河南理工大学计算机图形学7章-3 曲面

1、第第5 5章章2 2/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 7.1 三维对象概述7.2 双三次参数曲面7.3 双三次参数曲面7.4 双三次参数曲面7.5 双三次参数曲面 7.5.1 Coons曲面 7.5.2 Bezier曲面 7.5.3 B样条曲面第第5 5章章3 3/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 二次曲面（圆锥曲面）回转面直纹曲面构造曲面第第5 5章章4 4/30/30计算机图形学计算机图

2、形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 第第5 5章章6 6/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 第第5 5章章7 7/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 18m，1800T，间隙30mm 水轮机，15片叶片， 10米，400T400多吨,价值200多万元 瑞士ABB公司，切屑近10吨 第第5 5章章9 9/30/30计算机图形学计

3、算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 工程常用的双三次参数方程表示曲面片： 曲面的表示曲面的表示曲面：由边界条件 构造曲面片 曲面片拼接曲面曲面片：是构造曲面的基本单元， 是以曲线为边界的点的集合。 u0,1，w0,1 第第5 5章章1010/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 2四条边界四条边界 u=0 0w1 u=1 0w1 w=0 0u1 w=1 0u1 一、一、曲面片的边界条件曲面片的边界条件 1四个角点四个角点

4、u=0 w=0 曲面过Q(0,0)点，用P00表示 u=0 w=1 曲面过Q(0,1)点，用P01表示 u=1 w=0 曲面过Q(1,0)点，用P10表示 u=1 w=1 曲面过Q(1,1)点，用P11表示3八个切线矢量八个切线矢量 构造u=0、u=1、w=0、w=1边界需要八个切线矢量： 第第5 5章章1111/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 4曲线上任意点确定曲线上任意点确定 当取0j1和0i1时， 令u=i、 w=j，两条曲线的交点：Q(i，j)。W=ju=iPijuPijwPijuw

5、P10P00P11P01第第5 5章章1212/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 在Q(i，j)处存在u方向切矢： 在Q(i，j)处存在u方向切矢： 在Q(i，j)处存在混合导数（扭曲矢量）： 5任意点处的矢量任意点处的矢量 6构造曲面片的边界条件构造曲面片的边界条件第第5 5章章1313/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 7.5.1 孔斯曲面孔斯曲面 1. 孔斯曲面片的边界条件孔斯曲面片的边

6、界条件Hermite曲线：Q(t)=TMhGh=Fh(t)Gh2. 孔斯曲面片的数学形式孔斯曲面片的数学形式 1）对位置矢量： u=0 w=0 P00=a00 .(1) u=1 w=0 P10=a30+ a20+ a10+ a00 .(2) u=0 w=1 P01=a03+ a02+ a01+ a00 .(3) u=1 w=1 P11= a33+ a32+ . + a01 + a00 .(4) w=0 0u1w=1 0u1u=0 0w1u=1 0w1 第第5 5章章1414/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面

7、实体与曲线曲面 2) 对u方向的切线矢量： u=0 w=0 Pu00=a10 .(5) u=1 w=0 Pu10= 3a30+2a20+ a10 .(6) u=0 w=1 Pu01= a13+ a12+ a11+ a10 .(7) u=1 w=1 Pu11= 3a33+ 3a32+. + a11+ a10 .(8) 3) 对w方向的切线矢量 u=0 w=0 Pw00=a01 .(9) u=1 w=0 Pw10= a31+a21+a11+a01 .(10) u=0 w=1 Pw01=3a03+2a02+ a01 .(11) u=1 w=1 Pw11=3a33+3a32+.+a13+a12+a11

8、+a10 .(12) =3a33u2 w3+3a32u2 w2+3a31u2w+3a30u2 +2a23uw3+2a22uw2+2a21uw+2a20u +a13w3+a12w2+a11w +a10第第5 5章章1515/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 4). 对扭曲矢量 u=0 w=0 Puw00=a11 .(13) u=1 w=0 Puw10=3a31+2a21+a11 .(14) u=0 w=1 Puw01=3a13+2a12+ a11 .(15) u=1 w=1 Puw11=9a33

9、+6a32+. +3a13+2a12+a11 .(16) =9a33u2w2+6a32u2+3a31u2+6a23uw2+4a22uw+2a21u +3a13w2+2a12w+a11第第5 5章章1616/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 3. 中间曲线的定义令w=j，u=i ，求中间两条曲线。当w=j时，Q(i，j)的端点：P0j、P1j ， 两端点切矢：Pu0j、Pu1j 。 对u=0或u=1边界上点u向切矢： Pu0j、Pu1j是随着w的变化而变化的，其变化率 第第5 5章章1717/3

10、0/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 在四个顶点处：中间点的各切向矢量用两端点处的切矢和扭矢来确定中间点的各切向矢量用两端点处的切矢和扭矢来确定 第第5 5章章1818/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 对曲面上点Q(i，j)，是u=i和w=j两条曲线的交点，根据Hermite曲线： u=i时，位置矢量： Pi0=Fh1(ui)P00+Fh2(ui)P10+Fh3(ui)Pu00+Fh4(ui)Pu

11、10Pi1=Fh1(ui)P01+Fh2(ui)P11+Fh3(ui)Pu01+Fh4(ui)Pu11u=i时，切向矢量：Pwi0=Fh1(ui)Pw00+Fh2(ui)Pw10+Fh3(ui)Puw00+Fh4(ui)Puw10Pwi1=Fh1(ui)Pw01+Fh2(ui)Pw11+Fh3(ui)Puw01+Fh4(ui)Puw11第第5 5章章1919/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 孔斯曲面的矩阵形式：孔斯曲面的矢量形式：u调和函数w调和函数调和函数矢矢量量矩矩阵阵第第5 5章章20

12、20/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 位置矢量 扭曲矢量 在实际中取为0 Fh(w)=w3 w2 w 1 . Fh(u)=u3 u2 u 1=第第5 5章章2121/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 三、孔斯曲面片的拼接三、孔斯曲面片的拼接 如何利用孔斯曲面片的表达式绘制孔斯曲面片？孔斯曲面片的表达式： Q(u，w)=UMhBWMh 0w1 0u1 把曲面片拼接成光滑的曲面，在拼接处：C1连

13、续。第第5 5章章2222/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 1连续曲面的几何特性：连续曲面的几何特性： 1）在连接方向上，边界的两端点重合（共点）； 2）两曲面片具有公共边界（共界）； 3）边界上任何一点，在跨越边界的方向上切线的方向 相同（共向）； 4）边界上任何一点，在跨越边界的方向上切线相同 或长度之比为常数（共线）2孔斯曲面拼接条件：孔斯曲面拼接条件： 1）P10Q00 P11Q01 2）Pw10Qw00 Pw11Qw01 3）Pu1jQu0j 4）Pu1jaQu0j 第第5 5章章

14、2323/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 7.5.2 Bezier曲面曲面1 Bezier曲面的定义 在空间给定(m+1)(n+1)个点Pi,j (i=0,1,2,m; j=0,1,2,n)后，所有的控制点构成的空间的一张网格称为控制网格。则Bezier曲面的定义如下：0,1vu, )()(),(00,minjnjmijivBuBPvuQ 式中Bi,m(u)、Bj,n(v)分别为m及n次Bernstein 基函数:jnjjnnjimiimmivvCvBuuCuB)1()()1()(,第第5

15、5章章2424/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 双三次双三次BezierBezier曲面矩阵形式曲面矩阵形式(m=n=3) 1 23uuuU 1 23vvvVTTbbVMUMvuQG),(式中：式中：0001003303631331bM3 , 32 , 31 , 30 , 33 , 22 , 21 , 20 , 23 , 12 , 11 , 10 , 13 , 02 , 01 , 00 , 0PPPpPPPPPPPPPPPPG第第5 5章章2525/30/30计算机图形学计算机图形学2022

16、-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 下图是双三次Bezier曲面及其控制网格 双三次Bezier曲面及其控制网格P0,0P3,0P0,3P3,3P1,0P2,0P0,1P0,2P3,1P1,1P2,1P1,2P2,2P2,3P1,3P2,3第第5 5章章2626/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 2 Bezier曲面的性质(1)(1)端点位置端点位置控制网格的四个角点正好是控制网格的四个角点正好是BezierBezier曲面的四个角点。

17、曲面的四个角点。nmnmPQPQPQPQ, 00,0, 0) 1 , 1 ( ;) 1 , 0(;)0 , 1 ( ;)0 , 0(2)(2)边界线的位置边界线的位置 控制网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界， P(0,v),P(u,0),P(1,v),P(u,1) 分别是以P00P01P02P0n,P00P10P20Pm0, Pm0Pm1Pm2PPmn, P0nP1nP2nPmn 为控制多边形的Bezier曲线。第第5 5章章2727/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 (3)(3)

18、端点的切平面端点的切平面 由计算易知三角形P00P10P01，P0nP1nPmn，PmnPm-1,nPm,n-1，Pm0Pm-1,0Pm1所在的平面分别在点P00,P0n,Pmn,Pm0与曲面P(u,v)相切。(4)(4)端点的法向端点的法向 由端点的切平面知是P(u,v)在点P00的法向，其余各端点的法向的情况也类似。(5)(5)几何不变性几何不变性 由于曲面Q(u,v)的形状仅与各个控制点的位置有关，与坐标系的选择无关。第第5 5章章2828/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 3 Bezi

19、er 3 Bezier曲面的拼接曲面的拼接已知两张双三次Bezier曲面片： P： Q：)3,2, 1 ,0,(,jiPPji)3 , 2 , 1 , 0,(,jiQQji曲面片1曲面片2 (1) (1) 共界：共界： P P1 1(1,(1,v v)=)=Q Q2 2(0,(0,v v) )， 即有即有P P3,i= =Q Q0,i，i i=0,1,2,3=0,1,2,3 (2) (2)在曲面的拼接方向上切线连续，即跨界连续在曲面的拼接方向上切线连续，即跨界连续 P P3,i- -P P2,i = =( (Q Q1,i- -Q Q0,i) )，i i=0,1,2,3=0,1,2,3实现实现G

20、 G1 1连续性的条件为：连续性的条件为： 在边界上有公共切平面在边界上有公共切平面 第第5 5章章2929/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 7.5.3 B7.5.3 B样条曲面样条曲面1 B1 B样条曲面的定义样条曲面的定义 设节点向量U=ui，V=vi，分别是对参数uv平面上的u轴和v轴的分割，称下列张量积形式的参数曲面为m1m2 次B样条曲面。 minjnjmiijvFuFPvup00,)()(),(u,v0.1第第5 5章章3030/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院第第4 4章章 实体与曲线曲面实体与曲线曲面 双三次双三次B B样条曲面的表达形式样条曲面的表达形式TTBBVPMUMvuQ),( 1 23uuuU 1 23vvvV014103030363133161BM3 , 32, 31 , 30 , 33 , 22, 21 , 20 , 23 , 12, 11 , 10 , 13 , 02, 01 , 00 , 0PPPpPPPPPPPPPPPPP第第5 5章章3131/30/30计算机图形学计算机图形学2022-5-2计算机科学与技术