理论力学7—刚体的基本运动

1、7 刚体的基本运动 刚体的平动 刚体的定轴转动 转动刚体上各点的速度和加速度 轮系的传动比 以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。7.1 刚体的平行移动此处有影片播放此处有影片播放摆式输送机的料槽摆式输送机的料槽夹板锤的锤头夹板锤的锤头直线行驶的列车车厢直线行驶的列车车厢结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。7.1 刚体的平行移动yxzaBvBvAaArArBABB1B2

2、A2A1OABBArr ABvvABaa 在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。7.2 刚体绕定轴的转动此处有影片播放此处有影片播放如图，两平面间的夹角用j表示，称为刚体的转角。转角j是一个代数量，它确定了刚体的位置，它的符号规定如下：自z轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算取正值；按顺时针转向计算取负值。并用弧度(rad)表示。7.2 刚体绕定轴的转动当刚体转动时，角j是时间t的单值连续函数，即( )f tj这就是刚体绕定轴转动的运动方程。7.2 刚体绕定轴的转动转角j对时间的

3、一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:ddtjwj 角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s (弧度/秒)表示。角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角速度取正值，反之取负值。角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母a表示，即22ddddttwjawj7.2 刚体绕定轴的转动角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2 (弧度/秒2)表示。角加速度也是代数量。如果w与a同号，则转动是加速的；如果w与a异号，则转动是减速的。7.2 刚体绕定轴的转动 工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(r/min)， w与n的转换关系为20.16

4、030nnnw匀速转动0Consttwjjw匀变速转动020012tttwwajjwa 当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。sRj动点速度的大小为ddddsvRRttjw7.3 转动刚体内各点的速度和加速度设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B位置，其上任一点由O运动到M。以固定点O为弧坐标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。7.3 转动刚体内各点的速度和加速度7.3 转动刚体

5、内各点的速度和加速度tddd()dddvaRRRtttwwa点M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向加速度为：即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当a是正值时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。7.3 转动刚体内各点的速度和加速度222n()vRaRRww法向加速度为：即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的

6、指向相同；如果w与a异号，刚体作减速转动， at与v的指向相反。这两种情况如图所示7.3 转动刚体内各点的速度和加速度atat (1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角q 都有相同的值。点的全加速度为：2224tnt2ntanaaaRaaawaqw7.3 转动刚体内各点的速度和加速度例7-1 齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知r1、 r2、 w1、 1，求w2、 2 。 解：因啮合点无相对滑动，所以tt1212,vvaa由于111222tt11

7、1222,vrvrararww于是可得于是可得11212122,rrrrww即即112221rrwww11r1O1O2r2w22v1v2at1at2 例7-2 一半径为一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴的圆轮绕定轴O的转动方程的转动方程为为 ，单位为弧度。求，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点时，轮缘上任一点M的的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体的绳子并在绳端悬一物体A，求当，求当t=1s时，物体时，物体A的速度和加的速度和加速度。速度。tt42j 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为解：圆轮在任

8、一瞬时的角速度和角加速度为42 tdtdjw222dtdj求当求当t=1s时，则为时，则为srad /2w2/2srad 因此轮缘上任一点因此轮缘上任一点M的速度和加速度为的速度和加速度为smRv/4 . 0w2/4 . 0smRa22/8 . 0smRanw方向如图所示。方向如图所示。ARMOvana M点的全加速度及其偏角为点的全加速度及其偏角为ARMOanaaa22222/894. 0)8 . 0()4 . 0(smaaan43265 . 02arctgarctgwa如图。 现在求物体现在求物体A的速度和加速度。因为的速度和加速度。因为MAss 上式两边求一阶及二阶导数，则得上式两边求一

9、阶及二阶导数，则得MAvv MAaa 因此因此smvA/4 . 02/4 . 0smaA例7-3 在刮风期间，风车的角加速度 ，其中转角 以rad计。若初瞬时 ，其叶片半径为0.75m 。试求叶片转过两圈（ ）时其顶端 P 点的速度。 20.2/rad sq000,6/rad sqw4 radqPdddddtddtdwwqwwqq0.2ddwwqq0400.2ddwww wq q22200.2(4 )8.221/6.166/rad svrm swwww解：主动轮与从动轮角速度之比称为传动比，记为i12。7.4 轮系的传动比1) 齿轮传动121221RiRww即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它

10、们节圆半径成反比。由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故121221zizww即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。7.4 轮系的传动比2) 带轮传动121221rirww7.4 轮系的传动比例例2-4 下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比求减速箱的总减速比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.13n142n3n2解：求传动比：解：求传动比：11224133231334.8nnnZ ZinnnZ Z则有：则有：131330

11、0086 / min34.8nnrizww角速度矢量角速度矢量 从转轴上任一点画出，其长度按比例从转轴上任一点画出，其长度按比例尺由尺由 决定，指向由右手法则确定。决定，指向由右手法则确定。jww以以 表示表示Z轴的单位矢量，如图，则轴的单位矢量，如图，则kkkkjww 对上式求导，则的角加速度矢量对上式求导，则的角加速度矢量kkdtddtdwwzk如图。如图。 角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。越转越慢。7.5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度zwRrwMvrwOa 如图，在轴线上任选一点如图，在轴线上任选一点O为原点，为原点，动点的矢径用动点的矢径用 表示，则点表示，则点M的速度可的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示，以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示，即即rrvw 将上式对时间求一阶导数，有将上式对时间求一阶导数，有dtrdrdtdrdtddtvdawww)(即即vraw于是于是ravanwzRrwMvrwOaravwna如图所示。如图所示。zRrwMvrwOaravwna综上所述