流体力学第4章

1、流体力学第流体力学第4章章第1页/共67页l4.14.1流体的运动微分方程式（自学）流体的运动微分方程式（自学）l无粘性流体的运动微分方程式无粘性流体的运动微分方程式l从理想流体中任取一从理想流体中任取一 为中心的微元六面体为控制体，为中心的微元六面体为控制体，边长为边长为 ，中心点压强为，中心点压强为 ， ( , , )p x y z( , , )x y z,dx dy dz第2页/共67页l受力分析受力分析( (x x方向为例方向为例) )：l1.1.表面力表面力l因为理想流体，所以因为理想流体，所以l左表面左表面l右表面右表面l2.2.质量力质量力 l单位质量力在各坐标轴上分量为单位质量

2、力在各坐标轴上分量为 ，所以，所以 方向的方向的质量力为质量力为l由牛顿第二运动定律由牛顿第二运动定律 ， 方向有：方向有： ()()22xDudx pdx ppdydzpdydzXdxdydzdxdydzxxDt1xxxxxxyzDuuuuupXuuuxDttxyz01()2MMpPp Apdx dydzx1()2NNpPp Apdx dydzx, ,X Y ZXdxdydzFmaxx第3页/共67页l理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程） l 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体

3、。 l 若加速度等于若加速度等于0 0，则上式就可转化为，则上式就可转化为欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程 111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzDuuuuupXuuuxDttxyzDuuuuupYuuuyDttxyzDuuuuupZuuuzDttxyz第4页/共67页l粘性流体的运动微分方程式（自学）粘性流体的运动微分方程式（自学）l1.1.粘性流体的动压强粘性流体的动压强l由于粘性作用，运动时出现剪应力，使任一点法向应力由于粘性作用，运动时出现剪应力，使任一点法向应力的大小，与作用面的方位有关。研究表明，同一点任意的大小，与作用面的方位有关。研究表明，同一点任意三个正交面上

4、的法向应力之和都不变，该点的动压强表三个正交面上的法向应力之和都不变，该点的动压强表示为示为l2.2.实际流体的运动微分方程（实际流体的运动微分方程（N-SN-S） 222111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuupXuuuuxtxyzuuuupYuuuuytxyzuuuupZuuuuztxyz 1()3xxyyzzpppp第5页/共67页l4.24.2 元流的伯努利方程及能量方程元流的伯努利方程及能量方程l无粘性液体运动微分方程的伯努利积分无粘性液体运动微分方程的伯努利积分l由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（

5、迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。考虑条件：条件下积分。考虑条件：l1 1、恒定流、恒定流111xxxxyzyyyxyzzzzxyzuuupXuuuxxyzuuupYuuuyxyzuuupZuuuzxyzdxdydz0,0yxzuuuptttt第6页/共67页l对上式各式分别乘以流线上微元线段的投影对上式各式分别乘以流线上微元线段的投影dxdx，dydy，dz,dz,则上式中的第一式变为：则上式中的第一式变为：l2.2.在流线上，由

6、流线微分方程式在流线上，由流线微分方程式 ，有，有 1()xxxxyzuuupXdxdxuuudxxxyzyxzuuudxdydzyxzxu dxu dyu dxu dz()()xxxxyzxxxxyzxxxxxxxxxxxxuuuuuudxxyzuuuu dxu dxu dxxyzuuuu dxu dyu dzxyzuuuudxdydzxyzu du第7页/共67页l因此因此l同理有：同理有：l将上述三式相加得：将上述三式相加得： 2222221()()21()2xyzIIIIIIxyzIIIIIIuuupppXdxYdyZdzdxdydzdxyzuuuXdxYdyZdzdpd 211()(

7、)2xxxxyzxxxuuupXdxdxuuudxu dud uxxyz2211()211()2yyyzzzpYdydyu dud uypZdzdzu dud uz第8页/共67页l2.2.质量力只有重力质量力只有重力l3.3.均匀不可压缩流体均匀不可压缩流体 l积分得无粘性流体运动方程沿流线积分积分得无粘性流体运动方程沿流线积分 ： 0,XYZg 1,()pconstdpd2()()2IIIIIIpugdzdd 2221()2xyzIIIIIIuuuXdxYdyZdzdpd 22puzCgg2()()02pugdzdd元流的伯努利方程元流的伯努利方程第9页/共67页l对同一流线上的任意两点，

8、有对同一流线上的任意两点，有l或或l无粘性流体元流伯努利方程的应用条件：无粘性流体元流伯努利方程的应用条件：l1 1、恒定流动；、恒定流动；l2 2、质量力只有重力、质量力只有重力l3 3、沿元流（流线）、沿元流（流线）l4 4、不可压缩流体、不可压缩流体2211221222pupuzzgggg2222222111upzupz第10页/共67页l元流伯努利方程的物理意义和几何意义元流伯努利方程的物理意义和几何意义物理意义物理意义几何意义几何意义 单位重量流体的位能单位重量流体的位能位置水头位置水头单位重量流体的压能单位重量流体的压能压强水头（测压管高度）压强水头（测压管高度）pgz单位重量流体

9、的动能单位重量流体的动能流速水头流速水头 单位重量流体总势能单位重量流体总势能测压管水头测压管水头 单位重量流体的总机械能单位重量流体的总机械能总水头总水头 沿同一元流（流线）的各沿同一元流（流线）的各过流断面上，单位重量流过流断面上，单位重量流体所具有的机械能守恒。体所具有的机械能守恒。对于液体来说，元流各对于液体来说，元流各过流断面上总水头沿流过流断面上总水头沿流程保持不变。程保持不变。22puzggpzg22ug第11页/共67页例例4-34-3毕托管测速毕托管测速是一根很细的弯管，其前端和侧面均开有小孔，当需要测是一根很细的弯管，其前端和侧面均开有小孔，当需要测量水中某点流速时，弯管前

10、端置于该点并正对水流方向，前量水中某点流速时，弯管前端置于该点并正对水流方向，前端小孔和侧面小孔分别由两个不同通道接入两根测压管，测端小孔和侧面小孔分别由两个不同通道接入两根测压管，测量时只需要读出这两根测压管的水面差，即可求得所测点之量时只需要读出这两根测压管的水面差，即可求得所测点之流速。流速。第12页/共67页设先将一根弯管的前端封闭，弯管侧面开一小孔，把弯管正设先将一根弯管的前端封闭，弯管侧面开一小孔，把弯管正对水流方向，把侧面开孔处置于测点对水流方向，把侧面开孔处置于测点A A，此时弯管水面上升高，此时弯管水面上升高度度 ，则，则 代表了代表了A A点的动水压强，即：点的动水压强，即

11、：设设A A点流速为点流速为 ，若以通过，若以通过A A点点的水平面为基准面，则的水平面为基准面，则A A点的总点的总能量为：能量为： 1Aphg22122ApuuHhggg两根测压管的水面差1h1hu第13页/共67页再以另一根同样的弯管，侧面不开孔，前端开孔，将弯管再以另一根同样的弯管，侧面不开孔，前端开孔，将弯管前端置于前端置于A A点并正对水流方向。此时，由于点并正对水流方向。此时，由于A A点水流受弯管的点水流受弯管的阻挡，流速变零，动能全部转化为压能，故阻挡，流速变零，动能全部转化为压能，故 ，上述，上述两种方法所测得的两种方法所测得的A A点能量应相等，则可得点能量应相等，则可得

12、由此可得由此可得A A点的流速点的流速以上就为毕托管测速的原理。以上就为毕托管测速的原理。 212212 ()22uhhug hhg hg两根测压管的水面差2Hh212 ()2ug hhg h第14页/共67页而真实的毕托管，并不要进行两次测量，而是两根管合二而真实的毕托管，并不要进行两次测量，而是两根管合二为一，只是将前端的小孔和侧面的小孔由分别不同的通道接为一，只是将前端的小孔和侧面的小孔由分别不同的通道接在两支测压管上。此时，流速应为在两支测压管上。此时，流速应为其中其中 称为毕托管的校正系数，一般称为毕托管的校正系数，一般 约为约为0.98-0.98-1.01.0。修正原因：修正原因：

13、1 1两个小孔的位置不同。两个小孔的位置不同。2 2毕托管放入水流中所产生的扰动影响。毕托管放入水流中所产生的扰动影响。 2ucg hcc第15页/共67页l粘性流体元流的伯努利方程粘性流体元流的伯努利方程l实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力做功，实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力做功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此，实际流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守恒，实际流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守恒，而是沿程减少。设而是沿程减少。设 为单位重量流体从断面为单位重量流体从断面1 1

14、1 1流动到断面流动到断面2 22 2所损耗的机械能，即能量损失，称所损耗的机械能，即能量损失，称水头损失水头损失。则实际流。则实际流体元流的伯努利方程为：体元流的伯努利方程为：l 4.34.3恒定流体总流的伯努利方程恒定流体总流的伯努利方程l 渐变流及其性质渐变流及其性质l1 1、渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平、渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行；行；l2 2、渐变流过流断面上的动压强与静压强分布规律相同，即、渐变流过流断面上的动压强与静压强分布规律相同，即2211221222wpupuzzhggggcpzgwh第16页/共67页l总流的伯努利方程总流的

15、伯努利方程l将式将式各项乘以重量流量各项乘以重量流量 ，得到单位时间内通过元，得到单位时间内通过元流两过流断面的全部流体的能量关系式：流两过流断面的全部流体的能量关系式：l根据连续性方程：根据连续性方程：l对上式在总流两过水断面上积分，可以得到通过总流两过对上式在总流两过水断面上积分，可以得到通过总流两过流断面的所有流体所携带的总能量之间的关系流断面的所有流体所携带的总能量之间的关系l整理得：整理得：22112212()( )22wpupuzgdQzhgdQgggggdQ1122dQu dAu dA12112222211221112223111111322222222()( )22()2()2

16、wAAAAwAAApupuzgu dAzhgu dAggggpugzu dAgdAggpugzu dAgdAghu dAgg第17页/共67页l1 1、势能积分项、势能积分项l由于取在渐变流过流断面上由于取在渐变流过流断面上, ,因此有因此有l2 2、动能积分项、动能积分项l单位时间内通过总流过水断面的流体动能的总和，积分单位时间内通过总流过水断面的流体动能的总和，积分按断面平均流速计算，并引入修正系数按断面平均流速计算，并引入修正系数 ：l l动能修正系数动能修正系数, , 一般大于一般大于1 1，如果流速分布较，如果流速分布较均匀时均匀时 。在圆管层流动动中。在圆管层流动动中 ；工程实际中

17、的紊流运动常取工程实际中的紊流运动常取 。()()()ApppgzudAg zAzgQggg()ApgzudAg232222Aggu dAAgQggg 32Agu dAg1.05 1.1021333322AAAgu dAu dAggAdAg第18页/共67页l3 3、水头损失积分项、水头损失积分项l 为单位重量流体由过渡断面为单位重量流体由过渡断面1-11-1运动到运动到2-22-2的平均机械的平均机械能损失。能损失。l因此，总流的伯努利方程为：因此，总流的伯努利方程为：l4、能量方程的限制条件能量方程的限制条件 l1 1）恒定流；）恒定流；l2 2）不可压缩流体；）不可压缩流体；l3 3）质

18、量力只有重力；）质量力只有重力；l4 4）两过流断面应为缓变流断面，而两断面之间，可以）两过流断面应为缓变流断面，而两断面之间，可以是缓变流也可以是急变流；是缓变流也可以是急变流；l5 5）流量沿程不变；）流量沿程不变；l6) 6) 沿程没有能量的输入输出。沿程没有能量的输入输出。wwAghudAgh QwAghudA2211 122 21222wpvpvzzhggggwh第19页/共67页l6 6、有能量输入输出的伯努利方程、有能量输入输出的伯努利方程l当两过流断面部有水泵、风机或水轮机、汽轮机等流体机当两过流断面部有水泵、风机或水轮机、汽轮机等流体机械时，存在能量的输入或输出。此时的有能量

19、输入或输出械时，存在能量的输入或输出。此时的有能量输入或输出的伯努利方程为：的伯努利方程为：l3 3、两断面间有合流或分流的伯努利方程、两断面间有合流或分流的伯努利方程l分流分流2211 12221222mwpvpvzHzhgg2211 1222121 22233 311 1131 32222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg211233第20页/共67页l合流合流2233 311 1131 32233 3222232 32222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg112233第21页/共67页l水头线水头线l总水头线是总水头的连线，测压管水头线是测压管水总水头线是总水头的连线，测压

20、管水头线是测压管水头的连线头的连线. .l理想（无粘性）流体中，总水头线直线；理想（无粘性）流体中，总水头线直线；l实际流体中，总水头线总是沿程单调下降的，下降的实际流体中，总水头线总是沿程单调下降的，下降的快慢可以用水力坡度快慢可以用水力坡度J J来表示来表示: :l而测压管水头线则沿程有升有降而测压管水头线则沿程有升有降2211 12221222wppzzhgggg wdhdHJdldl ppdHJdl 第22页/共67页理想流体总水头线和测压管水头线理想流体总水头线和测压管水头线第23页/共67页l利用能量方程的解题步骤（利用能量方程的解题步骤（“三选一列三选一列”）l（1 1）选择基准

21、面）选择基准面: :基准面可任意选定，但应以简化计算基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（为原则。例如选过水断面形心（z z=0=0），或选自由液面），或选自由液面（p p=0=0）等。）等。l（2 2）选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐）选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。l（3 3）选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常）选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。准。l（4

22、 4）列能量方程解题，注意与连续性方程的联合使用。）列能量方程解题，注意与连续性方程的联合使用。第24页/共67页l例例4-44-4：用直径：用直径 的水管从水箱引水，如图所示，的水管从水箱引水，如图所示，水箱水面与管道出口断面中心的高差水箱水面与管道出口断面中心的高差 ，保持恒定，保持恒定，水头损失水头损失 水柱，试求管道的流量。水柱，试求管道的流量。l基准面：基准面：0-00-0断面断面l计算断面：计算断面：1-11-1断面，断面，2-22-2断面断面l计算点：计算点： 1-11-1断面自由水面（断面自由水面（ ），）， 2-22-2断面中心轴断面中心轴上上l采用相对压强采用相对压强100

23、dmm4Hm3whm10第25页/共67页l解：应用伯努利方程解：应用伯努利方程l基准面：基准面：0-00-0断面断面; ;l计算断面：计算断面：1-11-1断面，断面，2-22-2断面断面; ;l计算点：计算点： 1-11-1断面自由水面（断面自由水面（ ），）， 2-22-2断面中心轴断面中心轴上上l因此有因此有l采用相对压强采用相对压强l则：则：l取取l则流速为则流速为l流量流量2211 12221222wppzzhgggg 124 ,0zHm z2222wHhg 21.02322210.035m /s4QAd120pp22 ()4.43m/swg Hh10第26页/共67页l例例4-5

24、4-5：离心泵由吸水池抽水，已知抽水量：离心泵由吸水池抽水，已知抽水量 ，泵的安装高度泵的安装高度 ，吸水管直径，吸水管直径 ，吸水，吸水管的水头损失管的水头损失 ，试求水泵进口断面，试求水泵进口断面2-22-2的真的真空度空度 。l解：选择基准面为解：选择基准面为1-11-1断面列出断面列出1-11-1断面，断面，2-22-2断面伯努断面伯努利方程利方程l计算点：计算点：1-11-1断面自由水面，断面自由水面， l2-22-2断面中心轴上断面中心轴上l可采用相对压强也可采用绝对压强计算可采用相对压强也可采用绝对压强计算l本题采用相对压强，由以上条件知本题采用相对压强，由以上条件知5.56 /

25、QL s5sHmvp100dmm0.25whm12110,0sazzHpp2211 12221222wppzzhgggg 第27页/共67页l代入伯努利方程得代入伯努利方程得20.708m/sQA222225.28m251.74kPaswvpHhggpp 222202swpHhgg 第28页/共67页l例例4-6 4-6 文丘里流量计文丘里流量计l文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，它是利用收缩段，由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部分别安装一根测造成一

26、定的压强差，在收缩段前和喉部分别安装一根测压管或用压管或用U U形管差压计测量出压强差，从而求出管道中形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。流体的体积流量。 第29页/共67页l解：选水基准面解：选水基准面0-00-0。列出收缩段进口断面。列出收缩段进口断面1-11-1，喉道断，喉道断面面2-22-2的伯努利方程，忽略不计水头损失的伯努利方程，忽略不计水头损失h hw w，并取，并取1 1= =2 2=1=1，则有，则有 由连续性方程由连续性方程 代入前式，得代入前式，得l若用测压管测势能差，则若用测压管测势能差，则 为测压管为测压管水头差水头差h h，则流量为，则流量为121

27、1241212 () ()(/)1ppg zzd d1212ppzz2211221222ppzzgggg21121122AdAd2111412142(/)1dQAghK hd d第30页/共67页21412142(/)1dKgddl其中文丘里管系数其中文丘里管系数K K为：为：l若考虑水头损失，则需乘以一个流量系数若考虑水头损失，则需乘以一个流量系数l若用水银差压计测势能差，则有若用水银差压计测势能差，则有QK h1212121212()()()136000(1)(1)12.61000012.6HgpHgppppppppzzzzzzhhhhQKh第31页/共67页l总流伯努利方程应用的补充论述

28、总流伯努利方程应用的补充论述l* *1 1、气流的伯努利方程、气流的伯努利方程( (自学自学) )l气体是可压缩的流体，但是对流速不是很大，压强变气体是可压缩的流体，但是对流速不是很大，压强变化不魇系统，如工业通风管道、烟道等，可能应用伯化不魇系统，如工业通风管道、烟道等，可能应用伯努利方程。努利方程。l用压强的形式表示则用压强的形式表示则 l若若 2212112222absabswwwzgpzgpppgh112221()absaabsaappppppg zz2212121222absabswppzzhgggg第32页/共67页l当气流的密度与外界空气的密度相同时当气流的密度与外界空气的密度相

29、同时 ，或，或两计算点的高度相同时两计算点的高度相同时 ，则有，则有l当气流的密度远远大于外界空气的密度当气流的密度远远大于外界空气的密度 ，则，则有有22121222wppp22121212() ()22awpg zzppa2211221222wppzzhgggg12zza22121212()22wpg zzpp第33页/共67页l4.54.5动量方程动量方程l将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量的时间变化率的时间变化率 等于作用在系统上的外力等

30、于作用在系统上的外力 矢量和，矢量和，即即()dKdmuFdtdtdKdtF第34页/共67页从恒定总流中任取一束元流为控制体积，从恒定总流中任取一束元流为控制体积，d dt t时间内，流体从时间内，流体从1-21-2处流至处流至1 1-2-2处。处。d dt t时间内元流的动量变化（恒定流）为时间内元流的动量变化（恒定流）为 因为是恒定流，因为是恒定流，dtdt前后前后 无变化，则无变化，则因为过流断面为渐变流断面，各点速度平行，按平行矢量和因为过流断面为渐变流断面，各点速度平行，按平行矢量和的法则，定义的法则，定义 为为 方向的基本单位矢量，方向的基本单位矢量， 为为 方向方向的基本单位矢

31、量的基本单位矢量1 21 21 22 21 11 2()()t dtdKKKKKKK1 2K2 21 122221 11 1dKKKu dtA uu dtAu1i2i1u2u第35页/共67页则则对于不可压缩流体对于不可压缩流体 ，并引入修正系数，并引入修正系数 ，以断面平均流速以断面平均流速 代替点流速代替点流速 ，积分得，积分得 称为动量修正系数称为动量修正系数1212, 21222221 11 11AAdKu dtA u iu dtAu iu12, 212222221 11122221 11 1221 1AAdKdtA idtA idtAdtAQdt 222AAu dAu dAAQ第36

32、页/共67页221 1221 1221 1()()()xxxyyyzzzQFQFQF l根据实验测定值约为根据实验测定值约为1.021.021.051.05，近似于，近似于l l，所以为计算，所以为计算方便，在工程计算中通常取方便，在工程计算中通常取 。l由动量定理，质点系动量的增量等于作用于该质点系上由动量定理，质点系动量的增量等于作用于该质点系上的外力冲量的外力冲量l得得l投影式为投影式为221 1FdtQdt 1221 1FQ 第37页/共67页l总流动量方程的应用条件总流动量方程的应用条件: : 1 1）恒定流；）恒定流； 2 2）不可压缩流体；）不可压缩流体； 3 3）两过流断面应为

33、渐变流断面，而两断面之间，可）两过流断面应为渐变流断面，而两断面之间，可以是渐变流也可以是急变流。以是渐变流也可以是急变流。第38页/共67页l使用动量方程时应注意：使用动量方程时应注意：l1 1）选隔离体，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取）选隔离体，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为隔离体；为隔离体； l2 2）选坐标系，确定各作用力及流速的投影的大小和方向；）选坐标系，确定各作用力及流速的投影的大小和方向； l3 3）作计算简图：分析隔离体受力情况，并在隔离体上标）作计算简图：分析隔离体受力情况，并在隔离体上标出全部作用力的方向；出全部作用力的方向； l4 4）列动量方程解题，）列

34、动量方程解题，计算压力时，采用相对压强计算计算压力时，采用相对压强计算。 l5 5）正确取好外力与流速的正负号。对于已知的外力和流）正确取好外力与流速的正负号。对于已知的外力和流速方向，凡是与选定坐标轴方向相同者取正号，相反者速方向，凡是与选定坐标轴方向相同者取正号，相反者取负号。对于未知待求量，则可先假定为某一方向，并取负号。对于未知待求量，则可先假定为某一方向，并按上述原则取好正负号，代入总流动量方程中，进行求按上述原则取好正负号，代入总流动量方程中，进行求解。求得的结果为正值时，假定方向即为实际方向，否解。求得的结果为正值时，假定方向即为实际方向，否则相反。则相反。l6 6）注意与能量方

35、程及连续性方程的联合使用。）注意与能量方程及连续性方程的联合使用。第39页/共67页l例例4-9 4-9 水平设置的输水弯管，转角水平设置的输水弯管，转角 ，直径由，直径由 变为变为 。已知转弯前断面压强。已知转弯前断面压强 （相对压强），输水流量（相对压强），输水流量 ，不计水头损失，试求水流对弯管作用力的大小。不计水头损失，试求水流对弯管作用力的大小。解：解： 取控制体由取控制体由1-11-1，2-22-2断面及管壁围成的空间，坐标系断面及管壁围成的空间，坐标系如图。如图。 分析作用在控制体内分析作用在控制体内液体上的作用力：液体上的作用力：重力：重力：过流断面上的动水压力：过流断面上的动

36、水压力：弯管对水流的作用力：弯管对水流的作用力：列总流动量方程在列总流动量方程在x x，y y轴方向轴方向的投影式的投影式1200mmd ,xyR R602150mmd 2118kN/mp 30.1m /sQ 12221 121 1cos60cos60sin60sin60 xyPPRQPRQ 12,P PGxRyRx1vy2P2v1d1P2121第40页/共67页其中其中列列1-11-1，2-22-2断面的伯努利方程，忽略水头损失断面的伯努利方程，忽略水头损失2211 12221212121221222222212212222220,144 0.13.185m/s0.244 0.15.66m/

37、s0.157.043kN/m217.0430.15 =0.124kN4ppzzggggzzQdQdppPp A 21111180.2 =0.565kN4Pp A0.538kN()0.597kN()xyRR0.538kN()0.597kN()xyRR水流对弯管的作用力水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用与弯管对水流的作用力大小相等方向相反力大小相等方向相反第41页/共67页l例例4-10 4-10 水平分岔管路，干管直径水平分岔管路，干管直径 ，支管直径，支管直径 ，分岔角，分岔角 。已知分岔前断面的。已知分岔前断面的压力表读值压力表读值 ，干管流量，干管流量 ，不计，不计水头损失。试求水流对分

38、岔管的作用力。水头损失。试求水流对分岔管的作用力。解：解： 取控制体由取控制体由1-11-1，2-22-2，3-33-3断面及管壁围成的空间，坐断面及管壁围成的空间，坐标系如图。标系如图。 分析作用在控制体内分析作用在控制体内液体上的作用力：液体上的作用力：重力：重力：过流断面上的动水压力：过流断面上的动水压力：分岔管对水流的作用力：分岔管对水流的作用力：列总流动量方程在列总流动量方程在x x轴方向轴方向的投影式的投影式1600mmd 3023400mmdd270kN/mMp30.6m /sQ xR12322331 1cos30cos30cos30cos3022xQQPPPRQ 123,P P

39、 PG第42页/共67页其中其中列列1-11-1，2-2(2-2(或或3-3)3-3)断面的伯努利方程，忽略水头损失断面的伯努利方程，忽略水头损失2211 122212231212122122222221223122322220,144 0.62.12m/s0.622 0.62.39m/s0.469.4kN/m2169.40.4 =8.717kN4ppzzggggzzQdQdpppPPp A 21111700.6 =19.78kN4Pp A4.72kN()xR 4.72kN()xR 水流对分岔管的作用水流对分岔管的作用力与分岔管对水流的力与分岔管对水流的作用力大小相等方向作用力大小相等方向相反

40、相反第43页/共67页l例例4-11 4-11 水平方向的水射流，流量水平方向的水射流，流量 ，出口流速，出口流速 ，在，在大气中冲击在前后斜置的光滑平板上，射流轴线与平板成大气中冲击在前后斜置的光滑平板上，射流轴线与平板成角角 ，不计水流在平板上的阻力，试求：，不计水流在平板上的阻力，试求：( 1) ( 1) 沿平板沿平板的的 ；（；（2 2）射流对平板的作用力。）射流对平板的作用力。l解：取控制体由解：取控制体由1-11-1，2-22-2，3-33-3断面及射流表面与平板内断面及射流表面与平板内壁，坐标系如图。壁，坐标系如图。 分析作用在控制体内分析作用在控制体内液体上的作用力：液体上的作

41、用力：重力：重力：过流断面上的动水压力为过流断面上的动水压力为0 0：平板对水流的作用力：平板对水流的作用力：列总流动量方程在列总流动量方程在x,yx,y方向上的方向上的投影投影123,Q Q1QR22233311 111 11 10()cos0(sin )sinQQQRQQ G第44页/共67页列列1-11-1，2-2,3-32-2,3-3断面的伯努利方程，忽略水头损失断面的伯努利方程，忽略水头损失2211 1222122233311 1131232222ppzzggggppzzgggg 22233311 123112312130()coscos(1 cos )2(1 cos )2QQQQQ

42、QQQQQQQQ 11 11 10(sin )sinRQQ水流对平板的作用力水流对平板的作用力与平板对水流的作用与平板对水流的作用力大小相等方向相反力大小相等方向相反,指向平板指向平板第45页/共67页l4.64.6 无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流动l 无粘性无旋流动的伯努利方程无粘性无旋流动的伯努利方程l无粘性流体无旋流动的伯努利方程无粘性流体无旋流动的伯努利方程 l l或或 l物理意义：无粘性流体恒定无旋流动全流场单位重量流物理意义：无粘性流体恒定无旋流动全流场单位重量流体的机械能守恒。体的机械能守恒。l无粘性流体无旋流动的伯努利方程与无粘性流体元流伯无粘性流体无旋流动的伯努利方程

43、与无粘性流体元流伯努利方程形式完全一样，但含义和应用范围不同，元流努利方程形式完全一样，但含义和应用范围不同，元流伯努利方程在同一条流线上成立，而伯努利方程在同一条流线上成立，而 无旋流动的伯努无旋流动的伯努利方程全流场成立。利方程全流场成立。22puzCgg2222222111upzupz第46页/共67页l 速度势函数速度势函数l由曲线积分定理可知，无旋条件式：由曲线积分定理可知，无旋条件式：l是使表达式是使表达式 成为某一函数成为某一函数 的的全微分的充要条件，即全微分的充要条件，即102102102yyxzxxxzzyyyxxzuuuuyzyzuuuuzxzxuuuuxyxy或或或xy

44、zu dxu dyu dz( , , )x y zxyzdu dxu dyu dz第47页/共67页l比较比较l得得l即：即：l式中：式中： 无旋运动的流速势函数，简称无旋运动的流速势函数，简称势函数势函数。l由此可以得出，无旋流动是有速度势的流动，反之，有由此可以得出，无旋流动是有速度势的流动，反之，有速度势的即是无旋流动。速度势的即是无旋流动。l对于不可压缩的平面流体流动中，将式对于不可压缩的平面流体流动中，将式l代入连续性微分方程代入连续性微分方程ddxdydzxyz,xyzuuuxyzugrad,xyzuuuxyz0yxzuuuxyz第48页/共67页l有有l即即： l该式是著名的拉普

45、拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数该式是著名的拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。所以，调和函数的一切性质，也是速度势是调和函数。所以，调和函数的一切性质，也是速度势函数具有的性。函数具有的性。222222()()()0 xxyyzzxyz222222220 xyz 第49页/共67页l平面流动与流函数平面流动与流函数l根据不可压缩液体平面流动的连续性微分方程，有根据不可压缩液体平面流动的连续性微分方程，有l它是使它是使 成为某一函数成为某一函数 的全微的全微分的充分与必要的条件，则有分的充分与必要的条件，则有l l得到得到l 称为不可压缩液体平面流动的称为不可压缩液体平面流动的流函

46、数流函数。实际上，。实际上，无论是无旋势流还是有旋流动，无论是理想液体还是实无论是无旋势流还是有旋流动，无论是理想液体还是实际液体，在不可压缩液体的平面流动中必存在流函数。际液体，在不可压缩液体的平面流动中必存在流函数。上式说明了，若能确定流函数一个未知数，则也可求得上式说明了，若能确定流函数一个未知数，则也可求得uxux与与uyuy。 yxuuxy yxu dxu dy( , )x ydydydxxdyudxudxy,xyuuyx ( , )x y第50页/共67页l流函数的性质流函数的性质 ：l1 1、流函数等值线、流函数等值线 就是流线。就是流线。l证明：证明：l得平面流线方程：得平面流

47、线方程：l得证。得证。l2 2、不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线的流函、不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差等于这两条流线间所通过的单位宽度流量数之差等于这两条流线间所通过的单位宽度流量dqdq。 ( , )x yC( , )0yxx yCdu dxu dy yxuudxdy第51页/共67页l现证明如下：如图所示，在流函数现证明如下：如图所示，在流函数11与与33的两条流线的两条流线间有任一曲线间有任一曲线AB(AB(不一定垂直于流线不一定垂直于流线) )，在它上面任取一，在它上面任取一微元线段微元线段 ，其流速为，其流速为 ，假定垂直于流动平面的，假定垂直于流动平面的宽

48、度等于宽度等于1 1， 则通过则通过 流量流量 l故故l式中式中 是微元线段是微元线段 的法向单位矢量；的法向单位矢量；l这一积分与曲线这一积分与曲线ABAB的形状无关，仅决定于的形状无关，仅决定于A A、B B两点的两点的值。由此得证。值。由此得证。dldlcos,cos,xyxyxydqu ndlun xun ydldydxuudlu dyu dxddldl u13BAbaddqqdln第52页/共67页l3 3、平面无旋流动的等流函数线（流线）与等势线正交、平面无旋流动的等流函数线（流线）与等势线正交l证明：对于平面无旋流动，同时存在速度势和流函数。证明：对于平面无旋流动，同时存在速度势

49、和流函数。由流线方程由流线方程l某一点斜率某一点斜率l由等势线方程由等势线方程l同点等势线斜率同点等势线斜率l乘积乘积l所以流线与等势线正交，故等势线也就是过流断面线。所以流线与等势线正交，故等势线也就是过流断面线。 0 xydu dxu dy0 xydu dyu dx1yxudymdxu2xyudymdxu 121m m 第53页/共67页l4 4、平面无旋流动，流函数是调和函数、平面无旋流动，流函数是调和函数l证明：平面无旋流动，有证明：平面无旋流动，有l将将 代入代入l得得l l或或l式中式中l式说明了不可压缩液体平面势流中流函数也是调和函数，式说明了不可压缩液体平面势流中流函数也是调和

50、函数，它也满足拉普拉斯方程。它也满足拉普拉斯方程。2222()()00 xyyxxy1002yyxxzuuuuxyxy,xyuuyx 2022222xy 第54页/共67页l对比式对比式l和式和式l得得l即柯西即柯西- -黎曼条件，黎曼条件， 为一对共轭调和函数。为一对共轭调和函数。xyyx ,xyuuxy,xyuuyx , 第55页/共67页l基本平面势流基本平面势流l1 1、均匀直线流动、均匀直线流动l速度场：速度场：l速度势：速度势：l流函数：流函数：l当流动方向平行当流动方向平行x x轴：轴：l当流动方向平行当流动方向平行y y轴：轴：xyu dyu dxadybdx aybx,xyu

51、a ubxyu dxu dyadxbdy axby0,yuaxay0,xubybx 第56页/共67页l2 2、源流和汇流、源流和汇流l（1 1）源流：流体从平面上的一点）源流：流体从平面上的一点o o流出，均匀地向四周流出，均匀地向四周径向直线流动。径向直线流动。l速度场：速度场：l速度势：速度势：l流函数：流函数：l等势线方程等势线方程 ，等势线是以，等势线是以O O点为圆心的同心点为圆心的同心圆。圆。l流线方程流线方程 ，流线是由，流线是由O O点引出的射线。点引出的射线。l以直角坐标表示以直角坐标表示ln22rqqu dru rddrrr,02rquur22rqqu rdu drrdr

52、, c rc, cc22( , )ln2( , )arctan2qx yxyqyx yx第57页/共67页l（2 2）汇流：；流体从四周沿径向均匀地流入一点。）汇流：；流体从四周沿径向均匀地流入一点。l速度势：速度势：l流函数：流函数：l以直角坐标表示以直角坐标表示l源流和汇流是一种理想化的流动，在原点（源点或汇点）源流和汇流是一种理想化的流动，在原点（源点或汇点）l 是不可能的，这样称为奇点。如将原点是不可能的，这样称为奇点。如将原点附近除外，注水井向地层注水，地下水从四周向汲水井附近除外，注水井向地层注水，地下水从四周向汲水井汇集，可看作是平面点源和点汇流。汇集，可看作是平面点源和点汇流。

53、ln2qr 2q 22( , )ln2( , )arctan2qx yxyqyx yx 0,rru 第58页/共67页l3 3、环流：流体绕固定点作圆周运动，且速度与圆周半、环流：流体绕固定点作圆周运动，且速度与圆周半径成反比径成反比 。l速度场：速度场：l速度势：速度势：l流函数：流函数：l等势线方程等势线方程 ，等势线是由，等势线是由O O点引出的射线。点引出的射线。l流线方程流线方程 ，流线是以，流线是以O O点为圆心的同心圆。点为圆心的同心圆。l以直角坐标表示以直角坐标表示22ru dru rdrdr0,2ruurln22rqu rdu drdrrr, c rc, cc22( , )a

54、rctan2( , )ln2yx yxx yxy 第59页/共67页l平面无旋流动的叠加原理平面无旋流动的叠加原理l平面势流问题归结于在具体的边界条件下求解势函数或平面势流问题归结于在具体的边界条件下求解势函数或流函数所满足的拉普斯方程。由于拉普拉斯方程是线性流函数所满足的拉普斯方程。由于拉普拉斯方程是线性的，所以几个势函数或流函数的线性叠加仍然满足拉普的，所以几个势函数或流函数的线性叠加仍然满足拉普斯方程。这就是说，几个势流叠加后的流动仍然是势流。斯方程。这就是说，几个势流叠加后的流动仍然是势流。 l（证明略）（证明略）l势流的叠加原理为我们提供了一种求解较复杂流动的方势流的叠加原理为我们提供了一种求解较复杂流动的方法，可以将几种最简单的已知势流叠加起来得到较复杂法，可以将几种最简单的已知势流叠加起来得到较复杂的势流。当然，叠加的结果