第七章第1节向量极其线性运算ppt课件

1、向量及其线性运算第一节一、空间直角坐标系二、向量及其运算三、向量的坐标四、小结1、空间点的直角坐标平面直角坐标系平面直角坐标系xyoP),(yxxyP点点),(yx图形图形方程方程.面面几几何何问问题题可可以以用用代代数数方方法法解解决决平平:问题问题?数数方方法法解解决决空空间间几几何何问问题题能能否否用用代代一、空间直角坐标系x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合右手系符合右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角 度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指

2、向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向. 几个基本概念、空间直角坐标系) 1 (xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限、坐标面及卦限)2(、坐标)3(,P对于空间点对于空间点xyzoP与与三三坐坐标标轴轴交交于于轴轴的的平平面面点点作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标过过,P,点点zyxxzy),(zyxP11,),(点的坐标点的坐标为为称称Pzyxx为横坐标为横坐标x为纵坐标为纵坐标y为竖坐标为竖坐标z显然显然)0 , 0 , 0(O),(00 xAAB),(00 yBC),(zC00:问题问题?),(在什么位置在什么位置121P2、空间

3、两点间的距离到原点的距离、点),() 1 (zyxPxyzo),(zyxPABCQ222QPOQOp222zOCQP而而222AQOAOQ22OBx 22yx 2222zyxOP222zyxOP即即设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知22212NMNMd(2)、空间两点间的距离,22221NMPNPM,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式

4、空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 1 1 求证以求证以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因因为为P在在x轴轴上上， 1P

5、P 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：1、向量的概念或或或或或或二、向量及其运算自由向量：自由向量：不考虑起点位

6、置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMM1 加法：加法：cba abc平行四边形法则平行四边形法则特殊地：假设特殊地：假设ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac 三角形法则三角形法则2、向量的加减法bac向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1交换律：交换律：.abba （2 2结合律：结合律：

7、cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 减法减法)( baba abcbabac )(ba ba ab设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa aa2a21 3、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1结合律：结合律：)()(aa a)( （2 2分配律：分配律：aaa )(baba )(.ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末

8、向量设向量设向量定理定理0两个向量的平行关系两个向量的平行关系同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1 化化简简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形. .证证AMMC

9、BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab1、向量在轴上的投影与投影定理.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数三、向量的坐标ouAB1轴轴同同方方向向的的单单位位向向量量，是是与与设设ue.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三点三点轴上任意三点，不论这轴上任意三点，不论这是是

10、设设uCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e证证,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0(

11、) 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.ABjuPr.BA 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影记记为为关于向量的投影定理关于向量的投影定理1 1） 向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦

12、：轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 关于向量的投影定理关于向量的投影定理2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121ajajaajuuuAA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a2、

13、向量的坐标表达式标表达式、起点在原点向量的坐) 1 (xyzo基本单位向量基本单位向量ikijk),(,zyxPa终点为终点为为起点在原点为起点在原点设向量设向量a),(zyxPjABCAOi xBOj yCOkzQQAAOQOBOi xj yi xPOaPQQOCOQOkzj yi x的向量的向量起点在原点终点为起点在原点终点为),(zyxPPOa坐标表达式坐标表达式kzj yi xa也可记为也可记为,zyxa 其其中中,在在三三坐坐标标轴轴上上的的投投影影为为azyx的的坐坐标标称称为为akzj yi x,.在三轴上的分向量在三轴上的分向量称为称为a显然显然,000O,001i,010j,

14、100k式、任一向量的坐标表达)2(,),(为为起起点点是是以以设设111zyxABAa为终点的向量为终点的向量以以),(222zyxBxyzoABaBAaAOBO)(kzjyix222)(kzjyix111kzzjyyixx)()()(121212,121212zzyyxxa即即(3)、向量运算的坐标表达式、向量运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2例例,451321ba

15、已知已知ba32 求求:解解 ba32,45133212,12153642,6191解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 3 3 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为为两两已已知知点点，而而在在AB直直线线上上的的点点M分分有有向向线线段段AB为为两两部部分分AM、MB，使使它它们们的的值值的的比比等等于于某某数数)1( ，即即 MBAM，求求分分点点的的坐坐标标. ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz

16、 ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 3、向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR

17、向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM ,zyxaaaaMM21设设0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxxaaaaaa ,cos222zyxyyaaaaaa .cos222zyxzzaaaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为例例 4 4 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式. 解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，

18、一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 21PP,301zyx例例 6 6 设设kjim853 ，kj

19、in742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四边形的对角线的长度各为平行四边形的对角线的长度各为11, 3.mn 设设jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度.

20、 7例例:解解空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）四、小结 21221221221zzyyxxMM 向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）四、小结向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标

21、表示式.四、小结（注意分向量与向量的坐标的区别）（注意分向量与向量的坐标的区别）30017P习题19,18,16,15,13,12,10, 5 , 3 , 1练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1、 已知已知rr,4 与轴与轴u的夹角是的夹角是60，则，则rjuPr=_=_ _ _；2 2、 已知两点已知两点1M)2,1,0(和和2M)0,1,1( 则则 21MM_；-2-221MM= =_；3 3、 已知两点已知两点1M)1,2,4(和和)2,0,3(2M, ,则向量则向量 21MM_ ，21MM=_=_，方向，方向 余弦余弦 cos=_=_； cos= =_； cos= =_；

22、方向方向 角角_ ,_ , _ ,_ , _；4 4 、 已知向量已知向量kjia , ,kjib532 及及 kjic22 , , 0a则则_； 0b= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 0c= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、一一向向量量与与zoxyozxoy,三三个个坐坐标标平平面面的的夹夹角角 , 满满足足 2cos+ + 2cos+ + 2cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二 、一一向向量量的的终终点点在在点点)7,1,2( B，它它在在轴轴X，轴轴Y 和和轴轴Z上上的的投投影影依依次次为为74,4和和

23、 ，求求这这向向量量的的 起起点点的的坐坐标标A . .三三 、求求平平行行于于向向量量 6,7,6 a的的单单位位向向量量 . .练习题答案练习题答案一一、1 1、2 2； 2 2、 4 , 4 , 2,2, 2, 1 ； 3 3、 ;3,43,32,21,22,21, 2 ,1 , 2, 1 4 4、 32,31,32,385,383,382,31,31,31； 5 5、2 2. .二二、 A( (- -2 2, ,3 3, ,0 0) ) . .三三、 116,117,116116,117,116或或 . .思考题思考题已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a BDb

24、 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,思考题解答思考题解答BCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab一、一、 填空：填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模；3 3、 _的向量叫做单位向量；的向量叫做单位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 与与_无关的向量称为自由向量；无关的向量称为自由向量；6 6、 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做_，三，三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做个或三个以上平行于同一

25、平面的一组向量叫做_ _ _；7 7、两两向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我们们称称这这两两个个向向量量相相等等；8 8、两两个个模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互为为逆逆向向量量；9 9、把把空空间间中中一一切切单单位位向向量量归归结结到到共共同同的的始始点点，则则终终点点 构构成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题1010、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 始点，则终点构成始点，则终点构成_；1111、要使、要使baba 成立，向量

26、成立，向量ba,应满足应满足_ _ _；1212、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,应满足应满足_ _ _ _ . .二二、 用用向向量量方方法法证证明明：对对角角线线互互相相平平分分的的四四边边形形是是平平行行四四边边形形 .三 、 把三 、 把ABC的的BC边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为4321,DDDD， 再 把 各 分 点 与 点， 再 把 各 分 点 与 点A连 接 ， 试 以连 接 ， 试 以aBCcAB ,表示向量表示向量ADADADAD4321,和和 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、既有大小、既有大小,

27、 ,又有方向；又有方向； 2 2、大小；、大小； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起点；、起点； 6 6、共线向量、共线向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同； 8 8、方向相反；、方向相反； 9 9、半径为、半径为 1 1 的球面；的球面； 1010、距离等于、距离等于 2 2 的两点；的两点； 1111、a垂直于垂直于b； 1212、a与与b同向同向 . .三、三、)51(1acAD , ,)52(2acAD , , ).54(),53(43acADacAD 思考题思考题在空间直角坐标系中，指出下列各在空间直角

28、坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D思考题解答思考题解答A:; B:; C:; D:; 1 1、下列各点所在象限分别是：、下列各点所在象限分别是： _;1,3,2d_4,3, 2c_4,3,2b_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 ；轴轴的的对对称称点点是是，关关于于轴轴的的对对称称点点是是，关关于于的的对对称称点点是是轴轴，关关于于的的对对称称点点是是关关于于平平面面的的对对称称点点是是，关关于于平平面面的的对对称称点点是是关关于于平平面面、点点_,_)1,2,3(2zyxzoxyozxoyp 一、填空题一、填空题练习题练习题3、点、点)5,3,4( A在在xoy平面上的射影点为平面上的射影点为_ _, ,在在yoz面上的射影点为面上的射影点为_，在，在 zox轴上的射影点为轴上的射影点为_，在，在轴上轴上x的射影的射影 点为点为_，在，在轴上轴上x的射影点为的射影点为_，在，在 轴上轴上z的射影点为的射影点为_ ; ;4、已知空间直角坐标系下，立方体的、已知空间直角坐标系下，立