。Y ABCABC=1000111100110101000100100100YCB

31、A011010001111ABCY01001111110000000001 1100011 100100000 0110数字电子技术数字电子技术444、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示4、关于逻辑函数不同表示方法的应用、关于逻辑函数不同表示方法的应用 逻辑函数的不同表示方法各有特点，适宜不同的应用。 真值表真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。 逻辑式逻辑式便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然后才能画出逻辑图。 逻辑图逻辑图是分析和安装实际电路的依据。 卡诺图卡诺图

32、主要用于化简逻辑式。数字电子技术数字电子技术454.2 逻辑函数的两种范式逻辑函数的两种范式(即两种标准形式即两种标准形式) 4、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示1、最小项及其性质特点、最小项及其性质特点 最小项概念：最小项概念：在逻辑函数中，如果一个与项（乘积项）包含该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则称该与项为最小项。 最小项的个数最小项的个数：对于 n 个变量的逻辑函数共有 2n个最小项。例如：例如：一个三变量逻辑问题的最小项表如下。数字电子技术数字电子技术464、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示三变量逻辑问题的最小项表三变量逻辑

33、问题的最小项表1000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001ABC最小项编号最小项编号最小项最小项最小项值最小项值m5m4m3m2m1m0CBACBACBABCACBACBACABCBA1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0A B Cm7m6编号编号CBACBABCACBACBACABABC数字电子技术数字电子技术474、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示 最小项的表示与编号：最小项的表示与编号：最小项用m表示，通常用十进制数作最小项的下标编号。编号方法是：将

34、最小项中的原变量当作1，反变量当作0，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为最小项的编号。例如：例如：BCA0113m3m44100CBA 最小项的基本性质：最小项的基本性质：n对于任一变量取值组合,所有最小项中有且只有一个为“1”；n (所有最小项之和等于1)n n对于只有一个因子不同的任意两个最小项(相邻最小项)，它们可以合并成一项，同时消去一对因子。如： 2101niim , ,0ijall i j ijm m26ABCABCmmBC数字电子技术数字电子技术484、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示2、最大项及其性质特点、最大项及其性质特点 最大项概念：最大项概念：在逻辑函数

35、中，如果一个或项包含了该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则称该或项为最大项。 最大项的个数最大项的个数：对于 n 个变量的逻辑函数共有 2n个最小项。例如：例如：一个三变量逻辑问题的最大项表如下。数字电子技术数字电子技术494、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示三变量逻辑问题的最大项表三变量逻辑问题的最大项表0111111110111111110111111110011111110111111110011111110111111110A+B+C最大项编号最大项编号最大项最大项最最 大大 项项 值值M5M4M3M2M1M01 1 11 1 01 0 11

36、 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0ABCM7M6编号编号A+B+CA+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+C数字电子技术数字电子技术504、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示 最大项的表示与编号：最大项的表示与编号：最大项用M表示，通常用十进制数作最大项的下标编号。其编号方法正好和最小项相反。将最大项中的原变量当作0，反变量当作1，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为最大项的编号。例如：例如： 最大项的基本性质：最大项的基本性质：n对于任一变量取值组合,所有

37、最大项中有且只有一个为“0”；n (所有最大项之积等于0)n n对于只有一个因子不同的任意两个最大项，它们的积等于它们中相同因子之和。如： 2100niiM , ,1ijall i j ijMM57()()MMABCABCACCBA0102M2M44100CBA数字电子技术数字电子技术514、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示3、逻辑函数的范式、逻辑函数的范式(标准形式标准形式) 同编号最小项与最大项之间的关系：同编号最小项与最大项之间的关系：如： 范式范式1最小项之和形式，即标准与或式：最小项之和形式，即标准与或式：任意函数总可以利用公式 来改写成最小项之和的形式，即：如： 范式

38、范式2最大项之积形式，即标准或与式最大项之积形式，即标准或与式：如：M , MiiiimmAA1367Y=ABCBCABC(A+A)BC=ABCABC+ABC (3,6,7)mmmm YYYMikkkkik ik ik ik immmm01245YABCBC(3,6,7)(0,1,2,4,5)MMMMM (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)mmYiim 333ABC, MA+B+CABCmm数字电子技术数字电子技术524.3 实际逻辑问题逻辑函数的建立实际逻辑问题逻辑函数的建立4、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示 实际工程中，任何一个具体因果关系

39、都可以建立与之相应的逻辑函数。建立方法如下:l 分析实际问题，明确其中蕴涵的因果关系，并进行逻辑赋值，列出该逻辑问题的真值表。l 根据真值表写出该逻辑问题的逻辑函数。l 逻辑函数化简，并画逻辑电路图。数字电子技术数字电子技术534、逻辑函数及其建立与表示、逻辑函数及其建立与表示例例：图示为控制楼道照明的开关电路。 两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下 开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。11YA B000 01 10 11 0YAB+ABABAB数字电子技术数字电子技术54本节主要内容本节主要内容u 逻辑函

40、数化简概述逻辑函数化简概述u 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法u 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法5、逻辑函数的化简逻辑函数的化简数字电子技术数字电子技术555.1 逻辑函数化简概述逻辑函数化简概述 5、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简1、逻辑函数化简的意义、逻辑函数化简的意义 基于最简逻辑函数进行数字电路或数字系统的开发设计，可以确保设计的逻辑电路简单，进而节省元器件、优化生产工艺、降低成本，并有利于提高系统可靠性。2、逻辑函数化简的标准、逻辑函数化简的标准 逻辑函数化简的标准问题实质上就是要解决将逻辑函数化简成将逻辑函数化简成何种形式何种形式的问题，它一般要与某种规定的或

41、已有可用的数字集成电路功能相适应。即：在逻辑函数的实现过程中，如果所使用的数字集成电路数目最少，则该逻辑函数是最简的。数字电子技术数字电子技术565、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简 逻辑函数的几种典型最简形式：n 最简与或式：最简与或式：乘积项最少，且各乘积项中因子数最少。(对应于函数的最少与门和或门实现)n 最简与非最简与非与非式：与非式：非号最少，且各非号下各乘积项中因子数最少。 (对应于函数的最少与非门实现) n 最简或与式：最简或与式：括号数最少，且各括号内因子数最少。 (对应于函数的最少或门和与门实现) n 最简或非最简或非或非式：或非式：非号最少，且各非号下相加的因子数最少。 (对

42、应于函数的最少或非门实现) n 最简与或非式：最简与或非式：非号下的乘积项最少，且各乘积项中因子数最少。 (对应于函数的最少与或非门实现) 数字电子技术数字电子技术575、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简例如例如：Y = AB+AC = = ()() = ( )() = ()() AB ACABACABACAB ACAB ACABAC-最简与或式-最简与非-与非式-最 简与或非式-最简或与式-最简或非-或非式数字电子技术数字电子技术585、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简3、逻辑函数的化简方法概述、逻辑函数的化简方法概述 目前逻辑函数的化简方法主要有两种。一种是利用逻辑代数中的基本公式和基本定理进

43、行逻辑函数化简，称为公式化简法公式化简法；另一种则是基于几何图形(卡诺图)对逻辑函数进行化简，称为卡诺卡诺图化简法图化简法。 这两种逻辑函数化简方法各有特点。前者要求熟练掌握并能灵活运用公式、定理，具有一定的观察能力。后者虽然直观简单，但无规可循，并且对变量个数有一定限制，通常只适用于5变量以下函数的化简。 基于以上化简方法的局限性，研发一种通用、可编程实现的逻辑函数化简方法对提高数字电路设计的自动化水平具有重要意义。数字电子技术数字电子技术595.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 5、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简 并项法并项法：运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。 吸收法

44、吸收法：运用A+AB =A和 ，消去多余与项。 消去法消去法：运用 ，消去多余因子。 配项法配项法：通过乘 或加入零项 进行配项，然后再化简。 利用对偶定理进行函数化简利用对偶定理进行函数化简。A+AB=A AB+AC+BC=AB+AC A+AB=A+B A+A=1A A=0数字电子技术数字电子技术605、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简例例1：例例2：例例3：例例4：例例5：化简函数 解解：Y=A(BC+BC)+A(BC+BC)=ABCA(BC)A Y=ABC+AD+CD+BD=ABC+D(A+C)+BBD BD D=+=ACB+AACADCC Y=AB+AB+AB+AB=AB+AB+(AB+

45、AB) =(AB)+CD AB =(AB)+CDCDCDCD=AB+AB+CD(B+B) ABY=AB+BC+ACD=AB+BC+ACD=+BCBC+CD+AD =AABB+BCY=(B+D)(B+D+A+G)(C+E)(C+G)(A+E+G) Y =BD+BDAG+CE+CG+AEG=BD+CE+CG Y=(B+D)(C+E)(C+G)数字电子技术数字电子技术615.3 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 5、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简1、n变量最小项卡诺图及其特点变量最小项卡诺图及其特点 逻辑相邻最小项逻辑相邻最小项：只有一个变量互为反变量，其余变量都相同的两个最小项，称为逻

46、辑相邻最小项，简称相邻项。 注意注意：相邻最小项具有如此重要特点：两个相邻最小项相加可合并为一项，并消去互反变量，即化简成为相同变量的与。如：n变量最小项卡诺图变量最小项卡诺图: 用小方格表示最小项，并将 2n 个最小项按“逻辑相邻则几何循环相邻逻辑相邻则几何循环相邻”的原则排列而成的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，简称为卡诺图。ABC+ABC=AB 数字电子技术数字电子技术625、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简2变量卡诺图：变量卡诺图：AB010 10 00 11 0 1 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 ABAAB BAB ABAB AB用反变量代用反变量代0 ，用原变量代，

47、用原变量代 13变量卡诺图：变量卡诺图： ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3 m0 m1 m5 以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性 几种典型卡诺图：几种典型卡诺图：数字电子技术数字电子技术635、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简4变量卡诺图：变量卡诺图： 注意：注意：如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何根据最小项找到卡诺图中对应的方格？m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10ABCD000111100001111013AB11CD01m数字电子技术数字电子技术645、逻辑函数的化简、逻辑函数

48、的化简 卡诺图的循环相邻性：卡诺图的循环相邻性：ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA 若逻辑相若逻辑相邻，则几何邻，则几何上也相邻。上也相邻。同一行最同一行最左与最右方左与最右方格相邻格相邻同一列最同一列最上与最下方上与最下方格相邻格相邻数字电子技术数字电子技术655、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简2、逻辑函数的卡诺图表示、逻辑函数的卡诺图表示 任意函数总可表示为 ，而卡诺图包含了全部最小项，所以任何函数都可以用卡诺图来表示。 用卡诺图表示函数的方法与步骤： 画出

49、与函数变量数目对应的卡诺图； 将函数改写成标准与或式，或者与或式，或者真值表； 填写卡诺图： 对于标准与或式表示的函数，在与函数所含最小项对应的方格中填1，其余填0。 对于真值表表示的函数，找出使Y = 1的所有取值组合，然后在卡诺图相应方格中填 1，其余填0。Y= im数字电子技术数字电子技术例例1：画出函数 Y = m (0,1,12,13,15) 的卡诺图。例例2：画出函数 的卡诺图。 665、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简 对于与或式表示的函数，对其中的每一个与项，在卡诺图中同时满足“原变量1，反变量0”的所有方格中填 1，其余填0。Y=AD+AB(C+BD) Y = AD+AB(C+

50、BD) =AD+AB+BCD,1)A0D 112A 1B 113)B 1C0D 11.在同时满足 ， 的方格中填 ； )在同时满足 ， 的方格中填 ；在同时满足 ， ， 的方格中填例例3：已知某3变量函数的真值表，试画出该函数的卡诺图。注意注意：若给出的是反函数，则填1、填0的方法相反。如：Y = ABC+ABC画出的卡诺图。数字电子技术数字电子技术675、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简3、逻辑函数的卡诺图化简、逻辑函数的卡诺图化简 化简的依据化简的依据：利用卡诺图的相邻性，对相邻最小项进行合并，消去互反变量，以达到化简的目的。 化简的规律化简的规律：2m 个相邻最小项可以合并成一项，并消去m

51、个变量，化简结果为相同变量的与。 即：消异存同消异存同例如例如：3) ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ADABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ ABCD+ABCD+ABCD+A2BCD=D)1)；ABCD ABCD CDABABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD 00 01111000011110数字电子技术数字电子技术685、逻辑函数的化简、逻辑函数的化简 化简步骤化简步骤： 函数表示：画出函数的卡诺图； 相邻项画圈：将填1的相邻最小项方格画入一个圈中； 各圈合并化简：将各圈中的相邻最小项合并成一个与项； 化简结果综合：将各圈合并化简结果相加，得到最终化简 结果。 画圈原则画圈原则： 各圈中相邻“1”的个数必须为2m个； 圈越大越好； 不同的“1”