第11章压杆稳定

1、第一节第一节 基本概念基本概念第二节第二节 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力第三节第三节 压杆的临界应力压杆的临界应力第四节第四节 压杆稳定计算压杆稳定计算11.1 基本概念基本概念动画：两端铰接细长杆动画：两端铰接细长杆一、稳定性概念一、稳定性概念稳定的平衡稳定的平衡不稳定的平衡不稳定的平衡稳定性：稳定性：承载物体在外界干扰下保持原有平衡状态的能力。承载物体在外界干扰下保持原有平衡状态的能力。 二、二、 弹性细长受压直杆的稳定性弹性细长受压直杆的稳定性一旦干扰力撤去，一旦干扰力撤去，压杆仍可回到原来的直压杆仍可回到原来的直线平衡状态。线平衡状态。（2 2）当）当轴向力轴向力P 较大较大时

2、，时，如有一如有一微小的侧向干微小的侧向干扰力，压杆产生弯曲变形；扰力，压杆产生弯曲变形；此时，原来的直线平衡状态是此时，原来的直线平衡状态是稳定稳定的的此时，原来的直线平衡状态是此时，原来的直线平衡状态是不稳定不稳定的的当侧向力去掉后，当侧向力去掉后，杆不能回到原来的直线杆不能回到原来的直线平衡状态。而是处于曲线平衡状态。平衡状态。而是处于曲线平衡状态。稳定的平衡稳定的平衡不稳定的平衡不稳定的平衡失稳（曲屈）失稳（曲屈）使杆件保持稳使杆件保持稳定平衡状态的定平衡状态的最大压力最大压力crF临界载荷临界载荷（1 1）当）当轴向力轴向力P 较小较小时，其时，其平衡形态为直线平衡形态为直线。cr(

3、)PFcr()PF细长压杆失稳细长压杆失稳时的应力一般时的应力一般都小于强度破都小于强度破坏时的应力。坏时的应力。研究压杆稳研究压杆稳定性的关键定性的关键是确定是确定临界临界载荷载荷。11.1 基本概念基本概念动画：连杆失稳 三、三、 工程中常见的压杆工程中常见的压杆11.1 基本概念基本概念11.1 基本概念基本概念 三、三、 工程中常见的压杆工程中常见的压杆11.1 基本概念基本概念 三、三、 工程中常见的压杆工程中常见的压杆11.2 11.2 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力一、两端铰支细长压杆的临界载荷一、两端铰支细长压杆的临界载荷yFxyOlxFM( )( )M xFy x yx

4、y将其代入挠曲线近似微分方程：将其代入挠曲线近似微分方程：22ddyFyxEI 引入记号：引入记号：2/kFEI222d0dyk yx此方程的通解：此方程的通解：( )sincosy xAkxBkx边界条件：边界条件：0,0 xy0BsinyAkx挠曲线是一条挠曲线是一条正弦曲线正弦曲线0sinklA,nkl , 2 , 1 , 0n/knl2/kFEI又), 2 , 1 , 0(n222lEInF,0 xly2cr2EIFl两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷Fcr的计算公式的计算公式: 两端铰支压两端铰支压杆的杆的欧拉公式。欧拉公式。说明：说明：( 1 ) Fcr与与 EI

5、 成正比，与杆长成正比，与杆长 l 成成反比；反比；( 2 ) 如果截面对于不同轴的惯性矩如果截面对于不同轴的惯性矩 I 不同，确定临界压力需根据最小惯不同，确定临界压力需根据最小惯性矩性矩 Imin 计算计算。即失稳总是在抗弯即失稳总是在抗弯能力最小的纵向平面内；能力最小的纵向平面内；( 3 ) Fcr与与 杆件的支承条件有关。杆件的支承条件有关。yFxyOlx11.2 11.2 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力例例1：图示两端铰支矩形截面细长压杆，图示两端铰支矩形截面细长压杆，b=40mm，h=30mm，l =1.5m，材料为，材料为Q235钢，钢，s=235MPa, E=206GPa

6、，试按欧拉，试按欧拉公式计算其临界压力。公式计算其临界压力。解：解：由于两端铰支压杆，各个方向约束相同，由于两端铰支压杆，各个方向约束相同，故必在最小刚度平面内失稳。故必在最小刚度平面内失稳。由截面形状可知：由截面形状可知：yIImin344849 10 mm9 10 m12bh 代入欧拉公式，有代入欧拉公式，有2cr2yEIFl381.3 10 N81.3kN若使连杆压缩屈服，则轴力为：若使连杆压缩屈服，则轴力为：ssFA60.04 0.03 235 10282kN说明压杆的承压能力还是由稳定性决定的。说明压杆的承压能力还是由稳定性决定的。二、其他支座条件下细长压杆的临界载荷二、其他支座条件

7、下细长压杆的临界载荷11.2 11.2 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力三、欧拉临界压力公式的普遍形式三、欧拉临界压力公式的普遍形式2cr2()EIFl相当长度（为把压杆折算成两端铰支压杆的长度）相当长度（为把压杆折算成两端铰支压杆的长度）: l: 长度系数，长度系数，与约束性质有关。与约束性质有关。127 . 05 . 011.2 11.2 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力动画：细长压杆失稳动画：细长压杆失稳11.2 11.2 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力例例2：长方形截面细长压杆，长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将；如果将 b改为改为 h 后仍为细长杆，临界力后仍为

8、细长杆，临界力Fcr是原来的多少倍？是原来的多少倍？解：解：2cr212yEIFl 232212lhbE242384lEh2cr222EIFl 232212lhhE24248lEh242cr224cr1248384EhFlEhFl8Fcrbhzyhh例例3：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的；将压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的。原压杆的。解：解：2cr2(

9、)EIFl24264Edl()（1）（2）crcrFF正圆2222EIlEIl正圆()()II正圆641244da64124422dd3161为原压杆的为原压杆的16/13/例例4：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1和和P2分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则 (A) P1=P2 (B) P1P2 (D) 不能断定不能断定P1和和P2的关系的关系(a)(b)解：解：对图（对图（a），），节点节点B：ABFBDFB00ABBDFF节点节点A：ACFADF1PxyA10sin0 xADFPF0cos0yACADFFF1P

10、FAC（受拉）（受拉）12PFAD（受压）（受压）节点节点D：ADFCDFDFDxy0cos0 xCDADFFF1PFCD（受拉）（受拉）先分析各杆的内力先分析各杆的内力对图（对图（a）中受压杆件作稳定性分析）中受压杆件作稳定性分析12PFAD杆杆AD：（受压）（受压）12PFAD222aEI22122aEIP对图（对图（b）类似于图（类似于图（a）的分析，可得：）的分析，可得：杆杆AB、BD受压受压2PFFBDAB由欧拉公式，得由欧拉公式，得BDABFF22aEI222aEIP比较得比较得12PP (a)(b)作 业P31211-4，11-5问题的提出问题的提出 能不能应用能不能应用欧拉公式

11、计算欧拉公式计算四根压杆的临四根压杆的临界载荷？界载荷？ 四根压杆是四根压杆是不是都会发生不是都会发生弹性屈曲？弹性屈曲？材料和直材料和直径均相同径均相同11.3 11.3 压杆的临界应力压杆的临界应力crcrFA22)( lAEI临界应力：临界应力：将将I I 用截面的用截面的惯性半径惯性半径 i 表示：表示：AiI222cr2()Ei AAl22ilE反映杆端约束情况、杆长、截面形状和反映杆端约束情况、杆长、截面形状和尺寸等因素对临界应力的影响尺寸等因素对临界应力的影响2cr2E欧拉临界应力公式欧拉临界应力公式il令令称为压杆的称为压杆的柔度柔度或或细长比细长比，无量纲量无量纲量一、临界应

12、力、柔度或细长比一、临界应力、柔度或细长比11.3 11.3 压杆的临界应力压杆的临界应力二、二、 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围2cr2Ep即：即：2pE记：记：2ppE欧拉公式的适用范围为：欧拉公式的适用范围为：满足此式的压杆，称为满足此式的压杆，称为大柔度杆大柔度杆或或细长杆。细长杆。p仅与材料的性质有关，如，仅与材料的性质有关，如，Q235钢：钢：2pp100Ep11.3 11.3 压杆的临界应力压杆的临界应力当柔度小于当柔度小于 时，采用经验公式计算临界应力。时，采用经验公式计算临界应力。p合金钢，铸铁与松木等材料合金钢，铸铁与松木等材料crab其中：其中：a 、b 为与材料有

13、关的常数。为与材料有关的常数。适用范围：适用范围：crabsb 塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料sb()ab 01、直线公式、直线公式直线公式的适用范围：直线公式的适用范围：p0称称中柔度杆中柔度杆或或中长杆中长杆p11.3 11.3 压杆的临界应力压杆的临界应力三、三、 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力2、抛物线公式、抛物线公式2cr11ab结构钢，低合金钢等材料结构钢，低合金钢等材料其中：其中：a1 、b1 为与材料有关的常数。为与材料有关的常数。0若若称为称为小柔度杆小柔度杆或或短粗杆短粗杆。 此时压杆一般不发生失稳，其此时压杆一般不发生失稳，其破坏大多由强度不够引起：破坏

14、大多由强度不够引起：scrbp(0)11.3 11.3 压杆的临界应力压杆的临界应力psp02cr2Ecrabcrs大柔度杆大柔度杆中柔度杆中柔度杆小柔小柔度杆度杆crOABCD2ppEs0ab抛物线公式抛物线公式2cr11abp11.3 11.3 压杆的临界应力压杆的临界应力四、四、 临界应力总图临界应力总图弹性屈曲弹性屈曲弹塑性屈曲弹塑性屈曲不屈曲，不屈曲，发生屈服发生屈服例例5 求矩形截面杆的临界压力。已知：求矩形截面杆的临界压力。已知：b=40, h=75, L=2100, L1=2000, E=206GPa, p=200MPa. 材料为材料为Q235钢，钢，a=304MPa，b=1.

15、12MPa。解：解： （1） 求柔度求柔度。在在x-y平面内，两端铰平面内，两端铰支，有支，有在在x-z平面内，两端固支，有平面内，两端固支，有31221.65mm2 3bhzzIhiAbh9765.21210011zziL31211.55mm2 3b hyyIbiAbh6 .8655.1120005 . 02yyiL因为：因为：yz故在故在xoy面内失稳。面内失稳。例例5 求矩形截面杆的临界压力。已知：求矩形截面杆的临界压力。已知：b=40, h=75, L=2100, L1=2000, E=206GPa, p=200MPa. 材料为材料为Q235钢，钢，a=304MPa，b=1.12MPa

16、。（2）判断杆件类型。）判断杆件类型。2pp101E0p97z故属于故属于中柔度杆中柔度杆，按直线公式计算。，按直线公式计算。6 .6112. 12353040bas（3）计算临界应力）计算临界应力cr304 1.12 97195.36 MPazabcrcr586.0kNFA1. 压杆的临界载荷计算压杆的临界载荷计算对大柔度杆：对大柔度杆：2cr2()EIFl对中柔度杆：对中柔度杆：Aba)(crcrFA2. 压杆的稳定性条件压杆的稳定性条件称为压杆的称为压杆的稳定性条件稳定性条件用用应力应力表示的压杆稳定性条件表示的压杆稳定性条件crststn为压杆的为压杆的稳定安全系数稳定安全系数stnc

17、rstFnnFcrF为压杆的为压杆的临界压力临界压力11.4 11.4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算3. 稳定系数法稳定系数法 st 稳定条件为：稳定条件为：crstFnnF2cr2()EIFl其中：其中：影响压杆稳定性因素：影响压杆稳定性因素：（2）横截面的形状；）横截面的形状；（4）压杆的长度。）压杆的长度。（3）约束条件；）约束条件；（1）材料的性能；）材料的性能；4. 压杆的合理设计压杆的合理设计第四节第四节 压杆稳定条件与合理设计压杆稳定条件与合理设计 为许用压应力为许用压应力1, 称为称为稳定系数稳定系数st为稳定许用压应力为稳定许用压应力( 1 ) 合理选择压杆的材料合理选择压杆

18、的材料a 对对大柔度杆大柔度杆，临界压力与材料的弹性模量，临界压力与材料的弹性模量E有关，而不同金有关，而不同金属属 E 相差不大，故相差不大，故选择优质钢材对提高稳定意义不大选择优质钢材对提高稳定意义不大;b 对对中柔度杆中柔度杆，临界压力与材料的强度有关，故，临界压力与材料的强度有关，故选择高强度选择高强度优质钢材对提高稳定具有一定意义优质钢材对提高稳定具有一定意义。( 2 ) 选择合理的截面形状选择合理的截面形状a 在同样的截面面积情况下，增大截面惯性矩在同样的截面面积情况下，增大截面惯性矩 I 的值，如：的值，如：IAlil第四节第四节 压杆稳定条件与合理设计压杆稳定条件与合理设计(

19、3 ) 改变压杆的约束条件改变压杆的约束条件一般地，增强压杆的约束，可大大提高压杆的稳定性。一般地，增强压杆的约束，可大大提高压杆的稳定性。b 在选择截面形状与尺寸时在选择截面形状与尺寸时, 还要考虑失稳的方向性还要考虑失稳的方向性.压杆两端为球形铰或固定端时，尽量选择截面压杆两端为球形铰或固定端时，尽量选择截面压杆两端柱状铰时，一般压杆两端柱状铰时，一般 .zyII zyII AIlAIlyyzzyyzzIlIl或或( 4 ) 改变压杆的长度改变压杆的长度此时，理想的设计是使压杆此时，理想的设计是使压杆在两个方向的柔度相等，即：在两个方向的柔度相等，即：第四节第四节 压杆稳定条件与合理设计压

20、杆稳定条件与合理设计例例6：图示托架，图示托架，AB 杆外径杆外径 D=50mm，内径，内径d=40mm，两端为球铰，材料为，两端为球铰，材料为Q235钢，钢，E=206MPa，p=100，稳定安全系数，稳定安全系数nst=3，试，试确定托架的许可载荷确定托架的许可载荷P。解：解：分析杆分析杆AB 的受力的受力FAB 0CM05 . 130sin2ABFPPFAB38杆杆AB 的惯性半径：的惯性半径：AIi 442222()644()4DdDdDdmm164405022杆杆AB 的长度：的长度：15001730mmcos30ABl杆杆AB 的柔度：的柔度：1 1.731080.016lip杆杆

21、AB 为大柔度杆为大柔度杆(细长杆细长杆)30ABCD1500500P30BCD1500500P2cr2ABEIFl212449273. 110)4050(10206N1054.1213杆杆AB 的稳定性条件：的稳定性条件：crstABFFncrst83FPncrst38FPn31054.121833P315.2 10 N15.2kN30ABCD1500500PFAB30BCD1500500P例例6：图示托架，图示托架，AB 杆外径杆外径 D=50mm，内径，内径d=40mm，两端为球铰，材料为，两端为球铰，材料为Q235钢，钢，E=206MPa，p=100，稳定安全系数，稳定安全系数nst=

22、3，试，试确定托架的许可载荷确定托架的许可载荷P。例例7：五根直径都为五根直径都为 d 的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为如各杆材料相同，弹性模量为E。求图。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。杆系所能承受的最大载荷。(a)PPABCD(b)PPABCD22cr2222EIEIFaamaxcrPF234222128EIEdaa2cr2EIFa杆杆BD受压，其余杆受拉受压，其余杆受拉解：解：对于对于(a)BD杆的临界压力为：杆的临界压力为：故杆系所能承受的最大载荷为：故杆系所能承受的最大

23、载荷为：对于对于(b)杆杆BD受拉，其余杆受压受拉，其余杆受压四根受压杆的临界压力为：四根受压杆的临界压力为：maxcr2PF264342Eda故杆系所能承受的最大载荷为：故杆系所能承受的最大载荷为：例例8：图示梁、柱结构，梁用图示梁、柱结构，梁用16号工字号工字钢，柱由两根钢，柱由两根636310mm的角钢组的角钢组成。材料均为成。材料均为Q235钢，钢，E=200GPa，s=240MPa，p=100，0=57，规定强度，规定强度安全系数安全系数 ns=1.4，稳定安全系数，稳定安全系数nst=2，试校核结构是否安全。试校核结构是否安全。zz解：解：由型钢表查得：由型钢表查得：16号工字钢号工字钢4cm1130zI3cm141zW636310角钢组成的柱：角钢组成的柱：2cm314.23657.112A4cm18.8209.412zI求解超静定问题：梁的支座及杆求解超静定问题：梁的支座及杆 CD 的受力的受力CDFCFDCDl选择图基本静定结构，选择图基本静定结构， 变形协调条件为变形协调条件为CDClf34538448CCzzF lqlfEIEICDCDCCDE