第11章近代物理学

1、第11章近代物理学狭义相对论部分11-1一静止时的长度为100m的宇宙飞船，相对地面以0.80c的速度飞行。(1) 在地面上观测，飞船的长度是多少？(2) 如果地面上的观察者发现有两束光脉冲同时击中飞船的前后两端，那么飞船上的观察者看到的是哪一端先被击中，击中飞船两端的时间间隔是多少？解：(1)设飞船为S'系，地球为S系，飞船相对地球运动，地球上看飞船长度收缩，依据运动长度收缩公式X-x'1-(v/c)2其中Ax'=100m.v=0.8c，则地球上看到飞船的长度为.X=100.1-0.82=60(m)(2)地面上的观察者发现有两束光脉冲同时击中飞船的前后两端，相当于两个

2、事件，地球参考下用时空坐标(X1,t1)(X2,t2),对应飞船坐标系中两事件的时空坐标为(X；,t1)(x；,t；),两根据洛仑兹时间变换公式：tV：x/c2-t=t2-t1二飞船上两事件的时间差为J1-(V/c)2已知.st=0,.：x=100,v=0.8c，代入求.t：t-t1(v/c)2vx/c2=00.8100/3108-2.6710(S)在飞船上看，飞船的前端先击中2.6710(S)11-2固定于S系X轴上有一根米尺，两端各装一激光枪。固定于S系x轴上有另一根长刻度尺。当这根长刻度尺以0.80c的速度经过激光枪的枪口时，两个激光枪同时发射激光，在长刻度尺上打出两个痕迹，求s系中这两

3、个痕迹之间的距离，在S系中的观测者将如何解释此结果。解：(1)激光发射打孔在S系中距离为一米，这个距离是同时测量得到的距离，而长刻度尺上留下的距离是静长，依据运动长度收缩公式1-(v/c)2其中Ax=1m.v=0.8c，则地球上看到飞船的长度为x=1/、1一0.82=1.67(m)(2)S系的激光枪同时击中长刻度尺的前后两处，相当于两个事件，S参考下用时空坐标(X,ti)(X2,t2)，对应S'坐标系中两事件的时空坐标为(x；,t；)(x2,t2)，两根据洛仑兹时间变换公式tf+vx7c2t=u，1(v/c)2飞船上两事件的时间差为丄丄加'+vAx7c2-t=t2-td:J-(

4、v/c)2已知.：t=0,.：x=1(m),v=0.8c，代入求t1-(v/c)2-v.：x/c2=0-0.81/3108=-2.6710(S)由此看来，S'系的前端先被打出刻痕，时间相对提前2.6710*(S)11-3地球上的观测者发现，一艘以0.60c的速度航行的宇宙飞船将在5s后同一个以0.80c的速度与飞船相向飞行的彗星相撞。按照飞船上观察者的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免相撞。解：两者相撞的时间间隔At=5s是运动着的对象一飞船和慧星一发生碰撞的时间间隔，因此是运动时.在飞船上观察的碰撞时间间隔At'是以速度v=0.6c运动的系统的本征时，根Lt'

5、据时间膨胀公式t=，可得时间间隔为-(v/c)2(v/c)2=4(S).11-4在S系中观察到在同一地点发生两个事件，第二事件发生在第一事件之后2s。在S系中观察到第二事件在第一事件后3s发生。求在S系中这两个事件的空间距离。解：在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差At=2s是本征时，而S系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，A'=3s是运动时，根据时间膨胀公式、组tJ-(v/c)22j-vc2)可以求两系统的相对速度为vc=2.24108(m/s)3在S'系中A和B两事件的空间距离为8=v.t=3v=6.71X(i0i).11-5静止时质量为m°边长为a的立

6、方体，当它以速度u沿与它的一个边平行方向相对s系运动时，在s系中测得它的体积将是多大？密度为多少？解：物体沿运动方向长度出现收缩，J=lx,1匚(u/c)2，垂直运动方向长度不收缩，所以在S'系中，物体的体积为V二a3.,1-(u/c)2，物体高速运动时，其质量也与速度有关,依据相对论质量-速度公式，m：，所以得到在S'系中物体的密度为J1-(u/c)2、mmoVa31-(u/c)211-6S系相对S系以速度u沿x(x)轴方向作匀速直线运动。一根直竿在S系中的静止长度为l，与x轴的夹角为二，试求它在S系中的长度和它与x轴的夹角。解：直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度

7、分别为lx=lcos0和ly=lsin0.在S'系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l'y=ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得lx=lxJ-(v/c)2,因此，在S'系中直杆的长度为l'=Jx2lx2=l,sin2rcos2r1(v/c)2小于原来只的长度。在S'系中，设尺与x'轴的夹角为二',tan8'=tan8'=tan)1-(v/c)2可得夹角为日'=arctan1(v/c)2*/2tan.运动时的夹角日'大于原来静止时对应的角日11-7在S系中发生两个事件，它们的空间间隔为300m，时

8、间间隔为2.010s。(1)设有一个相对S系作匀速直线运动的参考系S，在S系中这两个事件在同一地点发生，求S系相对S系的运动速度。(2)在S系中这两个事件的时间间隔是多少?解：根据洛仑兹变换，得两个事件的空间公式、也xvt=x二、也xvt=x二J-(v/c)2'由题意得：=2.10_6s,Zx=300m,Zx'=0.代入上式，求得由题意得：=2.10_6s,Zx=300m,Zx'=0.代入上式，求得v=1.5108(m/s)t2.010启t一.:xv/c再利用时间间隔公式.迸、丁1-(v/c)2代入数据，得到S'系中，两事件的时间间隔_6882辻'_21

9、0-3001.510/(310)1-(0.5)2=1.7310-6(S)11-8把电子由静止加速到速率为11-8把电子由静止加速到速率为0.10c，需对它做多少功？而由0.80c加速到0.9c需做多少功?解：根据功能关系和相对论动能关系式Ek二me2-m°c2,有2 2AEk=m2c-gc，得到把电子由静止加速到速率为0.10c，需对它做功为2221A二mnc-moCm°c(=-1)d-v2/c2=0.511(11)=2.5810(Mev)10.12把电子由0.80c加速到0.9c需做功A2二msC2m2c2二m0c2(A2二msC2m2c2二m0c2(1_1-v32/c2

10、,1-v22/c2-0.511(=1-1)=0.321(Mev)。1-0.92、.1-0.82_m)c2_.1-v2/c2考虑到电子的静能为2E=moc=0.511Mev，得到5.0叫/-v2/c2v=0.995c电子的动能Ek=mc22-m0c=5.0-0.511=4.49(Mev)电子的动量大小为P=mv=2v=5.00.995c/=c4.9C7/(Mev)11-10两个质子各以0.5c的速度相对于一个静止点反向运动，求:（1）每个质子相对于该静止点的动量和能量；（2）一个质子在另一个质子处于静止的参考系中的动量和能量。解：（1）依据相对论能量和动量关系式，得到质子的能量为E=mc上吨痘m

11、°c2山-V2/C2J1-0.523=1.15m0c2得到质子的动量为m)v_mb0.5c3m0c=0.58m0c11-9若一个电子的能量为5.0MeV，则该电子的动能、动量和速率各为多少?解：设电子速率为V,依据相对论质量-能量关系式E=mc2（2）首先要计算相对速度，然后用相对论能量、相对论动量计算结果。设地球为s'系，另一个质子设为s系，取vx=0.5c,u=0.5c，依据相对论速度变换关系式,一个质子相对另一个质子的速度为10.25=0.8cV；+uVxJ1¥vx)c一个质子在另一个质子处于静止的参考系中的动量为m°vm°vm00.8c4

12、一个质子在另一个质子处于静止的参考系中的能量为2E=mc2=C2m°cE=mc2M0c2.1-v2/c22=Am0c，522m°c1.67m°c。1-v2/c2J-0.82311-11设电子和正电子发生湮没前都静止，求它们湮没后所转变的双光子能量。解：依据能能量守恒，电子和正电子发生湮没，其静能转变为双光子的能量，即22h=2m0c=1.02Mev11-12一能量为A的光子撞击一质量为m。的静止粒子，光子的能量被粒子全部吸收而形成一个新粒子，求这一新粒子的反冲速度和静质量。解：依据能量守恒，得到新粒子的能量为E二me2二A-m0c2，设新粒子的速度为v，新粒子的静

13、止质量为M0,则光子的动量转化为整个新粒子的动量，再依据动量守恒列方程M0v_A1-v2/c2cAcv一m0c2A求解方程得到2m°c上述结果，体现光子与电子貌是结合，是我们把它作为整体来考虑，实际上二者会分开,出现散射光子和反冲电子的情况，这个在康普顿散射中有讲述。11-13电子速度取不同值时，其相对论动能与经典动能之比不同，试绘制其比值随速度变化曲线，给出v=0.01c,0.1c,0.2c,0.3g0.4c,0.5c,0.6c,0.7c,0.8c,0.9c,0.99c时，比值的大小。2解：电子的相对论动能Ek=mc2-moC2=/m°c二一m0c2J1-v2/c2一12

14、电子的经典力学动能；km0v者之比为旦=2c=/v2c2/v环Ji_v2/c2当v=0.01c,0.1c,0.2c,0.3c,0.4c,0.5c,0.6c,0.7c,0.8c,0.9c,0.99c时，比值依次为1.00,1.01,1.03,1.07,1.14,1.24,1.39,1.64,2.08,3.20,12.4，由此可见，速度越大，相对论动能与经典动能的比值越大，我们对于电子速度接近光速的粒子，要用相对论动能计算其值，不能用经典力学的动能关系式计算高速运动粒子的动能，否则误差很大。量子力学部分11-14人体也向外发出热辐射，为什么在黑暗中还是看不见人？答：人眼视觉神经对红外线不敏感，只对

15、可见光敏感，所以有红外线，人在黑暗中还是看不见他人。11-15夜间地面降温主要是由于地面的热辐射。如果晴天夜里地面温度为-5C,按黑体辐射计算，每平方米地面失去热量的速率多大？解：利用黑体辐射公式M二匚T4，地面晚上温度为T273二268K，得到每平方米地面每秒失去的热量为4_842M=-T=5.6710268=292(W/m)11-16在地球表面，太阳光的强度是1.0103W/m2。地球轨道半径以1.5108km计，太阳半径以7.0108m计，并视太阳为黑体，试估算太阳表面的温度。解：考虑太阳辐射传输到地球上，类似点光源辐射能量不变，即太阳表面球面的辐射能扩展到以太阳为中心地球轨道半径为大球

16、面的能量不损失，辐射总功率列方程11282P=1.0104二(1.510)=M4二(7.010)并利用黑体辐射出射度公式M二二4T求得太阳表面温度为T=5.3103K11-17宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景热辐射相当于T=3K的黑体辐射，试求： 其单色辐射出射度(即单色辐射本领)的峰值波长； 地球表面接收这一辐射的功率多大。解：(1)根据公式；mT=b，可得辐射的极值波长为亦=b/T=2.897X13=9.66X(10).(2)地球的半径约为R=6.371X1m,表面积为S=4nR.根据黑体表面在单位时间单位面积上辐射的能量公式M=(xT,得到地球表面接收此辐射的功率是P=MS=5.67X

17、-1x3x4ti>X6.371X6)&=2.34X91W/).这里要注意，地球表面温度更高，不管白天还是晚上要辐射更多的能量，当然白天对着太阳的一面要接收太阳光。11-18铝的逸出功是4.2eV，今有波长，=200nm的光照射铝表面，求:(1)(2)(3)解:光电子的最大动能；截止电压；铝的红限波长。(1)光子的能量为E-hv-hc/入根据爱因斯坦光电效应方程hv丘+A,得到产生的光电子的最大初动能为Ek=hv-A-348-7-19=6.63X1X3X12.0X106.72X彳0=3.23X-11j).(2) 利用遏止电势差的公式为eUs=压，遏止电势差为Us=Ek/e=3.23

18、x-?01.6x-19=2.0(V).(3) 铝的红限频率为v=A/h，红限波长为A)=c/0=hc/A-348-19=6.63X1X3X16.72X10=2.96x-7l(0n).11-19求波长分别为m=7.010m的红光和波长2=0.2510J0m的X射线光子的能量、动量和质量。解：X射线光子的能量为E=hv=hc/,入动量为p=h/；由E=hc/入=mc2，得其质量为m=h/c.入对于红光来说，能量为E1E16.6310431087勺0=2.84X-V0J),动量为6.63106.6310710j.=9.47X-2fQkgm-s-1),质量为m1=346.63x10-3108710-=

19、3.16对于X射线来说，能量为E26.6310-431080.2510J0=7.956动量为P2346.6310-丽=2.6520.2510-s1).质量为6.6310-4m2-3231080.2510J0=8.84X10kg)°11-20求氢原子莱曼系的最小波长和最大波长。解：解：氢原子能级公式为me418；fh2n2当n=1时，基态能级的能量为4me-18E122-2.18x1QJ)=-13.6(eV),8；°h因此En=§n依据波尔假设，当电子从n能级跃迁到m能级时放出(正)或吸收(负)光子的能量为11二En-Em二E1(22)nmn=1,m=2,3,4,I

20、II。当m趋于无穷大，E：=0，光子能量最大，频率最大，波长最小，列方程he'min二E：-E1二E1=13.6ev,求得min=91.4nm。氢原子莱曼系谱线中，当m=2时，光子能量最小，频率最小，波长最大，列方程h、=E2-巳=10.2ev,求得工-max=122nmn=2的轨道上电离出去，需多少能量11-21设氢原子中的电子从解：氢原子能级公式为me418；：h2n当n=1时，基态能级的能量为E14mec2,28；oh-2.18x1QJ)=-13.6(eV),因此E=勺n2n依据波尔假设，当电子从n能级跃迁到m能级时放出（正）或吸收（负）光子的能量为电离时，m趋于无穷大，E：=0

21、，当电子从n=2的能级电离时要吸收能量为11E：-E2-E=13.6(尹2）=3.4（eV），因此需要3.4eV的能量.11-22电子和光子的波长都是2.01040m，它们的动量和总能量各是多少解：依据德布罗意物质波波长公式，它们的动量都为h6.631034P二h6.631034P二210°=3.32x-14Qkgms-1).根据相对论能量-动量关系式E2=p2c2+m02c4,得到电子的总能量为E=c_p2m；c2=3x10x(3.315X4)ft+(9.1X11X3x8)01/2=8.19x10(J).因为光子的静止质量为零，得到光子的总能量为E=cp=3x103.32乂24=9

22、.95乂(J).11-23T=300K室温下的中子称为热中子，试计算热中子的平均德布罗意波长。解：中子热运动的平均速度为其中k为玻尔兹曼常数k=1.38x-1Jk-1,mn是中子的质量m“=1.675乂21g，可得平均速度为3 -1v=2.509X(ms),平均动量为p=m_v=4.2x-27(kgms-1).平均德布罗意波长为=h/p=1.58x-1fom)=0.158(nm).11-24假定对粒子动量的测定可以精确到千分之一，试确定下述粒子位置的不确定量。(1)质量为5.010-kg，以200ms运动的子弹；(2)以1.8108msJ运动的电子。解：粒子的动量为p=mv,动量的不确定量为佯

23、=p/1000,根据动量和位置的不确定关系?/2,位置的不确定量为Ax=?/2Ap.(1)1000h10006.6310(2)4二mv1000h4二mv3=5.276XV(m)4二5103210006.6310"318=3.22x-1?0m)4二811-25一束动量为P的电子通过宽度为a的狭缝发生单缝衍射，设缝与屏之间的距离为R，试求屏上所观察到的单缝衍射中央明纹宽度。解：根据动量和位置的不确定关系Apx涯h/2,其中位置不确定量为Ax=a,动量的不确定量为A)x=psinB.设电子衍射图样的中央最大半宽度为w，则sin0=w/R,可得pwa一匕，单缝衍射中央明纹宽度为2w一空.R2

24、pa11-26波函数的物理意义是什么，波函数必须满足哪些条件？答：波函数本身没有物理意义，如果要说意义，就是概率幅，即波函数的模的平方表示概率密度。概率作为实实在在的物理量，必须满足一定的物理条件，反映到波函数上也就有波函数必须满足标准化条件：单值性、连续性、有限性。O0波函数必须满足归一化条件：在全空间找到粒子概率为1，即.出；=1。11-27一宽度为a的一维无限深势阱，试用不确定关系估算阱中质量为m的粒子的最低能量为多少？解：粒子坐标的不确定范围是zx=a,动量的不确定范围是zp=h/zk=h/a.这也就是动量p的范围.因此能量为222E=p/2m仝h/2ma,最低能量可估计为22Emin

25、=h/2ma.11-28设有一宽度为a的一维无限深势阱，粒子处在第一激发态，求在x=0至x=a之3间找到粒子的几率。解：粒子在一维无限深势阱中的定态波函数为'n(X)'n(X)2.nx(0二xa)sin,aa(n=1,2,3,.)Y(x)=0,(x<0,x>a).当粒子处于第一激发态时，n=2,代入上式，并计算在x=0至x=a/3之间被发现的几率为a/3a/3小,.2222.x.|-2(x)|dxsindx00aa,3=0.391.2 2二11-29设粒子在宽度为a的一维无限深势阱运动时，其德布罗意波在阱内形成驻波，试利用这一关系导出粒子在势阱中的能量计算式。解：当

26、粒子在势阱中形成稳定驻波时，势阱宽度必然为半波长的整数倍，即n("2)=a,(n=1,2,3,)根据德布罗意假设入=h/p,可得粒子的动量为能量为pnh2a2mh28ma217-30一维运动的粒子，处于如下波函数所描述的状态,式中-0,A为待定常数。(1) 将此波函数归一化；求粒子位置的概率分布；(2) 粒子在何处出现的概率最大A2解：(1)利用波函数的归一化条件要求，得odod1二|'-|2dx二A2x2e-Xdx.：:0A2-1fx2dex0，A!x2e2x22-O0QO-fxe-xdx00=-2A21)2.xde2x2c0=-2A2(F)2xQOQO-Je®x

27、dx00曲日3日O0304/-A2所以A=2晋归一化波函数为甲(X)="3/怎卩&A°)；IO,(xco).(注利用r函数的性质可简化积分过程.QOn-1-xedx,当n为整数时,当n为整数时,r(=(n-1)!.设y=2入，贝Udx=dy/2入可得QO2J2-xI33A_y.xedx=()yedy020寸3皿2&)3，可以得出同一结果.)(2)粒子坐标的几率分布函数为w(xq(x心严x2e"20)；I0,(x£0).(3)利用几率密度求导等于零，即dw)=0,可得几率最大的位置为x=1/入dx给定时，不同量子态有几个？若给定的只是，n,

28、l，则结果又如何？如果只给定n,则又可以有多少个不同的量子态？解：当n、I、mi一定时，ms只取两个值，所以量子态数目为2.当n、丨一定时，mi有(21+1)种不同取值，所以量子态数目为2(21+1).当n定时，I从0到(n-1)共有n种不同取值，量子态数目为n丄n丄n丄、2(211)FT21i-0i-0i_0,n(n1)2=42n=2n.211-32激光器主要由哪几个部分构成？各部分分别起什么作用?答：激光器的主要部件为光学谐振腔，激光器由工作物质、激励能源和光学谐振腔三部分构成。三部分的作用(1) 工作物质具备亚稳态能级结构，这是实现粒子数反转并产生光放大的必要条件；(2) 光学谐振腔具有

29、垂直轴线的两块平行反射镜，利用谐振腔完成选频与择向任务并维持光振荡欣人;(3) 合适的激励能源提供足够的能量，激励源的能量需满足阈值条件。11-33激光有哪些特性？答：1方向性好激光几乎可以说是在一条直线上传播，不像普通光源那样向四面八方传播。激光束的发散角很小，可达110110'rad。2单色性和相干性好光的单色性用其谱线宽度表示,单色性越好，只有一个波长的单色光就是纯单色光。.79谱线宽度越大，其单色性越差，反之,对单色性较好的普通光源而言，其谱线(如He-Ne激光)，其谱线宽度可达谱线宽度越大，其单色性越差，反之,对单色性较好的普通光源而言，其谱线(如He-Ne激光)，其谱线宽度

30、可达0.1Hz，波长范围(又称线宽)仅为10$nm，和普通光源相比，激光的单色性可提高宽度约为110110Hz，而经过稳频的激光110811010倍，可见激光是颜色最纯、色彩最鲜的光。激光的单色性很好，相干长度很长，氦一氖激光器输出的光束相干长度达2X107km3高亮度激光能量可以在时间、空间上高度集中，形成高能量激光束或激光脉冲。一只功率为1mW的氦氖激光器的亮度为太阳光强的100倍；而输出功率较大的激光器，其亮度可达11019Wm2-Q4，是太阳亮度的数百亿倍。11-34康普顿散射实验中，为什么波长的改变量厶1与散射物质无关？答：康普顿散射的实质是入射X光子和散射物质中的自由电子发生碰撞，

31、电子先吸收一个光子，再散射释放一个能量低的X光子，散射光子比较入射光子频率降低，波长变长，电子能量增加。不同物质，自由电子是一样的，所以康普顿散射实验中，波长的改变量一与散射物质无关。11-35康普顿散射中，入射X射线的波长是，=0.7010°m,散射X射线与入射X射线垂直。求(1)散射X射线的波长；(2)反冲电子的动能Ek；(3)反冲电子的运动方向和入射X射线方向间的夹角"解：(1)根据康普顿散射公式，得波长变化为.总=2、sin222.4261012sin2=2.426x"!(m),24散射线的波长为X=入+入=0.72426X-11(m).(2)依据能量守恒

32、，得到反冲电子的动能为hchcEk=76.6310-431080.710°空士巻L9.52X-VJ)0.7242610J0(3)画出x光子与电子碰撞散射图，由于hc/'hc/0.70.72426=0.9665,所以夹角为0=44°'.11-36测得锗晶体产生光电导的极限波长是1.85103nm，求锗的禁带宽度。c解：依据光电导公式E二h汀-h，求得锗的禁带宽度-348=1.08109J=0.675ev,c6.63勺0汉3汉10二h二h訂丸1.850011-37已知硅晶体的禁带宽度E=1.8109J,掺入适量5价元素后，施主能级和上面空带底的能量差为.0-1.6J试计算施主能级释放电子至空带中时所需吸收光子的最尢波长。c解：依据光电导公式E二h：-h，得到施主能级释放电子至空带中时所需吸收光子的最大波长6.6310J431081.610216.6310J431081.61021=1.2410J0m11-38已知CdS和PbS的禁带宽度分别为2.42eV和0.3eV，试计算