7.4平面与直线方程ppt课件

1、7.4 平面与直线方程平面与直线方程一 平面方程的各种形式二 直线方程的各种形式三 平面直线间的夹角及相互关系xyzo0MM 如果一非零向量垂直于一如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的平面，这向量就叫做该平面的法向量法向量已知平面的法向量为已知平面的法向量为,CBAn 设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn1 1 平面的点法式方程平面的点法式方程),(0000zyxM且过点且过点一一 平面方程的各种形式平面方程的各种形式,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程解解6, 4, 3

2、AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx)4 , 1, 2( A)2, 3 , 1( B)3 , 2 , 0(C例例1 1 求过三点求过三点和和的平面方程的平面方程. .由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx2 平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)

3、2( A平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. .0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. .0D0D0D0D坐标面；坐标面；xoy,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解)1 , 1 , 1(7 zyx051223 zyx例例2 2 求过点求过点，且垂直于平面，且垂直于平面和和的平面方程的平面

4、方程. .设平面为设平面为0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解),2, 3, 6( 824 zyx例例3 3 设平面过原点及点设平面过原点及点且与平面且与平面垂直，求此平面方程。垂直，求此平面方程。由平面过点由平面过点)2, 3, 6( 知知0CzByAx设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解zyx,、)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ), 0 , 0(cR例例4 4 设平面与设平面与三轴分别交于三轴分

5、别交于（其中（其中求此平面方程求此平面方程. .)0 abc代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴上截距轴上截距y轴上截距轴上截距z轴上截距轴上截距设平面为设平面为, 1 czbyax由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba 解解例例5 5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx坐标面所围成的四面体体积为坐标面所围成的四面体体积为1 1的平面方程的平面方程. .而与三个而与三个cba61161 ,61ta ,1tb ,61tc t令令 11111|666t tt 666.xyz 所求平面方程为所求平面方程为,61 t则

6、据题意有则据题意有. 161abc. 1, 6, 1cba ),(1111zyxP 1PNn0P 解解),(0000zyxPByAx 0 DCz0P例例6 6 设设是平面是平面外一点，求外一点，求到平面的距离到平面的距离. .01PrPPjdn|01nPPn222101010| )()()(|CBAzzCyyBxxA222111000| )(|CBACzByAxCzByAx222000|CBADCzByAxxyzo1 2 空间直线可看成不平行两平面的交线空间直线可看成不平行两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA

7、L1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程二二 直线方程的各种形式直线方程的各种形式xyzo 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量为这条直线的方向向量sL0M M ,0000zzyyxxMM 2 2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程),(0000zyxM设直线过点设直线过点,pnms 方向向量为方向向量为),(zyxM为直线上任意一点为直线上任意一点pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程（点向式）（点向式）（标准式）（标准式）直线的一组方向数直线的一组方向数sMM0/，那么，那么tpzznyym

8、xx 000令令例例7 求过两点求过两点),(),(222111zyxBzyxA的直线方程。的直线方程。解解所求直线的方向向量为所求直线的方向向量为sAB ,121212zzyyxx 所求直线方程为所求直线方程为121121121zzzzyyyyxxxx 3 3 空间直线的参数方程空间直线的参数方程 ptzzntyymtxx000，则有，则有例例8 8 将直线将直线解解01zyx0432zyx化为对称式与参数式方程。化为对称式与参数式方程。直线的方向向量为直线的方向向量为312111kjiskji34取取1x代入直线方程得代入直线方程得02 zy063zy解得解得, 2, 0zy因此得到直线上

9、一点因此得到直线上一点).2, 0 , 1 (直线的对称式方程为直线的对称式方程为参数方程为参数方程为.3241 tztytx32141zyx解解所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程为所求直线方程为.440322 zyx),4 , 3, 2( Ay例例9 9 一直线过点一直线过点且和且和轴垂直相交，轴垂直相交，求其方程求其方程.因为直线和因为直线和y轴垂直相交轴垂直相交, ,定义定义（取锐角）（取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:2

10、2222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 1 1 两平面的夹角两平面的夹角三三 平面直线间的夹角及相互关系平面直线间的夹角及相互关系 222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 特别特别1 与与2 重合重合21212121DDCCBBAA ),cos(cos21nn直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角

11、取锐角）两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角取锐角）. .两直线的夹角公式两直线的夹角公式2 2 两直线的夹角两直线的夹角,1111pnms ,2222pnms 1L设设是直线是直线与直线与直线2L的夹角的夹角222222212121212121cospnmpnmppnnmm,那么那么),cos(cos21ss两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL 0212121ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns)20(3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 称为直线称为直线直线和它在平面上

12、的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角与平面的夹角与平面的夹角 2),(ns或或222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm),cos(nssin解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 ssin69|22) 1() 1(12|637637arcsin 为所求夹角为所求夹角:L,21121 zyx: , 32 zyx例例10 10 设直线设直线平面平面求直线与平面的夹角求直线与平面的夹角. .),cos(ns解解,1213tztytx)5, 1

13、 , 2( M12131 zyx例例11 11 求过点求过点且与直线且与直线, ), 12, 13(tttN直线直线L的参数方程为的参数方程为那那么么1,2 ,3 sMN，又，又tttMN5,2,33，因此有，因此有0)5(4)33(3ttt1 tL：垂直相交的直线方程，并求点垂直相交的直线方程，并求点M到直线到直线 的距离。的距离。L与直线与直线L垂直相交的交点为垂直相交的交点为设所求直线设所求直线故交点故交点)1, 3 , 2( N.取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MN,4 , 2 , 0 所求直线方程为所求直线方程为215.012xyz |dMN 52420222 点点M到直

14、线到直线 的距离的距离L设直线设直线L的一般式方程为的一般式方程为111122220(1)0(2)A xB yC zDA xB yC zD 4 4 平面束方程平面束方程定义：通过定直线的所有平面的全体称为平面束。定义：通过定直线的所有平面的全体称为平面束。则通过直线则通过直线L的平面束方程：的平面束方程：是任意实数是任意实数其中其中11112222()0A xB yC zDA xB yC zD (3)，但是方程，但是方程(3)不包含平面不包含平面(2)。解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为(1)(1)0 xyzxyz 所求平面过点所求平面过点(2,1,1),M所求平面方程为所求平面方程为244403333xyz 例例1212 求过直线求过直线1010 xyzxyz 和点和点(2,1,1)M的的平面方程。平面方程。2220 xyz