积化和差和差化积专题(精选)

1、积化和差、和差化积专题三角函数的积化和差公式： 夕二!回11（4+月）+£1（值一历一cos G sinp- ysin（cr+ p） £in（ar-历一户二闰/5）.其中前两sin csin 户= cos(£f-l-m-cos(oj-()积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得sin a;cos 6= sm（£r+ 5） +sintai-户）.个公式可合并为一个：.二'三角函数的和差化积公式：sm <T + sinsm sin0。旧+8切=233四2a- fl2cos Q cos 4 = 2 sina;+#Bill

2、22和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是:a+§ a-B其中前两个公式可合并为一个：sin段+ sin* =2 sin ? cos 2积化和差公式的推导用了 “解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了 “换元”思 想.只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积合一变形也是一种和差化积 .三角函数的和差化积， 可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用 .积化和差与积差化积是一种挛生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意

3、两者的交替使用.如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降哥公式，然后应用和差化 积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.典型例题:例1 .把下列各式化为和或差的形式:(2) sin6! cos3 &(l)2cos(Od-45" )Stig+45“ j例 2.求值：sin6° sin42 ° sin66° sin78°求证27r4t6

4、7rcos - + cos + cos - -例3.例4.求值：cos24° sin6° cos72°例5.求 tan20 ° + 4sin20 ° 的值.2加 5。口+而 初口。+ 为60口tml 00)求值:Jl + sinlO。34 11 £111例 7.已知 sin(A+B尸 5 , sin(A-B尸-),求值： 42A Gin'3 B coe1 A例 8.求 sin 220° +cos280° + 后 sin20cos80° 的值.例 9.试证：cos2(A- 0 )+cos 2(B -

5、 0 )-2cos(A-B)cos(A- 0 )cos(B- )的值与 0 无关.专题训练、基础过关一.兀，八ur ， ，一j-函数 y= cos x+ cos x + - 的取大值是32.3.4.A. 2B. 3 1 + sin 4 a- cos 4 民人入“m 口 化简1+sin4a+ cos 4的结果是A. cot 2aB. tan 2aC.cot aD. tan a1cos( a+ 9cos( a就=3，贝U cos2 a- sin2 3 等于sin 20B.cos 70 * cos 40 cos 80 的值为9.cos2 a cos acos(60 4 o)+ sin2(30 a)的

6、值为()5.d.q36.给出下列关系式:1 A.4sin 35 - sin 25 士口 cos 35 二 cos 25 的值是 sin 5 0+ sin 3 0= 2sin 8 0cos 2 0; cos 3 0 cos 5 0= 2sin 4 Osin 0;1 sin 3 0 sin 5 9= 一 2cos 4 (cos 0; sin 5 0+ cos 3 0= 2sin 4 (cos 华1 sin xsin y= 2cos(x y) cos(x+ y).其中正确的序号是7.化简:sin 40 1 + 2cos 402cos240 + cos 40 18.在 ABC中,求证： sin A+s

7、in B + sin C, A= 4cos 2 cosB C2cos 2.二、能力提升1 A.23B.23C.41 D.410.已知cos2 a cos2 3= m, 那么 sin( a+ 就 sin(a3) =11.化简:tan 20 平 4sin 20 . °12.已知C 1cos a cos 3= 2，sin sin求sin( a+ 3的值.三、探究与拓展13.已知 ABC的三个内角 A, B,满足:A+C=2B,揶 + 就=求cos cos BA - Cm /古21的值.专题训练二A.sin(A+ B)+ sin(A B) = 2sinAcosBB.sin(A+ B) sin

8、(A B) = 2cosAsin BC.cos(A+ B)+ cos(A B) = 2cosAcosBD .cos(A+ B) cos(A B)= 2sinAcosB2. sin15 sin75 =()11AB-A.841 c.2D. 13.A.sin105 a sin15 等于()-3-2B. 2L6C. 26D.44. sin37.5 cos7.5 =.1. sin70 cos20 - sin10 sin50 的值为(3口 3A.4B.万)1C.23D7cos72 - cos36 的值为(2.)1.下列等式错误的是（）A.3- 2 .31B.2-1C. -23.在 ABC 中，若 sinA

9、sinBcos2C,则4 ABC是(A.等边三角形4.函数 y= sinB.等腰三角形（x g）cosx的最大值为（C.不等边三角形D.直角三角形1 A.21B.4C.D.5.A.若 cos( a+ gos( a2一31P)=" 则 cos2 a- sin20 等于(36.A.-1B.-31 C.32D.3函数 y=sin(x + -)-sinx(x 0 , 13-2,2B. -2,%的值域是（C.2 17 . cos275°+ cos215°+ cos75 0cos15 的值等于 .8 .已知 kA §，且 c°sa+ cos 3= 3,则

10、cos(a+ 等于/ 花、 /2 TR 口 L9 .函数y= cos(x+w)cos(x+9)的取大值是sinA+ 2sin3A+ sin5Asin3A+ 2sin5A+sin7A10 .化简下列各式：cosA+ cos 120 ° + B + cos 120 ° B .(1)sinB + sin 120 +A -sin 120 -A，11 .在AABC中，若B = 30°,求cosAsinC的取值范围.51 sin2x12 .已知 f(x) = 2十-x (0,无)2 2sinx将f(x)表示成cosx的多项式；(2)求f(x)的最小值.答案1解析：选D.由两角

11、和与差的正、余弦公式展开左边可知A、B、C正确.1.1.1112 解析：选 B.sin15 sin75 =-2cos(15 斗 75 )-cos(15 = 75 ) = 5(cos90 ' cos60 ) = (05) = 4.位105+15°105-15° c.。 m3解析:选 C.sin105 斗 sin15 =2sin2cos2=2sin60 cos45 =上.J2+11 J2 1 收+11答案： 4 = 2 2 +2 =4 . = 2(sin45 斗sin30 )1 4 解析：sin37.5 cos7.5 = Jsin(37.5 + 7.5 )+sin(37

12、.5 - 7.5 )10. 10.5 解析：选 A.sin70 cos20 sin10 sin50 =(sin90 斗 sin50 ) +-(cos60 - cos40 )1 1113= -+-sin50 +- -cos40 =-. 2 24 246 解析： 选 C.原式= 2sin72 展 36 sin72 ? 36 = 2sin54 ° sin18 = 2cos360cos72°c sin36 cos36 cos72 ° sin72 cos72 ° sin144 °1 花、用 _= -2；sin36- - sin36。= 2s禧亍5,故选

13、C.117 斛析：选 B.由已知等式得 cos(A B) cos(A+ B) = (1 + cosC),又 A+B= k C.所以 cos(A-B)-cos( lC) = 1 + cosC.所以cos(A-B)= 1,又一nt A-B<%,所以A- B=0,所以A=B,故 ABC为等腰三角形.故选 B.8 解析：选 B.y=sin(x-6)cosx = 2 sin x 萨 x+sin(x6c x)1r . c 卫 1.1/ c 卫、1111= 2sin2x6 2=，sin(2x-6)-4."= £-4=4.9 解析：选 C.cos( a+ gos( a 0)= 1(c

14、os2 a+ cos2 41=2(2cos2 a 1)+(1 2sin2 阴= cos2a sin2 3:cos2 a- sin2 p= 1.310 解析：选 B.y= sin(x+3t) - sinx= 2cos(x+6)sin6/,兀= cos(x+ 6).xe 0 2:60 x+ 6 -3-,.二 13一"2y 2 .11 解析：y = sin215 ° + cos215 ° + cos75 ° cos15 °5答案：5,1.51 + 2(cos90 + cos60 )=4.一". _«+ 3 a12 解析：cos a

15、+ cos 3= 2cos-2cos2'c _无=2cos3cosa+ B:cos( a+ B)= 2cos202 11=2x11979.答案: tx+ B 1 =cos-79111 cos2x 十2(11 八4-2cos2x,14解：（1）原式=cosA+ 2cos120 cosBcosA cosBsinB+ 2cos120 sinA sinB - sinAA+ B B-A 2sin-2- sin-2- =tanA+ BB-A2cos 2 sin-2-A+ B'1,无、13斛析：y = 2 cos 2x+ it + cos(_3)3答案:因为一10cos2xW1,所以 ymax=4.、sinA+ sin5A - 2sin3A(2)原式=sin3A+sin7A +2sin5A2sin3Acos2A + 2sin3A=2sin5Acos2A + 2sin5A2sin3A cos2A + 1sin3A2sin5A cos2A + 1sin5A.15解：由题意得.一 1 .cosAsinC= 2【sin(A+ C) sin(A C)1八= 2sin( fB)-sin(A-C)11