现代设计方法计算题

1、1.试用进退法确定函数f（x）=x2-3x+5的一维优化初始区间a,b,给定初始点x0=-1，初始步长h=1。解：x1=x0=-1，f1=f（x1）=9x2=x0+h=-1+1=0，f2=f（x2）=5 比较f1，f2，由于f1f2，作前进计算：x3=x0+2h=-1+2=1，f3=f（x3）=3比较f2，f3，由于f2f3，再作前进计算： x1=x2=0，f1=f2=5 x2=x3=1，f2=f3=3 x3=x0+4h=-1+4=3，f3=f（x3）=5由于f2f3，可知初始区间已经找到，即a,b=0,3。2.设某种单元的可靠度R0(t)=e-t，其中=0.001/h，试求出：（1）由这种单

2、元组成的二单元串联系统，二单元并联系统及2/3（G）表决系统的平均寿命；（2）当t=100h、500h、1000h时，一单元、二单元串联、二单元并联及2/3(G)表决系统的可靠度，并加以比较。解：（1）一个单元与系统的平均寿命分别为： 单=1/ =1000h2串=1/2=500h2并=3/2=1500h2/3（G）=5/6=833.3h（2）当t=100h时，一个单元与系统的可靠度分别为：R单=e-0.001100=0.905R2串=R单2=e-0.2=0.819R2并=1-（1-R单）2=1-（1-e-0.1）2=0.991R2/3(G)=3R单2-2R单3=0.975当t=500h时，一个

3、单元与系统的可靠度分别为：R单=e-0.001500=0.6065R2串=R单2=e-0.52=0.3678R2并=1-（1-R单）2=1-（1-0.6065）2=0.8452R2/3（G）=3R单2-2R单3=0.6575当t=1000h时，一个单元与系统的可靠度分别为：R单=e-0.0011000=0.368R2串=R单2=e-2=0.135R2并=1-（1-R单）2=1-（1-e-1）2=0.600R2/3(G)=3R单2-2R单3=0.306从计算结果可以看出：（1） 一个单元的可靠度高于二单元串联系统的可靠度，但低于二单元并联系统的可靠度；（2） 2/3（G）系统的平均寿命为一个单元

4、的平均寿命的5/6 倍，明显低于一个单元的平均寿命。3.已知约束优化问题：minf（x）=x12+3x22Stx1+x2-10试写出内点罚函数与外点罚函数的表示式。解：内点罚函数：（X,rk）=x12+3x22+rk1X1+X2-1外点罚函数：当-x1-x2+10，（x，rk）=x12+3x22当-x1-x2+10，（x，rk）=x12+3x22+rk（-x1-x2+1）24.现在要用钢板制作一个有盖的长方本储水箱，要求各边长均不超过20厘米，且长度为宽度的2倍，试确定三边长度值，使该储水箱的容积最大，要求其表面积不超过400平方厘米。 解：（1）建立数学模型 用复合形法迭代3次。 取储水箱长

5、和高为设计变量x1，x2，则其宽0.5x1，数学模型为 maxF（X）=0.5x12x2 stx21+3x1x2400 0x120 0x220（2）用复合形法求解求得的近似结果为X*=x1,x2T=11.5.7.7TF(X*)=5091已知右上图所示等腰直角三角形的单元刚度矩阵为：K（e）=Et4313对-202称-1-101-1-10110-20002右图所示薄板结构中节点2处所受载荷以及材料的弹性模量和板厚分别为：F2=100KN，E=2107N/cm，t=0.1cm求节点2处的各位移分量。解得F2x=-70.7103N,F2Y=-70.7103NEtt2001u2v2=-70.7103-

6、70.7103u2=-7.0710-2cm，v2=-0.1414cm5.用梯度法求下列无约束优化问题：MinF（X）=x12+4x22，设初始点取为X（0）=2,2T，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为5.（1） 求初始点梯度F（X） F（X）=2X1,8X2TF(X(0)=4.16T(2)第一次搜索丨F（X（0）丨=16.5，s（0）=-F（X（0）/16.5=-0.243,0.97T0=2.157X（1）=X（0）+（0）S（0）=1.476,-0.923TF(x(1)= 2.952,-0.738T丨F(X(1)丨=3.0435.0故满足要求，停止迭代。最优点X*=1.476，-0.09

7、23T最优值F（X*）=2.216.节点和单元划分如图示的由两根杆组成的平面刚架结构，在节点3处作用大小为F的集中载荷，两单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即k(1)=k(2)=a2000-200110-1-10110-1-100020-2-2-1-10310-1-1-213 其中，a为常数。试引人支承条件写出总体平衡方程。解：先求单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵。单元（2）在总体坐标系下的单元刚度矩阵与在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即K(2)=k(2)=a2000-200110-1-10110-1-100020-2-2-1-10310-1-1-213 单元（1）的坐标转换矩阵中的=-

8、90，单元（1）的坐标转换矩阵为所以单元（1）在总体坐标系下的单元刚度矩阵为：K(1)=TTK(1)T=101-10-1020200101-10-1-12-1301000022-10-1123单元局部编码和总体编码的对应关系为：单元（1） i j1 2单元（2） i j2 3单元刚度矩阵中子块对应关系为；K（1）=k11k12k21k22（1），k（2）=k22k23k32k33（2）所以总体刚度矩阵为：节点的位移矢量为：u1v11u2v22u3v33T约束条件为：u1=0，v1=0，1=0作用到结构上的外力为：F3y=_F所以引入支承条件的平衡方程为：7一组实验数据如下，试用抛物线插值方法计

9、算X=92和X=198处的Y值。Xi 90 100 110 120 130 140 150Yi 0.68 0.74 0.79 0.83 0.86 0.89 0.92【参考答案】 抛物线插值公式为： Y（x）=（x-x2）（x-x3）（x1-x2）（x1-x3）y1+（x-x1）（x-x3)(x2-x1)(x2-x3)y2+(x-x1)(x-x2)(x3-x1)(x3-x2)y3当x=136时 x（130,140），|136-130|136-140|选择插值节点：（x1，y1）=（130,0.86），（x2，y2）=（140,0.89），（x3，y3）=（150,0.92）将以上数据和x=136

10、代入抛物线插值公式，得x-136时y值为：Y（136）=（136-140）（136-150）（130-140）（130-150）0.86+（136-130）（136-150）（140-130）（140-150）0.89+（136-130）（136-140）（150-130）（150-140）0.92=0.8788如图所示的平面刚架，由两个单元（1）和（2）组成，两单元的长度和载面尺寸及材料特性相同，单元（1）的局部坐标正方向为沿轴线方向节点1指向节点2，单元（2）的局部坐标正方向为沿轴线方向由节点3指向节点1，在局部坐标系下每个单元的刚度矩阵为k1=k（2）=A210001260-10060-

11、12640-62 -1000-1260100-601262064（1） 求刚架总体刚度矩阵K。（2） 引入支撑条件，写出平衡方程。平面刚架的坐标转换矩阵为。Te=cosasina0-sinacosa0000000001000 0000000cosa-sina00sinacosa00001-由局部坐标系与总体坐标系的关系知：单元（1）a=0，单元（2）a=在整体坐标系下，单元的刚度矩阵为：ke=T(e）K(e)T(e)K1=T1e K(1)T(1)-K(1)K(2)-T(2)TK(2)T(2)-K(2)-A21206010-6-120-600-104602 12060-106120-600102

12、-604单元（1）局部码对应的总码为，2，单元（2）局部码对应的总码为3.19.已知某零件的工作应力和材料强度均服从指数分布，且强度和应力的均值分别为r=210Mpa和s=160Mpa，试确定零件的可靠度。零件的工作应力和材料强度均服从指数分布，且r=210MPA；s =160Mpas=1s，r=1rR=ss+r=rr+s=210210+160=0.5675676该零件的可靠度为：R=0.5675676将下列实验测试数据拟合成y=axb形式的经验公式。（计算过程中保留小数点后两位） xi 1.18 1.58 2.40 3.00 3.80 yi 2.76 3.29 4.23 4.83 5.57将

13、Y=axb两边取对数，得：lny=lna+blnx令U=lny A=lna B=b V=lnx，则原式变为：U：A+BV将表数据取对数：Vi 0.17 0.46 0.88 1.10 1.34Ui 1.02 1.19 1.44 1.57 1.72按以上的Vi，Ui进行最小二乘拟合得5A+（i=15Vi）B=i=15Ui（i=15Vi）A+（i=15Vi2）B=i=15ViUi代入数据得5A+3. 95B=6. 943. 95A+4. 02B=6求解得A=0.92 B=0.60a=eA=2.5 b=B=0.6拟合的经验公式为y=2.5x0.610.如图所示的平面刚架，由两个单元（1）和（2）组成，

14、两单元的长度和载面尺寸及材料特性相同，单元（1）的局部坐标正方向为沿轴线方向节点1指向节点2，单元（2）的局部坐标正方向为沿轴线方向由节点3指向节点1，在局部坐标系下每个单元的刚度矩阵为.k（1）=k（2）=A210001260-10060-12640-62 -1000-1260100-601262064（1） 求刚架总体刚度矩阵K。（2） 引入支撑条件，写出平衡方程。解. 平面刚架的坐标转换矩阵为Te=cosasina0-sinacosa0000000001000 0000000cosa-sina00sinacosa00001由局部坐标系与总体坐标系的关系知：单元（1）a=0，单元（2）a=

15、90在整体坐标系下，单元的刚度矩阵为：ke=T(e）TK(e)T(e)K1=T1T K(1)T(1)=K(1)K(2)-T(2)TK(2)T(2)=K(2)=A2120-6010-6-120-600-104602 -120-60-106120-600102-604单元（1）局部码对应的总码为，2，单元（2）局部码对应的总码为3,1K（1）=k11k12k21k22（1） K（2）=k33k31k13k11（2）所以按照刚度集成法，可得出总体风度矩阵为：K=K11(1)+K11(2)K21(1)K31(2) K12(1)K22(1)0 K13(2)0K33(2)由于只有在节点2处作用有沿Y轴负方

16、向的外载荷F=100N，所以节点载荷矢量为F=0,0,0,0-100,0,0,0,0T支撑条件为u3=v3=3=0，所以等式右端的力矢量无须修改，矩阵K中7至9的各行各列修改成除主对角线元素为1外，其余各元素均为零1分总体平衡方程为11.某机电系统由10台相同设备组成，各设备可靠度为0.9，若该系统至少有7台设备正常运行就可以保证整个系统正常工作，试求该系统的可靠度。解：该系统的每台设备或是正常工作或是发生故障，其失效数为正整数。因此是离散型随机变量，且服从二项分布。系统的可靠度由下式计算 R（r）=i=0rCNRN-1F由题意知：r=3，N=10，R=0.9，F=1-0.9=0.1，则R（3

17、）=10！10-0！0！0.9（10-0）0.10+10！10-1！1！0.9（10-1）0.11+10！10-2！2！0.9（10-2）0.12+10！10-3！3！0.9（10-3）0.130.9872该系统的可靠度为0.987212. 已知ABC=001201111，将该三角形沿X方向移动1个单元，沿Y方向移动2个单位后，再放大一倍，求变换后ABC各顶点的坐标。这是一组合变换，先求出组合变换的变换矩阵。沿X方向移动1个单位，沿Y方向移动2个单位，变换矩阵为T1=100010121放大一倍，变换矩阵为：T2=200020001所以变换后的三角形顶点的坐标短阵为：变换后的三角形各顶点的坐标为

18、：A（2，4），B（6,4），C（4,6）13.用最小二乘法将下列数据拟合成Y=a0+a1x+a2x2形式的经验公式。（计算结果中保留两位小数）Xi1.202.403.204.545.82Yi7.6316.4124.1940.6560.41解：拟合公式为f（x）=y=a0+a1x+a2x2，表中共有5组数据则m=5由最小二乘法拟合思想得：5a0+a1i=15xi+a2i=15xi2=i=15yia0i=15xi+a1i=15x12+a2i=15xi3=i=15xiyia0i=15xi2+a1i=15xi3+a2i=15xi4=i=15xi2yi将表中数据代入得：5a0+17.16a1+71.9

19、2a2=149.2917.16a0+71.92a1+339.03a2=662.0971.92a0+339.03a1+1712.29a2=3237.31解得a0=2.31，a1=3.00，a2=1.20所以，由表中数据拟合成的经验公式为： _ y=2.31+3.00x+1.20x214. 已知目标函数：minF（x）=x12+x22-4x1-2x2+5约束条件： g1（x）=x22-x1-3，0 g2（x）=2x1-x2-20 g3（x）=2x1+x2-40 g4（x）=x20 试用Kuhn-Tucker条件判断点 x1（1,2）T和x2（1.5,1）T 是否为该有约束问题的极值点。15. （1

20、）先确定起作用约束 将x=1,2T代入约束方程，只有 g1（x）=0和g3（x）=0所以起作用的约束为 g1（x）和g3（x）(2)根据K-T条件，有F（x）=-i=1n1g1（x）F(x)=2x1-42x2-2 g1(x)=-12x2 g3(x)=21在x=1,2T 处 -22=1-14 +221解得 1=-2/32=2/3 不满足K-T条件，所以x=1,2T 不是约束最优点。将x=1.5,1T 代入约束方程，只有g2x=0和g3x=0所在起作用的约束方程为g2x和g3x （根据K-T条件，有F(x)=-i=1n1g1(x)F(x)= 2x1-42x2-2 g2(x)=2-1 g3(x)=2

21、1在x=1.5,1T处 -10=12-1+221 解得 1=1/4 2=1/4 满足K-T条件，所以x=1.5,1T 是约束极值点。16.一厚度为t，边长为l的正方形钢板，其支撑和受力情况如图示，按平面问题进行有限元分析时，划分的单元、结点的局部和整体编码如图所示。两三角形单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为；k(1)=k(2)=313-2-1-100-1-1-22000 对110称102试引入支撑条件写出平衡方程。单元节点局部编码与总体编码的对应关系： 单元（1）：i j k3 2 1 单元（2）：I j k4 1 2单元刚度矩阵中子块对应关系：k(1)=K33K32K31K23K22K21K13K12K11(1) k(2)=K44K41K42K14K11K12K24K2