概率与数理统计第一章习题课

1、1 1 掌握随机事件及样本空间，事件之间的掌握随机事件及样本空间，事件之间的关系及其运算关系及其运算. .2 2 理解频率与概率的概念，掌握概率的基理解频率与概率的概念，掌握概率的基本性质及其计算本性质及其计算. .3 3 掌握古典概型，几何概率定义掌握古典概型，几何概率定义. .4 4 会用条件概率，乘法公式，全概率公式会用条件概率，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式和贝叶斯公式. .5 5 事件独立性事件独立性, ,贝努里概型贝努里概型. .教教 学学 要要 求求主要计算公式主要计算公式古典概率古典概率中中基基本本事事件件的的总总数数包包含含的的基基本本事事件件数数SAAP )(求逆公式求逆

2、公式)(1)(APAP )()()()(ABPBPAPBAP 加法公式加法公式( ( 可以推广可以推广 ) )求差公式求差公式）（）（ABPAPBAP )( 条件概率条件概率0)( , )()()( APAPABPABP全概率公式全概率公式)()()(1iniiBPBAPAP 乘法公式乘法公式0)( , )()()( APAPABPABP0)( )()( BPBAPBP )()A()( )()( 112221112121APAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn 条件概率条件概率0)( , )()()( APAPABPABP)()()(BAPABPAP 若事件若事件 A1 , A2 , .

3、 , An 是相互独立的，则是相互独立的，则)(1)(2121nnAAAPAAAP )()()(121nAPAPAP 贝叶斯公式贝叶斯公式)()()()()(1jnjjiiiBPBAPBPBAPABP 全概率公式全概率公式)()()(1iniiBPBAPAP 例例1 1、某地发行某地发行A，B，C三种报纸，已知在市民中订阅三种报纸，已知在市民中订阅A报的有报的有45%45%，订阅，订阅B报的有报的有35%35%，订阅，订阅C报的有报的有30%30%，同时订阅，同时订阅A及及B报的有报的有10%10%，同时订阅，同时订阅A A及及C C报的有报的有8%8%，同时订阅，同时订阅B及及C报的有报的有

4、5%5%，同时订阅，同时订阅A，B，C报的有报的有3%3%。试求下列事件的概率：试求下列事件的概率：1 1 只订只订A报；报；2 2 只订只订A及及B报；报；3 3 至少订一种报纸；至少订一种报纸；4 4 不订任何报纸；不订任何报纸；5 5 恰好订两种报纸；恰好订两种报纸；7 7 至多订一种报纸。至多订一种报纸。6 6 恰好订一种报纸；恰好订一种报纸；解：解：设订阅设订阅 A 报的为报的为“A”事件，事件， 订阅订阅B B报的为报的为“ “ B ”B ”事件，订阅事件，订阅 C 报的为报的为“ “ C ” ”事件事件)()()()(ABCPACPABPAP 1 1、只订、只订A报；报； =0.

5、45-0.1-0.08+0.03=0.3)()( )()(ABCPABPABCABPCABP 2 2、只订、只订A及及B报；报；=0.1-0.03=0.07由已知由已知 P( (A)=0.45)=0.45， P( (B)=0.35, )=0.35, P( (C)=0.3)=0.3, , P( (AB)=0.1, )=0.1, P( (AC)=0.08, )=0.08, P( (BC)=0.05, )=0.05, P( (ABC)=0.03,)=0.03,) (CBAP)(CABP )()()()(CPBPAPCBAP=0.45+0.35+0.3-0.1-0.08-0.05+0.03=0.9)(

6、)()()(ABCPBCPACPABP )(1)() (CBAPCBAPCBAP =1- 0.9=0.13 3、至少订一种报纸；、至少订一种报纸；)(CBAP4 4、不订任何报纸；、不订任何报纸；) (CBAP5 5、恰好订两种报纸；、恰好订两种报纸；)(BCACBACABP )()()()()()()()()(ABCPBCPABCPACPABCPABPBCAPCBAPCABP =0.1+0.08+0.05-0.03-0.03-0.03=0.14)()( ) (1ABCPBCACBACABPCBAP =1- 0.1- 0.14- 0.03=0.7383.073.01 .0 6 6、恰好订一种报

7、纸；、恰好订一种报纸；) (CBACBACBAP 7 7、至多订一种报纸。、至多订一种报纸。) (CBACBACBACBAP ) (CBACBACBACBAP 从从5 5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4 4只，问这只，问这4 4只鞋子中至只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？少有两只配成一双的概率是多少？例例2 2、法法1 1：)(1) (APAP 78910468101 2113 法法2 2：)(1) (APAP 41012121212451CCCCCC 2113 法法3 3：) (AP410252815CCCC 2113 ， 求求) ()(BAPABP pAP )().(BP例例3

8、 3、已知、已知A，B两个事件满足两个事件满足，且，且)()()(-1 ) (-1) () (ABPBPAPBAPBAPBAP )() (ABPBAP 又又由由解：解：)()()(-1)(ABPBPAPABP 得得pAPBP-1)(-1)( 例例4 4：对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为时，产品的合格率为0.9，而当机器发生某一故障时，而当机器发生某一故障时，其合格率为其合格率为0.3，每天早上机器开动时，机器调整良好，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为的概率为0.75，试求已知某日早上第一件产品是合格品，试求已知某日早

9、上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？时，机器调整得良好的概率是多少？设设 A ： “ “ 产品合格产品合格 ” ” ，解解B ： “ 机器调整良好机器调整良好 ” P (A B) =0.9,P (A B)=0.3,P (B) =0.75,P (B) =0.25由贝叶斯公式由贝叶斯公式)(ABP25.03.075.09.075.09.0 9.0 后验概率后验概率)()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 先验概率先验概率B ，B 是是样本空间样本空间 S 的一个的一个划分划分例例5 5、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具

10、有如下的效果：如下的效果： 事件事件A: “: “试验反应为阳性试验反应为阳性”事件事件B: “: “被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症”先验概率先验概率)(ABPP (B) =0.005求：求：后验概率后验概率解解)(ABP995.005.0005.095.0005.095.0 087.0 )()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 由由P (A B) = 0. 9505. 095. 01)(1)( BAPBAPP (A B) = 0. 95B ，B 是样本空间是样本空间 S 的一个划分的一个划分说明：一定注意区分说明：一定注意区分P (A B) 和和)(ABP例例6 6、 524

11、950492020)(250149 AAAPA: :解：解：法法1 1：法法2 2：)()()(ABPBAPAP 524920503049195020 假如一个比赛中赢假如一个比赛中赢 6 6 次才算赢，两人在甲赢次才算赢，两人在甲赢 5 5 次，次，乙赢乙赢 2 2 次的情况下中断比赛，奖金应按什么比例次的情况下中断比赛，奖金应按什么比例分配（设每次比赛相互独立）？分配（设每次比赛相互独立）？（1 1）假设两个人的技术水平相同；）假设两个人的技术水平相同；（2 2）假设两个人的技术水平不同。）假设两个人的技术水平不同。例例7 7、解：解：设甲赢为设甲赢为“Ai (i=1,2,3,4)”事件，

12、事件，乙赢为乙赢为“Bi (i=1,2,3,4)”事件事件)()1(4321BBBBP161)21(4 奖金应按奖金应按 15:1 15:1 分配分配; ;)()2(4321BBBBP4)72( 24018 奖金应按奖金应按 2393:82393:8分配分配. . 课课 堂堂 练练 习习4 4、设事件、设事件 是是 的子事件的子事件, , P(B)0， 则下列选项必然成立的是则下列选项必然成立的是（ ） P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)25 5、一批零件共、一批零件共100100个，次品率为个，次品率为1010%，每次从中取，每次从中取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取一个

13、零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率到合格品的概率. . 5 5、一批零件共、一批零件共100100个，次品率为个，次品率为1010%，每次从中取，每次从中取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率到合格品的概率. . )(321AAAP解：解：设设 Ai 表示表示“第第 i 次取到的是合格品次取到的是合格品”(i=1,2，3)， 所求概率为所求概率为)|()|()(213121AAAPAAPAP 0083. 0 如果取到一个合格品后就不再继续取零件，求在三如果取到一个合格品后就不再继续取零件，求在三次内取得合格品

14、的概率次内取得合格品的概率. .989099910010 6 6、市场上某种商品由三个厂家同时供应、市场上某种商品由三个厂家同时供应, ,其供其供 应量为应量为: :甲厂家是乙厂家的甲厂家是乙厂家的2倍倍, , 乙和丙两个厂家乙和丙两个厂家 相等相等, , 且各厂产品的次品率为且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,(1) (1) 求市场上该种商品的次品率求市场上该种商品的次品率. .(2) (2) 若从市场上的商品中随机抽取一若从市场上的商品中随机抽取一 件件, ,发现是发现是 次品，求它是甲厂生产的概率次品，求它是甲厂生产的概率? ?（1 1）设设Ai i 表示取到第表示取到第 i 个工厂产

15、品，个工厂产品，i=1,2,3, =1,2,3, B表示取到次品表示取到次品, ,由题意由题意 得得: :P( (A1 1)=0.5,)=0.5,P( (A2 2)=)=P( (A3 3)=0.25, )=0.25, P( (B| |A1 1)=0.02,)=0.02,P( (B| |A2 2)=0.02,)=0.02,P( (B| |A3 3)=0.04)=0.04由全概率公式得由全概率公式得: :)|()()(31iiiABPAPBP =0.025： 4 . 0025. 001. 0)(1 BAP(2)由由贝叶斯公式贝叶斯公式得得: :7 7、某工人同时看管三台机床，每单位时间、某工人同时

16、看管三台机床，每单位时间( (如如30分钟分钟) )内机床不需要看管的概率：内机床不需要看管的概率： 甲机床为甲机床为0.9，乙机床为，乙机床为0.8，丙机床为，丙机床为0.85。 若机床是自动且独立地工作，求若机床是自动且独立地工作，求（1 1）在）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率分钟内三台机床都不需要看管的概率（2 2）在）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机 床需要看管的概率床需要看管的概率 解：解：设设A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要为甲、乙、丙三台机床不需要（1 1）P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) =0.9 0

17、.8 0.85 =0.612(2) (2) P(A1A2 A3)= P(A1) P(A2) P( A3) = 0.9 0.8 (1-0.85)=0.108依题意有依题意有 3A看管的事件，看管的事件，为丙机床需要看管的事件，为丙机床需要看管的事件，8 8、三个元件串联的电路中、三个元件串联的电路中, , 每个元件发生断电的每个元件发生断电的概率依次为概率依次为0.3, 0.4, 0.6, 0.3, 0.4, 0.6, 各元件是否断电相互各元件是否断电相互独立独立, , 求电路断电的概率求电路断电的概率. . 解解 设设A1, ,A2, ,A3分别表示第分别表示第1, ,2, ,3个元件断电个元

18、件断电, , A表示电路断电表示电路断电, ,则则A1, ,A2, ,A3相互独立相互独立, , A= = A1U UA2U UA3, ,P( (A)=)=P( (A1U UA2U UA3)=)=)(1321AAAPUU )()()(1321APAPAP =1-0.168=0.832=1-0.168=0.8329 9、 加工某一零件共需经过三道工序加工某一零件共需经过三道工序. .设第一、设第一、二、三道工序的次品率分别是二、三道工序的次品率分别是2%，3%，5%. .假设各道工序是互不影响的，问加工出来的零假设各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？件的次品率是多少？ ( (可用两种方法解决可用两种方法解决) )0.096931010、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，命、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别为中率分别为0.6和和0.5，现已知目标被击中，则它，现已知目标被击中，则它是甲击中的概率为是甲击中的概率为( )( )= =0.6/0.8=3/4或或)(1/)()(/ )()|(CPAPCPACPCAP 解解设设A=甲中甲中,B=乙中乙中,C=目标被击中目标被击中,所求所求 P( (A| |C) )= =P( (AC)/)/P( (C) )= =P( (A)/)/P( (A)+)+P( (B)-)-P( (A) )P( (B)讨论讨论: 甲、