第三章中值定理与导数的应用1ppt课件

1、 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称微分学中值定理，它们在理论上和应定理统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。理论依据。学习时，可借助于几何图形来帮助理解学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路；并由此初定理的条件，结

2、论以及证明的思路；并由此初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方法。法。第一节第一节 微分中值定理微分中值定理, )()(0 xfxf .0)(0 xf那那么么一、费马引理：一、费马引理：设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某邻域的某邻域U(x0) 内有定义内有定义, 并且在点并且在点 x0 可导。如果对任意的可导。如果对任意的),(0 xUx 有有),)()(0 xfxf 或或不妨设不妨设 xxfxxfxfxfx )()(lim)()(00000则则证明：证明：),()(,)(00 xfxfxUx 时时有有于是，对于于是，对于),(00 xU

3、xx ),()(00 xfxxf 0 xxfxxfxfxfx )()(lim)()(00000且且0 0)(0 xf证毕证毕）罗尔定理（二、Th-R 满足满足若若)(xf 上连续上连续在在ba,1 内可导内可导在在ba,2 bfaf 3 0, fba一一点点则则至至少少R-Th 的几何意义：的几何意义：轴轴或平行于或平行于点的切线平行于弦点的切线平行于弦对应对应xAB AB 1 xy0证：证： f (x) 在在 闭区间闭区间 a, b 上连续，上连续，f (x)在在 a, b 上必有最大值上必有最大值M及最小值及最小值m,有两种情况有两种情况: (1) M = m ;(2) M m .(1)

4、假设假设 M = m ，那么那么 m = f (x) = M ,f (x) 为常数，即有为常数，即有 ,0)( xf那么那么 ( a, b ) 内任一点都可取作内任一点都可取作 ， M = m 时，定理必成立。时，定理必成立。(2) 假设假设 M m ，M , m 中至少有一个不等于中至少有一个不等于 f (a) 或或 f (b),不妨设不妨设 M f (a) , (设设 m f (a) 同样可证）同样可证）又设有又设有 f () = M, . 0)(),( fba要要证证因而，对任意因而，对任意).()( fxf f (a) = f (b) ,bax 有有从而由费马引理可知从而由费马引理可知

5、0)( f证毕。证毕。),()(11:baxf在在）换换成成若若把把（，注注则则结结上上连连续续或或,(),baba 1010)(,xxxxf如如论不一定成立论不一定成立 1 , 1, 2 xxxf)2(,0不满足不满足处不可导处不可导在在 x1 , 0)(, 3 xxxf 321，但不满足，但不满足满足满足的的三三个个条条件件是是充充分分的的ThR , 4但但非非必必要要的的如如： 3121010)(3xxxxxxg轴的切线。轴的切线。处有平行于处有平行于在在但但xxxg2)( xxfcos)( 例例：验验证证 ，、上上满满足足在在证证：显显然然212 , 0cos x 02 , 0 xf使

6、使 正正确确对对xxfThRcos)( 的正确性的正确性上上，在在ThR 20 )3(, 1)2()0(满满足足且且 ff xxxf0sin令令,001110 xxaxaxannn有有正正根根若若方方程程例例： 0112110 nnnaxanxna则则的的正正根根必必有有小小于于0 x则则由由题题设设设设证证：,)(1110 xaxaxaxfnnn 上上在在则显然则显然有有, 0)()0(0)(00 xxffxf 使使一一点点至至少少的的条条件件，满满足足0, 0 xThR 01)(12110 nnnaannaf 的的导导数数，不不用用求求出出例例：4321)( xxxxxf 有有几几个个实实

7、数数根根，说说明明方方程程0 xf且且的的条条件件上上满满足足，在在易易见见解解,4 , 3,3221 )(:ThRxf 0)(, 0)4()3()2()1( xfThRffff所所以以由由.)4 , 3(),3 , 2(),2 , 1(,3内内分分别别位位于于个个根根有有出出他他们们所所在在的的区区间间并并指指 ，恒恒不不为为内内可可导导，且且上上连连续续，在在在在设设例例：0),(,)(xfbabaxf 内内有有且且仅仅有有一一个个实实根根在在试试证证又又),(, 0)(. 0)()(baxfbfaf 由零点定理，由零点定理，且且上连续上连续在在证：证：, 0)()(,)( bfafbax

8、f :, 0,00再再证证唯唯一一性性一一点点至至少少 xfbax ，有有若若还还有有用用反反证证法法0,1101 xfbaxxx baxxThRxfxxxx,)(,101001 满满足足上上则则在在不不妨妨设设的的零零点点唯唯一一矛矛盾盾）（一一点点至至少少)(0)(,10 xffxx 假设假设 f (x) 在在0, 1上有二阶导数，且上有二阶导数，且 f (1) = 0,设设 F (x) = x2 f (x)，试证在，试证在0, 1内内至少存在一点至少存在一点 ，使，使, )()(2)(2xfxxxfxF .0)( F可可导导，内内在在上上连连续续在在), 0(, 0)(11 xF 0)0

9、( F使使, )1 , 0(1 ；0)(1 F例例证：证： F (x) 在在0,1上连续上连续,在在(0, 1)内可导内可导(由由题意题意),0)1()1(fF 则由罗尔定理，则由罗尔定理，,0)0( F显然显然又由罗尔定理，又由罗尔定理，), 0(1 , )1, 0( .0)( F使使)(ThL 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理三、三、上上连连续续，）在在满满足足（若若,1)(baxf内可导，内可导，）在）在（),(2ba ba, 一一点点则则至至少少 abfafbf 有有 abafbff 或或L-Th 的几何意义：的几何意义： axabafbfafyAB :的方程为的方程为证：证： yxf

10、x 令令 axabafbfafxf 0 ba则则 0),( baThR由由 abafbfxfx abafbff 仍成立仍成立上式对上式对注：注：ab , 1:称为称为拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式, 2有限增量公式有限增量公式中值公式中值公式应用应用或或在在 Lxxxxxx, 10 xxxfxfxxf:或记为或记为)(精确值精确值 bafbfaf xxxfy :, 3的比较的比较与与dyy );(的的精精确确值值yxxxfy )()(的近似值的近似值yxxfdy 而而需需要要函函数数增增量量的的取取得得有有限限增增量量在在有有些些问问题题中中当当自自变变量量,xx 因因此此此此定定理理示示出

11、出它它的的价价值值拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理就就显显精精确确表表达达式式时时,.,或或微微分分中中值值定定理理也也称称为为有有限限增增量量定定理理0)(),()(1 xfbaxf上上恒恒有有在在若若推推论论0)(),()( xfbaxf上恒为常数，则上恒为常数，则在在若若 中中值值公公式式，由由证证： Lbaxxxx,2121 00)(121212 xxxxfxfxf Cxfbaxx ,21 这里这里其其逆逆命命题题成成立立为常数为常数上上在在则则),()(baxf)()()()(2xgxfIxgxf 上有上有在区间在区间和和若若推论推论上上相相差差一一个个常常数数在在与与则则Ixgxf

12、)()(0)()()()( xFxgxfxF证证：令令CxgxfCxF )()()(1即即由由推推论论.21,),(,)(),(,仍仍成成立立，推推论论内内可可导导在在上上连连续续在在时时只只要要是是闭闭区区间间注注：当当babaxgxfbaI的的正正确确性性上上在在例例：验验证证ThLxy 1 , 02条条件件上上满满足足在在易易见见证证：ThLxy 1 , 02 01201:22 xx所所以以有有 1 , 02112 ,0 bfaf且且 ,ba . ff 使使例：例：设设 f (x) 在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)内可导，内可导，证明存在一点证明存在一点由罗尔定理，存在由罗尔

13、定理，存在 ，作作xexfxF , 0 aeafaF 使使,ba , 0 F证明：证明：由条件知由条件知F(x) 在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)内可导，且内可导，且 , 0)( bebfbF, )()(bFaF 0 ff即即 ,)(xxexfexfxF ，有有0)( efefF . ff 得证。得证。 此类问题的关键是构造合理的辅此类问题的关键是构造合理的辅助函数，可采用反向演绎的思维方式，助函数，可采用反向演绎的思维方式，多掌握一些函数的导数形式，如多掌握一些函数的导数形式，如 , )(lnxfxfxf ,xfxxfxfx .0ba 且且 ,ba .)()()()()(2 ff

14、abababfbaf 使使得得例：例：设设 f (x) 在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)内可导，内可导，证明存在一点证明存在一点定理。定理。上运用上运用在在令令 Lbaxxfx,)()( 试证试证例：若例：若,20 时时，题题设设成成立立显显然然当当证证： 条条件件显显然然满满足足设设当当ThLxxxf ,tan 使使， 2cos)(tantan f 2, 0 ，这里这里 单单调调在在2, 0cos12 x 22costantancos 22costantancos 试试证证例例 xxxxx )1ln(1, 0 试试证证若若证：证：)1ln()(xxf 令令定定理理，应应用用在在时

15、时，对对当当 Lxxfx, 0)(0)0()0()()0()(xxffxf 有有 1)1ln(xx即即xxxx 11而而xxxxx )1ln(1,0有有时时则则).0(1arctanarctan122baaababbab ,arctan)(baxxxf 内内可可导导，在在连连续续上上在在则则babaxf,)(例例 证明：证明：分析：分析： 出现函数出现函数 arctan x 在在a, b上的增量上的增量,可用可用 L定理证明定理证明 。由由L 定理：定理：使使),(ba , )()()(abfafbf , )(11arctanarctan2abab 即即令令证证 ：, )(11arctanar

16、ctan2abab ,111111222ba ,0ba ,111222ba 21bab, 0 ab又又21 ab21aab ).0(1arctanarctan122baaababbab 例例 证明恒等式证明恒等式)11(2arccosarcsin xxx 证：证：xxxfarccosarcsin)( 令令那么那么 221111)(xxxf= 0所以由前面的定理可知：所以由前面的定理可知：在在-1 x 0.试证试证 )().()()()(baababba 分析：分析：ababababbaababba )()()()( baaabb11)()( 221)()()()( 所以如令所以如令,)()(x

17、xxf ,1)(xxF 对它们在对它们在a, b上应用柯西中值定理即可。上应用柯西中值定理即可。请同学们自己完成证明过程。请同学们自己完成证明过程。第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 0),(都都时时，或或若若xFxfxax 或或这时称之为未定式这时称之为未定式00: 也也可可能能不不可可能能则则xFxfxax)(lim 现用现用C-Th来导出求这类极限的简便方法即来导出求这类极限的简便方法即:洛必达法则洛必达法则 0lim, 0lim1 xFxfaxax若若定定理理 0,2 xFxFxfa都都存存在在且且在在 或或xFxfaxlim3 xFxfxFxfaxax limlim则则.型型也也有有

18、上上述述结结论论时时的的或或对对注注：对对 xaxx 处处在在证：由条件证：由条件axxFxf ,)1( axaxxfxfaU 0,*内内引引进进函函数数在在 在在以以、则则对对xFxfaUx*, 可去可去间断间断无定义无定义连续，即连续，即只可能只可能,. 20)(. 1af axaxxFxF 0* axxaxa,为为端端点点区区间间、 开区间内可导开区间内可导闭区间内连续闭区间内连续21 条条件件满满足足即即ThCxFxfxFxF *,0) )(3 之间之间与与在在xaFfFfaFxFafxf )()(*aaxax 时时注意到注意到由等式两边取极限且令由等式两边取极限且令, xFxfFfa

19、FxFafxfxFxfaxaaxax limlimlimlim* ;. 1端也为无穷大端也为无穷大上式右端为无穷大时左上式右端为无穷大时左注：注： 的条件时则可继续用的条件时则可继续用且仍满足且仍满足仍为仍为若若ThxFxfax00lim. 2 xFxfxFxfxFxfaxaxaxlimlimlim 3423lim:431xxxxx例例注注: 1,可见用洛必达法则求极限当分子分母都是次数较可见用洛必达法则求极限当分子分母都是次数较 高的多项式时可避免繁硕的因式分解高的多项式时可避免繁硕的因式分解; 2,用洛必达法则求极限时每做一步都要查看一下用洛必达法则求极限时每做一步都要查看一下 是否还为不

20、定型是否还为不定型,若不是就不能用洛必达法则若不是就不能用洛必达法则,否则否则 会出错会出错 4433lim321xxx21126lim21 xxx 30sinlim:xxxx例例 xxx1sinarctan2lim: 例例11lim22 xxx 203cos1limxxx616sinlim0 xxx )1(1cos11lim22xxxx2211cos1limxxxx ,; )0(;ln:xueuxx 讨论讨论例例 uxxxlnlim:解解 xuxexlim?,哪个增长最快哪个增长最快时时当当x 11limuxuxx01lim uxux xuxeux1limxuxexuu2)1(lim 是整数

21、是整数ueuxx0!lim ”）“）“（例：例： 11ln1lim1xxx 00ln1ln1lim1xxxxx）（2111ln1lim1 xx）（1ln1lim1 xxxxx xxxxx1ln11lim1 0sin000lim:xxx例例 xxxlnsinlim000lim00 ）（xx1lim0sin00 exxx xxxesinln00lim xxxx2sincos100limxxxelnsin00lim 型型 0 xxxsin100lnlimxxx2sin1100lim nxxnxxxnaaa)(lim11211 例例：e e ”型型“）均均（ 10.21naaalnlnlim11211

22、naaanxxnxxx ）（nxnaaaxnxxx1lnlnlim11211 ）（e )ln(21naaa2211111121111(lnln1limnxxaaaaaaanxnxxnxxx ）（e naaa21 xxx）（例：例：1lnlim00 ”“0 e ）（xxx1lnlnlim00 e xxx100lnlnlim）（ e 21ln1001limxxxx ）（e xxxlnlim00 10 e但不能用洛必达法则。但不能用洛必达法则。存在存在例：验证极限例：验证极限,sinsinlimxxxxx 1sin1sin1lim: xxxxx解解但若用洛必达法则但若用洛必达法则: xxxxxsin

23、sinlim ）（）（当当kkxkkxkk 200221极限不存在。此例说明洛必达法则不是万能的极限不存在。此例说明洛必达法则不是万能的.xxxcos1cos1lim 可见一味用洛必达法则，则永远无结果。可见一味用洛必达法则，则永远无结果。 所以洛必达法则并不是万能的，一旦所以洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必须改用其它方法。做不下去必须改用其它方法。shxchxx limchxshxxlim例例 chxshxxlim若用消去无穷因子法：若用消去无穷因子法：. 111limlim22 xxxxxxxxeeeeee原式原式原定理只说原定理只说存在等于存在等于A或或，那么，那么显然后者极限不存

24、在，此时洛必达法则不能用！显然后者极限不存在，此时洛必达法则不能用！xxxxsin1sinlim20例例.)()(lim 或或存在也等于存在也等于Axgxf)()(limxgxf xxxxxcos1cos1sin2lim0 但当但当)()(limxgxf 不存在，则不能说不存在，则不能说.)()(lim不存在不存在xgxf此时需要用其它方法求极限。此时需要用其它方法求极限。作作 业业P174页：页：3-2(A)1(单单), 2P175页：页：3-2(B)1(单单), 2, 4, 6bxxb 3,:3方程方程取何值取何值证明不管证明不管例例21)(:xxxf ，不不妨妨设设为为有有两两个个不不同

25、同的的实实根根若若证证021 ）（）（xfxf ThRxxxf 上上满满足足）在在（因因为为1 , 1,21 ，）（，使使）（一一点点至至少少01 , 1,21 fxx内内无无根根矛矛盾盾。在在但但这这与与)1 , 1()1)(1(333)(2 xxxxf 上上至至多多有有一一个个实实根根，在在11 第三节第三节 泰勒公式泰勒公式）00)()()(:xxfxfxfThL )()()(00 xxfxfxf 或或：之之间间与与在在0 xx 泰勒泰勒 ( Taylor ) ( 1685 1731 )英国数学家英国数学家 不论在近似分析或理论分析中，不论在近似分析或理论分析中，我们总希望能用一个简单的

26、函数近我们总希望能用一个简单的函数近似地表达一个比较复杂的函数，而似地表达一个比较复杂的函数，而在函数中又以多项式较为简单。若在函数中又以多项式较为简单。若能用多项式来近似表达一个函数会能用多项式来近似表达一个函数会给研究带来很大方便。那么又怎样给研究带来很大方便。那么又怎样从函数本身找到我们所需要的多项从函数本身找到我们所需要的多项式呢？式呢？有有时，时，很靠近很靠近当当0 xx)()()(000 xxxfxfxf 的开区间内可导，的开区间内可导，含有含有在在若若0)(xxfy 在微分应用中知，在微分应用中知，此式左端是一函数，而右端是此式左端是一函数，而右端是 x x 的一次多项式。的一次

27、多项式。即用一次多项式来近似代替函数。即用一次多项式来近似代替函数。但这种表达式的精度不高，它所产生的误差仅但这种表达式的精度不高，它所产生的误差仅是关于是关于x -x0 x -x0 的高阶无穷小，且无法具体估计的高阶无穷小，且无法具体估计出出误差的大小。误差的大小。 为此，我们用满足一定要求的高次多项式为此，我们用满足一定要求的高次多项式来近似表达函数，并给出误差的计算公式。来近似表达函数，并给出误差的计算公式。次次多多项项式式的的试试求求出出一一个个关关于于阶阶导导数数的的开开区区间间内内具具有有直直到到在在含含有有设设nxxnxxf)(,1)(00 nnnxxaxxaxxaaxp)()(

28、)()(0202010 来近似表达来近似表达 f (x).)()(,),()()()(),()()1(0)(0)(000000 xfxpxfxpxfxpxfxpnnnnnn 要要求求：式。式。表达表达的具体的具体穷小，并给出误差穷小，并给出误差阶的无阶的无高高之差是比之差是比与与| )()(|)()()()2(0 xpxfxxxfxpnnn 首先，可定出系数：首先，可定出系数：, )(00 xfa , )(101xfa , )(! 202xfa , )(!0)(xfannn 200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxpn nnxxnxf)(!)(00)( 为此，我们

29、有为此，我们有 Taylor 中值定理：中值定理：内内具具有有的的某某个个邻邻域域在在点点若若),()(00 xUxxf)(,),(,)1(0 xfxUxn时时则则当当阶阶导导数数直直到到 次次多多项项式式与与一一个个的的一一个个可可表表示示成成nxx)(0 之之和和：余余项项)(xRn200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn （证略）（证略）200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 其其中中

30、之间之间与与在在0 xx 说说明明：,公公式式阶阶的的到到Taylorn称为称为其中其中公式公式阶的阶的展开到展开到)(,xRTaylornn)(xf或称为或称为处处在在0 xx . 1按按上上述述公公式式称称为为)(xf的幂的幂0 xx 展开展开拉格朗日型余项。拉格朗日型余项。1000)1()()!1()()( nnnxxnxxxfxR )10( . 2时时，上上述述公公式式为为：当当0 n)()()(00 xxfxfxf 之之间间与与在在0 xx 。即即为为拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式余项余项Rn(x)又可写成：又可写成：)(0 xR. 3 )()()(000 xxxfxfxf当当nn

31、xxnxf)(!)(00)( )()(0nnxxOxR 则则误误差差,)(00的的高高阶阶无无穷穷小小时时是是当当即即nxxxx ,),(0nxUx，对对固固定定的的当当 )()()1(常常数数若若Mfn 10)!1()( nnxxnMxR则则有有误误差差公公式式这种形式的余项这种形式的余项Rn(x)称为皮亚诺型余项。称为皮亚诺型余项。. 4公公式式为为：，若若Taylorx00 2! 2)0()0()0()(xfxffxf1)1()()!1()(!)0( nnnnxnfxnf )(!)0()0()0()()(nnnxoxnfxffxf 或或1)!1()( nnxnMxR误差误差称为麦克劳林公

32、式。称为麦克劳林公式。在在一一个个区区间间上上的的增增量量与与数数泰泰勒勒中中值值定定理理建建立立了了函函注注)(:xf处处的的高高阶阶导导数数间间的的联联系系这这个个函函数数在在区区间间内内某某点点。阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式的的求求nexfx )(解：解：xnexfxfxf )()()()(1)0()0()0(0)( efffn! 212nxxxenx )0(之间之间与与在在x ! 212nxxxenx 近近似似式式1)!1( nxne 。次次多多项项式式近近似似的的可可用用nxex例例(1)时，时，特别当特别当1 x!1! 2111ne ! )1( ne )1(nR误差误差10 x 应

33、取多少？应取多少？，欲要使欲要使nRn310 310)!1(3)1( nRn由由! 212nxxxenx 近近似似式式)!1( ne3000103)!1(3 n,720! 6 ,5040!7 71 n7182. 2! 61! 2111 e.103 nR且且6 n)!1(3 n)2(xxfsin)( 解：解：xxfcos)( xxfsin)( , )2sin()()( nxxfn, 1)0(, 0)0(, 1)0(, 0)0( ffff, )2sin( x, )22sin( x)(2xRnxxn sin1若若 !7! 5! 3sin753xxxxx12)!12(2)12(sin nxnnx )1

34、0( 3! 31sin2xxxn 若若)()!12()1(2121xRnxnnn 观察这三条曲线在观察这三条曲线在 x = 0 附近的弥合程度：附近的弥合程度：,3, 2 nn若若取取,!31sin3xxx 误差不超过误差不超过.!51!31sin53xxxx 5!51x, 1 n若若取取,sinxx 则则有有则有则有.!717x和和3!31xxy xysin .!51!3153xxxy xy xf ( x )0 !7!5!3sin753xxxxx)(!)12()1(2121xRnxnnn 同理可求得：同理可求得：)()!2()1(!4!21cos242xRnxxxxnnn ,)0(, 1)0

35、(mff )1()1()0()( nmmmfn 2! 2)1(1)1(xmmxmxm)() 1() 1(xRxnnmmmnn )3(mxxf)1()( ):(任意常数任意常数m解：解：,)1()(1 mxmxf,)1)(1()1()()(nmnxnmmmxf 我们已求得了一些函数的麦克劳林公式我们已求得了一些函数的麦克劳林公式, 我们我们还可以类似得到以下函数麦克劳林公式：还可以类似得到以下函数麦克劳林公式： )()1(1112nnnxoxxxx )(1112nnxoxxxx )()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx )(12) 1(53arctan121253 nnnxonxxx

36、xx)(321)1(11122 nnxonxxxx利用已知的带有皮亚诺余项的麦克劳林公利用已知的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式，可以计算一些极限：式，可以计算一些极限：xxxxx30sincossinlim 求求333330) )(! 21()(! 31limxxoxxxoxxx 3330)(31limxxoxx .31 作作 业业P184页：页：3-31, 3, 5, 8(1)(3) 第四节第四节 函数的单调性与凸性的判别法函数的单调性与凸性的判别法 由于中值定理建立了函数在一个区间上的增量与由于中值定理建立了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点的导数之间的联系，因此就为我函数在这区间内

37、某点的导数之间的联系，因此就为我们提供了一种可能性：利用导数来研究函数值的变化们提供了一种可能性：利用导数来研究函数值的变化情况，并由此对函数及其图形的某些性态作出判断。情况，并由此对函数及其图形的某些性态作出判断。(上升上升)（下降）（下降）abab函函数数单单调调性性的的判判定定法法：一一.y0 x0 xy从几何上看从几何上看, y = f(x) 在在 a, b 上单增上单增(或单减或单减)，其图形是一条沿其图形是一条沿 x 轴正向上升轴正向上升(或下降或下降)的曲线。的曲线。上升的曲线每点处的切线斜率均为正，上升的曲线每点处的切线斜率均为正，下降的曲线每点处的切线斜率均为负，下降的曲线每

38、点处的切线斜率均为负，;0)( xf即即.0)( xf即即 上上）在）在（，那么，那么）（）内）内）如果在（）如果在（baxfxfba,0,1 上上）在）在（，那么，那么）（）内）内）如果在（）如果在（baxfxfba,0,2间间区区间间换换算算成成其其他他各各种种区区注注：此此判判定定方方法法中中的的闭闭也成立。也成立。包括无穷区间包括无穷区间)( 可可导导，连连续续，在在在在设设函函数数),(,)(babaxfy 定理定理1 （单调性判定）（单调性判定） 有有）由由（，上上任任取取两两点点证证明明：在在ThLxxxxba 2121,）（）（）（）（211212)(xxxxfxfxf ，）（

39、）（）内）内）如果在（）如果在（00,1 fxfba00,2 ）（）（）内内）如如果果在在（ fxfba ）（）（）（则则xfxfxf012 ）（）（）（则则xfxfxf012 点处，点处，的单调增减区间的分界的单调增减区间的分界在可导函数在可导函数注意：注意：)(.10 xf0)( xf必必有有，其其为为内内仅仅在在有有限限个个孤孤立立点点处处，在在当当0)()(.20baxf )(),()0(0 或或内内仍仍为为，则则在在或或余余点点均均ba的点的点不不及及划分函数的单调区间用划分函数的单调区间用 )(0)(.30 xfxf如如来划分来划分,3xy 如：如：xy 处处在在如如 kxxy22

40、sin 上上的的单单调调性性，在在例例：判判定定 20sinxxy 0cos120 xy）内，）内，解：在（解：在（ 20sin，在在xxy的的单单调调性性确确定定函函数数例例32:xy ,),(:上连续上连续在在解解y,32320331xxyx 时时且且当当不存在不存在时时当当yx 0利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式xexx 10例例：证证明明当当1 1）（）（令令证证xexfx 1:)(. 00一定要求零点一定要求零点）（ f 00001）（）（）（xfxxfxexfx 0000001xfxfxexfx）（）（）（）（）（xex 1xxx132,1: 时时证明当证明当例例,132:

41、xxxf ）（令令证证011122 xxxxxxf）（ 时时当当1x0)1( f易易见见 )()1(xfx0132: xx即即0)1()( fxf只只有有一一个个实实根根试试证证方方程程例例xx sin:,sin)(:xxxf 设设证证,下下证证唯唯一一性性,), 2, 1, 0,2且且都都是是孤孤立立的的个个别别点点 kkx )(xf0)( xxf有有实实根根所所以以等等号号成成立立当当且且仅仅当当(0cos1)( xxf 0)0()(00)0()(0fxfxfxfx时时时时.0是唯一实根是唯一实根, 0)0( f显然显然1sin2,20: xxx 有有时时证证明明例例 时时，则则当当令令证

42、证20sin: xxxxf 0)tan(cossincos22 xxxxxxxxxf 单调减少，单调减少，在在)2,0(xf.2)2(,1sinlim0 fxxx又又,20时时当当 x,)00()()2( fxff.1sin2 xx xxxxxsintan,20: 有有时时证明证明例例 时，时，当当设设证：证：202sintan xxxxxf 2cossec2 xxxf xxxxfsintansec22 0)cos2(sinsec33 xxx 单调增加，单调增加，在在)2,0(xf 02110 f且且0)0()( fxf 单单调调增增加加，在在)2,0(xf0)0( f又又0)0()( fxf

43、题题设设得得证证作作 业业P194页：页：3-4(A)1, 4(2)(4)P195页：页：3-4(B)1(2), 2, 4(1)(3), 5曲曲线线的的凸凸性性与与拐拐点点二二.,曲线的凸性曲线的凸性同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。xy0 xy0下凸下凸x1x2弦上弧下弦上弧下,则曲线为下凸；则曲线为下凸；上凸上凸x1x2弦下弧上弦下弧上,则曲线为上凸则曲线为上凸 。)10()1()(,2112121 txtxtxxtxxxx间间的的任任一一点点为为介介于于)()()()(221212xfxxxxxfxfy 弦弦的的方方程程为为代入上式有：代入上式有

44、：把把21)1(xtxtx )()()1(21xftxfty 定义：定义：由此我们给出凸函数的由此我们给出凸函数的1定义定义内有定义，内有定义，在在设函数设函数Ixxf )(有有对对若若)1 , 0(),( ,2121 txxIxx)()()1()1(2121xtfxftxtxtf 内是下凸的；内是下凸的；在在则称则称Ixf)()()()1()1(2121xtfxftxtxtf 内是上凸的。内是上凸的。在在则称则称Ixf)(凸（上凸），则称凸（上凸），则称在整个定义区间上是下在整个定义区间上是下若若)(xf 凸）的。凸）的。其图像曲线是下凸（上其图像曲线是下凸（上221xx PQ(I)(II)

45、特别地特别地,若取弦的中点若取弦的中点 Q),(2)2()1(221xfxfxx 与曲线弧上的相应点与曲线弧上的相应点 P),(,(221221xxxxf 2)()(22121)(xfxfxxf 定义定义1* 设设f(x)在区间在区间I上连续上连续,对对I上任意两点上任意两点x1,x2,恒有恒有则称则称f(x)在在I上的图形是下凸上的图形是下凸,如如(I)221xx PQ2)()(22121)(xfxfxxf 则称则称f(x)在在I上的图形是上凸上的图形是上凸,如如(II)xy0 xy0下凸下凸x1x2上凸上凸x1x2曲线的凹凸性亦可用曲线和切线的位置来描述曲线的凹凸性亦可用曲线和切线的位置来

46、描述:xy0 xy0下凸下凸上凸上凸上凸上凸曲线在切线之下曲线在切线之下下凸下凸曲线在切线之上曲线在切线之上;直接用定义判别函数的凸性较困难，下面给出利用函数的一阶及二阶导数的性质来判别函数的凸性的方法：凸凸性性判判别别定定理理定理定理 2凸性的第一判别法）凸性的第一判别法）.),()(,),()(,),()(（上上凸凸）的的内内是是下下凸凸在在则则内内单单调调增增加加（减减少少）在在且且内内可可导导在在若若baxfbaxfbaxf 定理2的证明可见教材P191页。 内内二二阶阶可可导导，上上连连续续，在在，在在设设)()(babaxf内内则则在在),(ba,)(0)(1上上是是下下凸凸的的在

47、在则则，）若若（baxfxf 上是上凸的。上是上凸的。在在则则，）（,)(0)(2baxfxf 3定理定理（凸性的第二判别法）（凸性的第二判别法）证：如图证：如图),(),(,(0000baxxfxMAB 上任取一点上任取一点在曲线在曲线:00的方程为的方程为的切线的切线则过则过TMM)(000 xxxfxfY ）（上上对对应应于于则则在在对对TMxx001, :11的的纵纵坐坐标标为为的的Mx )()(01001xxxfxfY （:),(:111它们的差为它们的差为的纵坐标为的纵坐标为上的点上的点点曲线点曲线对应于对应于xfyMABx )(0100111xxxfxfxfYy ）（）（）二二阶

48、阶可可导导，）在在（baxf处的一阶泰勒公式，处的一阶泰勒公式，在在由由0)(xxf200002)(）（！）（）（）（xxfxxxfxfxf 2010100112)(）（！）（）（）（时时当当xxfxxxfxfxfxx 之间之间与与在在0 xx 之间之间与与在在01xx (*)201111)(!2:(*)(xxfYyxf ）（式式有有代代入入将将 ）同同号号（与与 fYyxx 112010)(, 00 ）（）（）内内，若若在在（ fxfba, 00 ）（）（）内内，若若在在（ fxfba是是下下凸凸的的弧弧ABYy 11。凸的凸的是上是上弧弧ABYy 11的凸性的凸性例：判断曲线例：判断曲线x

49、yln ,1,0 xyx ），（解解：曲曲线线是是上上凸凸的的 , 012xy的的凸凸性性判判断断例例3:xy ），（解解 xxyxy,6,3:2）为上凸弧）为上凸弧（内内，在（在（xfy 0)0）为下凸弧）为下凸弧（内内，在（在（xfy 0)0函数的凸性可以用来证明不等式函数的凸性可以用来证明不等式:bababa )1(:, 10,1不不等等式式证证明明是是任任意意两两个个正正数数与与设设例例)1ln()ln(1baba 题设即要证题设即要证证证,ln)(xxf 令令,1)(xxf , 01)(2 xxf 时，由凸函数时，由凸函数为上凸函数，当为上凸函数，当baxf )(的定义有：的定义有：

50、)10()1()()()1( bafbfaf)1ln(lnln)1(baba 即即综上即得。综上即得。时，不等式成为等式，时，不等式成为等式，当当ba 221baab 时有时有此例中当此例中当 , 曲线的拐点曲线的拐点定义定义 2连续函数下凸弧与上凸弧的分界点连续函数下凸弧与上凸弧的分界点称为这曲线的称为这曲线的 拐点或扭转点）。拐点或扭转点）。的的拐拐点点点点就就是是如如3)0 , 0(xy 说明：说明：不不存存在在的的点点或或使使yy 0)1(2) 拐点在曲线上，而不在拐点在曲线上，而不在x轴上，轴上，其坐标为其坐标为(x0,y0)。坐坐标标。也也可可能能是是曲曲线线拐拐点点的的横横拐点的

51、判别拐点的判别 设具有二阶连续导数的曲线设具有二阶连续导数的曲线 y = f(x)在在 x = x0 处有处有, )(0)(不存在不存在或或xfxf 变号，变号，)(xf 那么那么 (x0,f(x0) 是是 y = f(x) 的拐点。的拐点。同同号号，)(xf 那么那么 (x0,f(x0) 不是不是 y = f(x) 的拐点。的拐点。的某邻域内：的某邻域内：且在且在0 x 设设y=f(x)在在x0处三阶可处三阶可导，导，, 0)(0 xf,0)(0 xf那么那么 (x0,f(x0) 是是y = f(x) 的拐点。的拐点。 000)()(lim)(:0 xxxfxfxfxx证证,)()(0)(0

52、0同同号号与与若若xxxfxf ,)()(0)(00异异号号与与若若xxxfxf 0)(lim00 xxxfxx,)(0点左右变号点左右变号在在即即xxf .)(0点点左左右右变变号号在在亦亦有有xxf 的的凸凸区区间间与与拐拐点点求求曲曲线线例例12:34 xxy)1(12121264223 xxxxyxxy解解：1; 0021 xxy令令:所所以以拐拐点点为为),0 , 1(; )1 , 0(.凸凸区区间间由由表表中中易易见见的的拐拐点点求求曲曲线线例例141232:23 xxxy;612;1266:2 xyxxy解解;021 y内内，在在 )21(21:y，拐点为拐点为210 xy由由0

53、21 y内内，在在01221 xy或或是否有拐点？是否有拐点？问曲线问曲线例例4:xy 00124:23 xyxyxy令令解解00;000 yxyxx时时，当当）点左右不变号）点左右不变号，在（在（即即00y 无无拐拐点点即即）点点不不是是曲曲线线的的拐拐点点，所所以以（400 xy ）是是下下凸凸的的。，（ 点不是拐点点不是拐点另解：另解：)0 , 0(02400 xxxy的的拐拐点点求求曲曲线线例例3:xy 时时）内内连连续续，当当，在在（函函数数解解0:3 xxy均不存在均不存在、时时当当yyxxxyxy ,09292,31353532）分为两个部分区间）分为两个部分区间，将（将（用用

54、0 x此例强调虽然函数的二阶导数不存在此例强调虽然函数的二阶导数不存在,但若函数在但若函数在x0点的二阶点的二阶导数异号且在导数异号且在x0点连续点连续,那么那么(x0,f(x0)为拐点为拐点. 有有且且对对某某存存在在上上例例：设设在在),(,)(,0baxxfba ）的拐点。）的拐点。（是是试证点试证点xfxfx)(,(00:),(021)()(lim:0300时时有有使使当当由由证证 xUxxxxfxx 异异号号与与即即3030)()(0)()(xxxfxxxf 下下凸凸曲曲线线时时当当)(0)(),(00 xfyxfxxx 上上凸凸曲曲线线时时当当)(0)(),(00 xfyxfxxx

55、 点点连连续续在在二二阶阶可可导导且且因因为为0)()(xxfxf.)(,(00是一个拐点是一个拐点点点xfx21)(lim300 xxxfxx）（例例: 利用函数图形的凸性证明不等式：利用函数图形的凸性证明不等式：22yxyxeee ,:tetf 令令解解 ,0 tetftf故函数图形是下凸的，故函数图形是下凸的， ,22 yxfyfxf22yxyxeee 作作 业业P194页：页：3-4(A)7(双双), 8(单单), 9P195页：页：3-4(B)10(1), 11第五节第五节 函数的极值与最大、最小值函数的极值与最大、最小值一一,函数的极值及其求法函数的极值及其求法若若f(x) f(x

56、0),则称则称f(x0)为为f(x)的一个的一个极小值极小值,x0称为极小值点。称为极小值点。极大值极大值(点点)与极小值与极小值(点点)统称极值统称极值(点点)。注注: 极大极大(小小)值都是局部性态值都是局部性态,可能出现极大值小于极小值可能出现极大值小于极小值 的情况的情况 极大值不一定是最大值极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值极小值也不一定是最小值 从图中可见曲线在函数的极值点所对应的那些点处具从图中可见曲线在函数的极值点所对应的那些点处具 有水平切线有水平切线,反之不真反之不真,如如 y = x3 在在x = 0 处有水平切线处有水平切线, 但但 x = 0 不是极值点不是

57、极值点. 下面给出函数取得极值的必要条件和充分条件下面给出函数取得极值的必要条件和充分条件:)(1 必要条件必要条件定理定理,)()()(00值值小小为为极极大大可可导导，且且在在点点若若xfxxf0)(0 xf则则必必有有：)()(:0极极小小值值的的情情况况类类似似为为极极大大值值不不妨妨设设证证xf于于是是有有使使得得对对则则),()(),(000 xfxfxUx 0)()(lim00000 xxxfxfxxxx时时当当0)()(lim00000 xxxfxfxxxx时时当当0)(0 xf:驻驻点点称称为为驻驻点点的的点点满满足足xxf0)( 驻驻点点则则极极值值点点可可导导若若说说明明

58、定定理理,)(:1xf但但不不是是极极值值点点是是驻驻点点如如,0,:3 xxy 由上可见求出函数的驻点后还需判别其是否为由上可见求出函数的驻点后还需判别其是否为 极值点极值点,若是极值点还需判别其是若是极值点还需判别其是 极大值还是极小值点极大值还是极小值点.一一阶阶充充分分条条件件）（第第一一种种充充分分条条件件或或称称定定理理2000 ）（某某个个领领域域内内可可导导，且且）在在（设设xfxxf，左侧邻近时左侧邻近时在在）当）当0)(10 xfxx, 0)(0 xfxx右右侧侧邻邻近近时时在在当当取取得得极极大大值值。在在则则0)(xxf，左左侧侧邻邻近近时时在在）当当0)(20 xfx

59、x, 0)(0 xfxx右右侧侧邻邻近近时时在在当当取取得得极极小小值值。在在则则0)(xxf点点无无极极值值在在则则不不变变号号的的左左右右在在当当00)(,)()3xxfxfxx .别法易证别法易证因为由函数单调性的判因为由函数单调性的判证略证略 的极值的极值求函数求函数例例xxf )(: 00)(:xxxxxf解解 01001)(xxxxf不不存存在在的极小值的极小值为为xxfx )(0:求函数极值的步骤求函数极值的步骤)()1xf 求求出出不不存存在在的的点点求求出出全全部部驻驻点点以以及及令令)(0)()2xfxf 进行判别进行判别用定理用定理 2)3的的全全部部极极值值即即为为值值

60、求求出出各各极极值值点点处处的的函函数数)(,)4xf 的的极极值值。求求例例321:xxy ,: D解解 31323211 xxxy 2233131 xxx3/1325xx 02 y令令,52 x. 0 xy不存在的点：不存在的点： :3列列表表 32545352, 00 ff极极小小值值极极大大值值的的极极值值试试求求例例xexxxf)4()(:3 xexxxxf)6)(2()()1(:2 解解0 , 2, 6:0)()2( 驻驻点点为为令令xf:)3(列列表表;432)6()4(6为极大值为极大值 ef.16)2(12为极小值为极小值 ef定理定理3 (判别极值的第二种充分条件判别极值的