电磁场课件10矢量磁位、边值问题、磁场能量与力

1、构成方程HB基本方程表示：S0dSB（磁通连续原理）0 BIllH d（安培环路定律）JH 恒定磁场的性质是有旋无源恒定磁场的性质是有旋无源, ,电流是激发磁场的涡旋源。电流是激发磁场的涡旋源。3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 、 分界面衔接条件分界面衔接条件nnBB21KHH2t1t分界面衔接条件：3.4.1 磁矢位 A 的引出 （Definition Magnetic Vector Potential A)由磁通连续定理知0B 称 A 为矢量磁位，或 磁矢位 。3.4 磁矢位及其边值问题Magnetic Vector Potential and Boundary Value P

2、roblemBA即：任一矢量旋度的散度恒为零。即：任一矢量旋度的散度恒为零。引入一个矢量函数引入一个矢量函数 A ，使得，使得引入矢量磁位的目的是：方便磁场的计算引入矢量磁位的目的是：方便磁场的计算()0 A存在矢量运算恒等式：3.4.2 磁矢位 A 的泛定问题JA2（矢量）泊松方程 0B由HJAJAA2)(矢量运算式0 A取库仑规范 一般，已知电流密度一般，已知电流密度 J ，则可以先求得矢量磁位，则可以先求得矢量磁位 A ，再求旋，再求旋度得磁感应强度度得磁感应强度 B ，从而进行磁场的分析。，从而进行磁场的分析。矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，时间的矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，时

3、间的长河无边无际，要度量时间，必须截断。长河无边无际，要度量时间，必须截断。AB引入矢量 A，则整理环路定律得到()0 A/ B1AJ令无限远处 A = 0，类比静电场电位表达式4xxVJAdVRVRVd4JA矢量合成后，得zz2yy2xx2JA;JA;JA 在直角坐标系下， 可展开为JA2线电流的磁矢位：dVJSdIdJl =l先对电流微元积分求矢量磁位先对电流微元积分求矢量磁位A，再对磁位求旋度得磁感应强度，再对磁位求旋度得磁感应强度B。 14VdVR2 Rrr4lId lArr矢量磁位矢量磁位A与电流密度与电流密度矢量矢量 J 同向。同向。 LLzzI21220)(d4ln)ln(222

4、0LLI 例1 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流细导线产生的磁场。)(2ln20LLIALLrzId40解: 定性分析场分布，zAeAeeAB20IAZ磁感应强度长直载流细导线的磁场考虑分界面上 A 的切向和法向连续性a) 围绕 P点作一矩形回路，考虑回路面上的磁通量，则mdSBS当 时, 02L,0d , 0mlAl磁矢位 A 的衔接条件ttAA21(1)有与ttlEE21,0dlE对比3.4.3 矢量磁位的边界条件矢量磁位的边界条件mddSl BSAl一种计算磁通的方法：一种计算磁通的方法：() dSASdlAlb) 围绕 P点作一扁圆柱，则dSAS表明：媒质分界面上磁矢位 A 是连续的

5、。由式(1)、(2) 得21AA 当 时，0L, 0n2n1SASA2n1nAA (2)磁矢位 A 的衔接条件VdVA0由 得KHH2t1tKAAtt)(1)(12211另外，另外，12AAKnAnA221111恒定磁场定解问题描述为：AAe 对于平行平面场，例如矩形截面螺线管线圈产生的 xy平面磁场，其矢量磁位为2 AJ 实际磁场问题变成了求解矢量磁位实际磁场问题变成了求解矢量磁位A 的泊松方程的定解问题。的泊松方程的定解问题。4lId lArr恒定磁场定解问题恒定磁场定解问题OD1D2xyzIaP( , )J00长直载流圆导线的磁场长直载流圆导线的磁场 例3-9 一半径为 a 的带电长直圆

6、柱体，J=Jez ，试求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B 。 解解 如图所示，选圆柱坐标系，则如图所示，选圆柱坐标系，则 JJez，故矢量磁位，故矢量磁位 AAz( ( ) )ez z 仅有仅有z向分量，且由场的对称性可知向分量，且由场的对称性可知 Az z 仅为坐标仅为坐标 的函数，其边值问题为的函数，其边值问题为 211022212120010d1 dddd1 d0dddd110 ,ddzzzzzzzzzAAJaAAaAAAAaA 有限值直接积分两次，得通解直接积分两次，得通解 20112ln4zJACC同理可得同理可得 234lnzACC由定解条件，可解得上述四个待定积分常数为由

7、定解条件，可解得上述四个待定积分常数为 22200012340ln422JaJaJaCCCCa，-，故故 22014zJAaa202ln2zJaaAa由由 BA 得得 001222JIBaa200222JaIBam 标量磁位 A（安培）3.5 标量磁位及其边值问题m3.5.1 磁位 (Definition Magnetic Potential )m安培环路定律：无电流区0HmHlH dml磁位 仅适合于无自由电流区域;m引入一个标量函数引入一个标量函数 ，使得，使得m定义定义: 磁场中两点之间的磁压磁场中两点之间的磁压UmAB：(磁势磁势)mAmBmABU磁路欧姆定律：磁路欧姆定律：mmUR(

8、)0 存在矢量运算恒等式：Ni在直角坐标系中02m22m22m2m2zyx2. 分界面上的衔接条件由2n1n2t1tBBHHnn2m21m12m1m0m2（仅适用于无电流区域）1. 微分方程m0HH0Bmm)(mH003.5.2 磁位 的边值问题m定解问题定解问题各向同性各向同性 求解恒定磁场问题，归结为求解满足给定边值条件的求解恒定磁场问题，归结为求解满足给定边值条件的泊松方程或拉普拉斯方程问题。泊松方程或拉普拉斯方程问题。 矢量磁位矢量磁位 A 、标量磁位、标量磁位 m 与电位与电位 的比较的比较3.6 3.6 镜像法镜像法( (唯一性定理唯一性定理) )联立求解，得联立求解，得IIII1

9、2112122 ,21ttHH IIIsinr2Isinr2Isinr2I 由由 得得由由 得得I)II (cosr2Icosr2Icosr2I21211 n2n1BB 例例 3-6-1 3-6-1 图示一载流导体图示一载流导体 I 置于磁导率为置于磁导率为 的无限大导板上方的无限大导板上方 h 处，为求媒质处，为求媒质1 1与媒质与媒质2 2中的中的 B 与与 H 的分布，试确定镜像电流的大小与位置？的分布，试确定镜像电流的大小与位置？2解解: : 根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定 与与 。II 图图3-21

10、 3-21 两种不同磁介质的镜像两种不同磁介质的镜像 例例3.6 3.6 空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流 I 位于空气位于空气 中，试求磁场分布。中，试求磁场分布。0空气中空气中)rIrI(2221101eeB铁磁中铁磁中22220020222()2IBHrIIrr 空气中空气中 B 线垂直于铁磁平板，表线垂直于铁磁平板，表明铁磁平板表面是等磁位面。明铁磁平板表面是等磁位面。镜像电流镜像电流解：解：图图3.6.2 3.6.2 线电流线电流 I I 位于无限大铁板上方的镜像位于无限大铁板上方的镜像 220 2002II0022III02220BH12

11、0ttHHBI3.7 3.7 电电 感感NSd BS磁通：磁通：磁链：磁链：与与电流电流回路回路铰链铰链的的磁通磁通总和。总和。1.根据产生磁链的回路情况分：根据产生磁链的回路情况分：内磁链内磁链：磁力线穿过电流导体内部，：磁力线穿过电流导体内部，与导体的部分电流交链的磁通。与导体的部分电流交链的磁通。外磁链外磁链：磁力线不穿过电流导体，与：磁力线不穿过电流导体，与导体的全部电流交链的磁通。导体的全部电流交链的磁通。2.根据产生磁链的电流情况分：根据产生磁链的电流情况分：自感磁链自感磁链：由回路电流自身产生磁通；：由回路电流自身产生磁通；互感磁链互感磁链：由其他回路电流耦合到当前回路的磁通。：

12、由其他回路电流耦合到当前回路的磁通。3.7 .1 自感（自感（Self-Inductance）在线性媒质中，电流回路的自感磁链与其回路电流的比值为自感。H（亨利）IL L = 内自感 Li + 外自感 L0求自感的一般步骤：求自感的一般步骤：设),(0iLLLIBHAio内外磁链之和内外磁链之和导线回路内自感远小于外自感，可忽略。导线回路内自感远小于外自感，可忽略。自感磁链3.7.2 互感互感（Mutual Inductance）互感它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。互感它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。计算互感的一般步骤：设 d 22121111sSB BHI12

13、121 IMA21M可以证明21212IM,12121IM12121 IMH（亨利）互感磁链在线性媒质中，电流回路之间的互感磁链与产生互感磁链回路电流的比值为互感。3.7.3 诺依曼公式（Neumanns Formula）求两导线回路的互感 互感 21122112121dd4lloMRIMll设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为1110d4lRIlA穿过回路 2 的磁通为 212110d)d(4llRIll21SdBS两个细导线电流回路(由磁失位计算电感的一般表达式)22dlAl3.8.1 恒定磁场中的能量恒定磁场中的能量3.8 磁场能量与力磁场能量与力磁场来源于电流，磁场能量的

14、存储过程，就是电流建立的过程。磁场来源于电流，磁场能量的存储过程，就是电流建立的过程。diuLiRdt2000tItiudtLidii Rdt电源发出电源发出 的总功的总功电源反抗电源反抗自感的功自感的功电阻上的电阻上的 损耗热损耗热uKRL2diiuLii Rdt通电线圈中的磁能通电线圈中的磁能若忽略能量损失，则电源若忽略能量损失，则电源做功全部转化为磁场储能。做功全部转化为磁场储能。0tdWiudt注意：电源发出总功为注意：电源发出总功为0tdidtiddt21111122nnnmkkijijkijWL IM I I112nkkkI对于对于 n 个电流回路组成的系统，磁场能量的表达式为：个

15、电流回路组成的系统，磁场能量的表达式为：自有能互有能212mWLI 电源反抗自感作功过程，也是线圈中磁场的建立的过程。电源反抗自感作功过程，也是线圈中磁场的建立的过程。可见，电源克服自感电动势所作的功，就转化为线圈可见，电源克服自感电动势所作的功，就转化为线圈 L中的中的磁能磁能:是回路单独存在时的能量，称为自有能量。是回路单独存在时的能量，称为自有能量。212kkL IMijIiIj 与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。LI1

16、2mWILIMI(磁场能量磁场能量=1/2电源做功电源做功)由矢量恒等式由矢量恒等式AHHAAH)(3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度磁场能量的分布及磁能密度knkkIW1m21nkkVVk1 d21JASVd21HAlA d211nklkkIn得得VVWVVd21d )(21mBHAH0SVVBHSAHd21d)(21第一项为第一项为 02d,1,1rSrr2AH由于由于r所以所以时，时，kkkSlddBSAlJHBAkI ddVl = Jm1d2VWVH B J（焦耳）（焦耳）磁能密度磁能密度m12mWwVH B3mJ磁场能量是以场密度形式储存在空间中。磁场能量是以场密度形式储存在空间中

17、。空间存储的磁场能量为：空间存储的磁场能量为：221122BH 单位体积内的单位体积内的能量密度能量密度即为即为力密度力密度。212Bf磁力密度（磁力密度（磁压磁压）解: 由安培环路定律121022210222dlHdlH1220ln414lI自感1202mln4122lIWL 例 3.8.1 试求长度为 l , 通有电流 I 的同轴电缆储存的磁场能量与自感。磁能VWVd21mBHVVH d21201211022eeHII2122eHI同轴电缆截面1. 安培力安培力BlFlId解解: : 定性分析场分布定性分析场分布B 板的磁场板的磁场)(20yaIeBA A 板受力板受力SSBKFd)(2)

18、(d00yazaIybaIee)(220 xabIe例例3.8.2 试求载流导板间的相互作用力。试求载流导板间的相互作用力。两平行导板间的磁力两平行导板间的磁力3.8.3 磁场力磁场力 ( Magnetic Field Force )dIdFlB2. 2. 虚位移法虚位移法电源提供的能量电源提供的能量 = = 磁场能量的增量磁场能量的增量 + + 磁场力所做的功磁场力所做的功1 1） 常电流系统常电流系统 外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提供磁场力作功。供磁场力作功。constmddkIWgf n 个载流回路中，个载流回路中， 当仅有一个广义坐标发生位移当仅有一个广义坐标发生位移dg ，系统的功能守恒是，系统的功能守恒是广义力广义力constmkIgWfgfIInkkkknkkd)21(d)(d11即即WI12mWIfWfg2 2） 常磁链系统常磁链系统constmddkWgf 磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供克服感应电动势的能量克服感应电动势的能量广义力广义力constmkgWf取两个回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁能，便可取两个回