让一题多解激发学生的思维(1)发表于少年科普2011

1、让一题多解激发学生的思维前苏联学者茹科夫斯基提出：“数学里有诗画那样美的境界”，如果让每一位学生如观赏风景般地来学习数学，自然就会其乐无穷，兴趣盎然。但传统的定势思维却在很大程度上禁锢了学生思维空间的拓展，让数学失去了生动性，增添了枯燥性，而在教学中注重思维的拓展，适当的一题多解可以激发学生去发现和去创造的强烈愿望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，开阔学生的视野，发展学生的创造性思维。下面就以我区2011年八年级上学期期中考试的一道习题，谈一谈一题多解。原题第问如图：点MN分别是x轴正半轴及射线0A上的一点，且0H丄MN的延长线于H,满足/HON=/NMO

2、,猜想MN、0H的数量关系，并给出证明。【由知A(4,4)】解析：第一问、第二问的解法略，下面就第三问从不同的角度探究它的解法。猜想线段MN与线段0H的数量关系，通过量一量，猜想MN=20H。结合平常的学习，证明一条长线段是另一条短线段的2倍，常常用到截取法或延长法解法1:如图1:延长0H至Q点，使OH=OQ，连结QM并交0A于R.则0Q=20H.HM丄0H,/0HM=/QHM=90又HM为公共边0HMQHM(SAS),/-ZHM0=/QMH又/HM0=ZH0A,/ZH0A=ZQMHvZ0NH=ZM0R,/Z0HM=ZNRM=90.由知ZA0M=450，/0R=RM.易证0RQAMRN(ASA

3、).0Q=MN,而0Q=20H./MN=20H分析：这种解法的思想就是用到了倍长法，使0Q=20H,只须证明0Q=MN即可。解法2:如图2。作MN的中垂线并交0A的延长2线于R点，垂足为K点，连结RM。易证RNKRMK(SAS)./ZRNK=ZRMK.v0H/RK,/ZH0R=ZKRN,又/HOR=/HMO/HMO=/KRN,vZRNK+/KRN=900,/HMO+ZRMH=900即ZOMR=90.由知ZAOM=45,OM=RM.易证OHMMKR(AAS)./MK=OH.又MN=2MK,二MN=2OH.分析：这种解法通过作MN的中垂线，得到了MN的中点，既知MN=2MK,只须构建全等三角形即可

4、证明OH=MK。这里实际上也用到了截取法的思想。解法3:如图3.过N点作ND丄OM于D点并交OH的延长线于E点vZEOD+ZE=900,ZEOD+ZNMD=900.ZE=ZNMD,vZHON=ZNMDZE=ZHON,ON=NEvHM丄OEaZOHN=ZEHN, OHN也EHN(AAS).HE=OH.贝UOE=2OH.由知ZAOM=450,OD=DN易证ODEANDM(AAS). OE=MN,MN=2OH.分析：这种解法的思想是通过作垂线，从另外的途径(构建全等三角形)得到OH的2倍的线段(OE),再只须证明OE=MN.解法4:如图4.取MN的中点R,过R作RQ丄MN于Q点，连结NQ.则MN=2

5、NR.易证NQRMQR(SAS).则ZQNR=ZQMR ZHON=ZQMR,/HON=ZQNRvZHON+ZANM=900, ZQNR+ZANM=900即ZONQ=9O0.由知ZAOM=450,ON=NQ易证OHNNRQ(AAS).NR=OH.,MN=2OH.分析：这种解法的思想就是用到了截取法，即取线段MN的中点R,再设法构建全等三角形，证明MN的一半等于OH即可得证。解法5:如图5作/NOM的角平分线0K,过0点作R0丄OK并交MN的延长线于R点。/HON=/OMN,又0H丄NM，丫0丄0M,/A0M=450./H0N=/0MN=/Y0H=22.50.aZRK0=450.0KR为等腰直角三

6、角形，则0K=0R,RK=20H.vZK0M=/KM0,0K=KM,/0R=KM,vZR0N=ZRN0=67.5,.0R=RN,KM=RN,二MN=RK,故MN=20H.分析：这种解法的思想就是联系到等腰直角三角形的斜边是斜边上的高的2倍,即构建以0H为斜边上的高的等腰直角三角形RK0，再设法证明RK=MN即可。此题如果学习了其它的知识点还有其它的方法。如方法6就是一例解法6:如图6.以0M为直径作Oc,交0A于Q点，连结QM,HC,HC交0Q于R.取QM的中点K，过K点作KL丄QM交MN于L点。vZH0Q=ZHMQ,二0H弧=HQ弧，二H0丄0Q,贝U0R=RQ.1v0Q/KL,QK=KM?.；LN=LM.贝ULM=MN2由知ZA0M=45,又Z0QM=90,v0Q=QM,0R=KM.易证0HRMLK(AAS)./0H=LM.,贝UMN=20H.分析：这种解法的思想就是通过作辅助圆，利用平行线等分线段定理得到线段MN的中点，再设法构建全等三角形证明0H等于MN的一半此题通过一题多解，知识点不断得到了灵活运用，也提高了学生思维的敏捷性和灵活性。总之，在教学中让学生学会一题多解，有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题，有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。在教学中，有时还利用一题多变，而一题多变的形式，可以训练学生积极思维，触类旁通，两者都