第三章 连续转动群 2014

1、第三章 连续转动群第一节第一节 基本概念和定理基本概念和定理对称操作：对称操作： 使物质体系所占空间位置不变的空间变换。使物质体系所占空间位置不变的空间变换。对称操作需满足两个基本条件：对称操作需满足两个基本条件： 任意两点间距离不变；任意两点间距离不变； 任意两向量间夹角不变。任意两向量间夹角不变。（ 点可由点导出）点可由点导出）对称操作群：对称操作群： 对于一个物质体系，由该体系的所有对称操对于一个物质体系，由该体系的所有对称操作构成的集合。作构成的集合。 1 反演反演(inversion)：有定点：有定点O，使任一向量，使任一向量OP 变成变成OP 的操作，记作的操作，记作I . 点点O

2、 称为反演中心。反演与称为反演中心。反演与镜面反射镜面反射相互关联相互关联，其中一个是基本操作。，其中一个是基本操作。 （反演（反演 = 绕含反演中心的轴转绕含反演中心的轴转 角再角再做关于做关于 h 的镜面反射，的镜面反射， ）22hhIcc对称操作类型：对称操作类型： 旋转旋转(rotation)：绕固定轴：绕固定轴( (有向直线有向直线 ) )转某个转某个 角度角度 0 2)，记作，记作Ck() .2 镜面反射镜面反射( (或镜象、反映或镜象、反映) ) (mirror reflection)： 镜面记作镜面记作 ，以，以 为法向量的平面，记作为法向量的平面，记作 . h , v 分别为

3、垂直和通过主轴的镜面。分别为垂直和通过主轴的镜面。kk 平移平移(translation)：体系中所有点沿相同方向移动：体系中所有点沿相同方向移动 相同距离的操作，用矢量相同距离的操作，用矢量 表示表示（指向表方向，长度（指向表方向，长度表距离）表距离）。ak 空间操作空间操作( (space operation) )： 由平移操作实现，体系中所有点发生同方向同距由平移操作实现，体系中所有点发生同方向同距 离的移动。离的移动。 点操作点操作( (point operation) )： 体系中至少有一点不动的对称操作，称为点对称体系中至少有一点不动的对称操作，称为点对称 操作，简称点操作。包括旋

4、转和镜面反射。操作，简称点操作。包括旋转和镜面反射。例：例： 1. C3v 群：仅含点操作。群：仅含点操作。342. 花瓶花瓶 所有所有Cz()操作构成一个操作构成一个Abel群，称为群，称为SO(2)群群或或 R(2)群群。 （二维旋转对称操作构成的（二维旋转对称操作构成的二维旋转群二维旋转群，也称，也称二维转动群二维转动群） 有旋转对称轴；有旋转对称轴； 旋转任意角度不变，无限多个旋转任意角度不变，无限多个 对称操作；对称操作； 角度角度旋转旋转操作操作：Cz() zzzCCC 53. 圆球圆球 绕过球心的任意转轴，旋转任意角度，均是对称绕过球心的任意转轴，旋转任意角度，均是对称操作，全体

5、操作构成操作，全体操作构成 SO(3)群群或或 R(3)群群。 (三维旋转群三维旋转群) 过球心平面镜面反射也是对称操作，与过球心平面镜面反射也是对称操作，与R(3)群操作群操作联合构成联合构成O(3)群群。(三维全正交群，三维正交群，三维转动反演群三维全正交群，三维正交群，三维转动反演群) Ci = E, I I 与纯旋转操作对易，有与纯旋转操作对易，有 SO(3) Ci = O(3) 设不动点为坐标原点，则点操作设不动点为坐标原点，则点操作不改变不改变任意任意两矢量两矢量 ， 间的相对位间的相对位置（保长、保角变换）。置（保长、保角变换）。1r2r 点操作对应一个算符点操作对应一个算符 ：

6、 内积内积 满足此关系的变换是保长、保角变换满足此关系的变换是保长、保角变换1122.rArrAr；121212,r rr rArAr 6O1r2r1r 2r 由由 有有 变换算符变换算符 及对应矩阵及对应矩阵A是幺正的。是幺正的。1 =A AIAA（），12121212,r rr rAr ArA Ar r 点操作的特点点操作的特点 三维实空间三维实空间中，变换中，变换 不会将实矢量变成复矢量，不会将实矢量变成复矢量， 是实变换，结合幺正性，表明是实变换，结合幺正性，表明是正交算符，是正交算符， A为正交矩阵：为正交矩阵： ； .1AAA 由全体由全体3维正交变换维正交变换( (矩阵矩阵) )

7、构成的群称为构成的群称为三维全三维全正交群，正交群，O(3)群群。SO(3)群是群是Special orthogonal group . O(3) = SO(3) Ci , Ci = e, I .O(3)：三维旋转反演群。：三维旋转反演群。71AAA n维全正交群维全正交群 O(n)旋转、反射在实空间中对应着正交算符旋转、反射在实空间中对应着正交算符 ，以（以（1, 2, 3）为基，有：）为基，有： 0.ijjijAee AAA AAAI，矩阵满足8 ， （正交矩阵性质）（正交矩阵性质）1detAAdetdet1AA AAdetdet2det1A1detA9引理引理 1. 三维实空间中，纯旋转

8、操作所对应正交矩阵三维实空间中，纯旋转操作所对应正交矩阵 A 的行列式等于的行列式等于 1 。证明：证明：Cz() A ，det A = () . 连续变化，则连续变化，则 A的矩阵元和行列式的矩阵元和行列式也应连续变化。也应连续变化。zOrr Cz(0) I0 ，(0) = 1 .反证法：设在某反证法：设在某 处，处，() = 1,则必有则必有m (0, ) ，使，使 (m) = 0 ,而这违反而这违反 det A = 1 . () = 1 .Cz()110()m ， . 由引理由引理1， ， . 100010001A I而 det1A I 2det1A cdet1hA 正当操作正当操作：

9、det A = 1；非正当操作非正当操作： det A = 1 .10反演：反演： ， 22hhIcA IAA c 2detdetdethA IAA c含奇数次反演或镜面反射的操作对应行列式为含奇数次反演或镜面反射的操作对应行列式为 1 .构造三元一次方程组：构造三元一次方程组： 000 xxxAyIyAIyzzz 11引理引理 2. det A = 1 的正交矩阵的正交矩阵A对应一个定轴转动。对应一个定轴转动。0det0AI0000000detdetdetdetdetdetdetdetdetAIAAAA IAAIAIAIAIAAI证明：证明： . det ( AII0 0 ) = 0 ，有非

10、零解。，有非零解。 0012301230000123000 , ,.xxAkA e e eye e eAyzzxe e eIykz可见，矢量可见，矢量 为旋转操作为旋转操作A的转轴。的转轴。k12设解为设解为 x0，y0 ，z0 ，并定义，并定义 ，0 10 20 3kx ey ez e 称为称为无穷小算符无穷小算符（并非无穷小量，起生成元作用）。（并非无穷小量，起生成元作用）。 （群元算符的导数仍是算符）（群元算符的导数仍是算符）13 0 时，时， 000zzzCCCI 为有限值时，为有限值时， ，n为正整数。为正整数。取取n ， . nzCIen nzzCCn SO(2) 群的群元：群的群

11、元：Cz()，是是表征群元的连续参数。表征群元的连续参数。第二节第二节 定轴转动群定轴转动群 SO(2)一、群元表达式一、群元表达式 不同线性空间中不同线性空间中 算符算符有不同的矩阵形式。有不同的矩阵形式。1. 三维实空间三维实空间： 0 时，时， zCrrr33.errerr14 是反厄米算符：是反厄米算符： = + 证：证：Cz()是是幺正算符，幺正算符， 0 时，可时，可忽略忽略 2 项，有项，有 = + . zzCCIIII 0定义定义 ，有，有 ， .LiLL i LzCerr由由 ，33rrerIer zCI3. e(三维实空间)010100 .000 该矩阵虽然奇异，但该矩阵虽

12、然奇异，但 SO(2) 群元群元 Cz() 的表示矩阵的表示矩阵 I0(3) + 不奇异。不奇异。15 的变换矩阵形式：的变换矩阵形式： ； ； .1312eeee2321eeee 3330eee 2. 算符的另一种形式算符的另一种形式一维函数空间一维函数空间( (基基 ) )： 0 时时, 1, ,1,.zzCff Crffff 16.yxxyyxxyxy cossinxy（，）rz轴 x ,frf=zzLii xyrpLyx ， .zi LzCeSO(2) 群是群是Abel群，不可约表示均群，不可约表示均1维，无穷多个。维，无穷多个。17二、二、不可约表示和特征标不可约表示和特征标 0 0

13、zzzzCyCCCy zzzCCC 00zzzCCC对对 求导：求导：18 方程的解为方程的解为 0zCzCAe 0 01 zCzzCCe，而而要求要求 2=zzCC 0 , ()zCimm整数 ime imzCe不可约表示：不可约表示： 特征标：特征标：SO(2)群：群： 不同不同m值值对应不同不可约表示，无穷多个；对应不同不可约表示，无穷多个； 群元、群元算符形式：群元、群元算符形式： ； 不可约表示、特征标：不可约表示、特征标： ； 不能认为不能认为 （算符（算符 数）。数）。 zCe imzCeim 19若设若设() = g/2 ，则有，则有20 2 imimmmeed由， 2*0.m

14、mmmdg 特征标正交性定理：特征标正交性定理： 有限群：有限群：SO(2)群：群： 应有应有 ()为为 处处群元密度群元密度 ijijRRRg 20=mmmmdg = 0VVVdyxymxxmymyxxyxydt ( )xyyx可见可见 = 常数，即常数，即 是守恒量。是守恒量。zyxLxpypzL20（1）经典力学中，物体处于二维势场）经典力学中，物体处于二维势场 中，中， 如果如果 具有绕具有绕 z 轴旋转对称性，轴旋转对称性， ，即，即 V V,0V xyVmxFxVmyFy VV（2）量子力学中：）量子力学中： 算符在算符在 作用下不变，作用下不变， 为本征函数，为本征函数， 是矩阵，也是本征值。是矩阵，也是本征值。( )( )HTV rTVH( )zC,( )0zH C( )imzmmCe mime两边乘以两边乘以 ：H( )imzmmCHeH 可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。可见