年高考第一轮复习数学直线的方程

1、年高考第一轮复习数学直线的方程TTA StandardiZatiOn OffiCe TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C第七章 直线和圆的方程网络体系总览考点目标定位(1) 理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式掌握直线方程的点 斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程(2) 掌握两条直线平行与垂直的条件、两条直线所成的角和点到直线的距离公 式，能够根据直线的方程判断两条直线的关系(3) 了解二元一次不等式表示平面区域(4) 了解线性规划的意义，并会简单的应用.(5) 了解解析几何的基本思想，了解坐标法.(6) 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，

2、理解圆的参数方程.复习方略指南1 本章在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程基本概念重点考查：(1)与直线方程 特征值(主要指斜率、截距)有关的问题；(2)直线的平行和垂直的条件；(3)与 距离有关的问题等此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现，每年必 考中心对称与轴对称问题虽然在考试大纲中没有提及，但也是高考的重点，复习 时也应很好地掌握.2. 直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题的难度较大，一般以解答题形式 出现(此类问题下一章重点复习)3. 由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数 问题往往借助直线方程进行解决，考查学生

3、的综合能力及创新能力.在复习本章时要注意如下几点:1要能分辨线段的有向与无向概念上的混淆，有向线段的数量与有向线段长度的 混淆，能否分清这两点是学好有向线段的关键.2.在解答有关直线的问题时，要注意（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要 注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；（2）在利用直线的截距式解题时，要注 意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题 时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解；（4）要灵活运用定比分点公式、中点 坐标公式，在解决有关分割问题、对称问题时可以简化运算；（5）学握对称问题的四 种基本类型的解法；（6）在由两直线的位置关系确定有

4、关参数的值或其范围时，要充 分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法.直线的方程知识梳理1直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时 针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角当直线和X轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0。.可见，直线倾斜角的取值范围是0° Mav 180° .（2）直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表 示，即 k=tana （790o ）.倾斜角是90。的直线没有斜率；倾斜角不是9

5、0。的直线都有斜率，其取值范围 是（一00, +）（3）直线的方向向量 设Fl (xi9 y)、F2 (Xly y)是直线上不同的两点，则向量斤可=(Xx, y y)称为直线的方向向量向量一1乔7= (1, 亠21)=(1, k)也是该直线的方X2 -XIX2 - X向向量，k是直线的斜率(4) 求直线斜率的方法 定义法：已知直线的倾斜角为,且90c ,则斜率A=tan 公式法：已知直线过两点PI Ui,屮)、Pl(X2, >'2),且-iX2,则斜率 方向向量法：若“二(Inf H)为直线的方向向量，则直线的斜率k=-.In平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直

6、线都有斜率斜率的图象如下图.对于直线上任意两点Pl(XI,儿)、Pl(X2, y2),当A-I=A-2 W,直线斜率k不存 在，倾斜角a=90。；当x1x2时，直线斜率存在，是一实数，并且时，Cl =arctanZ;, RVo 时，<7=+arctanZ;.2.直线方程的五种形式(1) 斜截式：)=d+b(2) 点斜式：y-yo=k (xxo).(3) 两点式：亠二>*2 - >'1 兀2 - “(4) 截距式：- + = l.a b(5) 一般式：A+Bv+C=0.点击双基1 直线lan y +v=0的倾斜角是答案：D2过两点（一1,1）和（3, 9）的直线在X轴上

7、的截距是322A. -B.-C.-235解析：求出过（一1,1）、（3, 9）两点的直线方程，令.v=0即得.答案：A3直线-cos（7+ 3y + 2 = 0的倾斜角范围是A JT 兀 I I /兀= 兀 1A" I） U（T1B. 0, 1 U 孚，）OO'6 ' SrC. 0,算解析：设直线的倾斜角为0,答案：B4. 直线）=1与直线y=3x+3的夹角为解法一：A： ）=1与/2： y=3x+3的斜率分别为Ari=O, 2=3.两直线的夹角公式 得tan* I客工I =3,所以两直线的夹角为60° .1 + 12解法二：/1与/2表示的图象为（如下图所

8、示）=1与X轴平行，尸Ly+3与X轴倾 斜角为60° ,所以）=1与y=3x+3的夹角为60°答案：60°5下列四个命题：经过定点PO (xo, yo)的直线都可以用方程yyo=k (X-A-O)表示；经过任意两个不同的点Pl Ui, N)、Pl (X2, y)的直线都可以用方程(X1-Xi) (-x1) = (y2-') (y-y)表示；不经过原点的直线都可以用方程- + =1a b表示；经过定点A (0, b)的直线都可以用方程.v=6+b表示其中真命题的个数是解析：对命题，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题，当直线平行 于一条坐标轴时

9、，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线只有 正确.答案：B典例剖析【例1】已知ZXABC的三个顶点是A (3, 4)、B (0, 3)、C (-6, 0),求 它的三条边所在的直线方程剖析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种 形式使用时，应根据题目所给的条件怡当选择某种形式，使得解法简便由顶点B与C 的坐标可知点B在)，轴上，点C在-轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表 示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜 式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式解：如下图，因AABC的顶点B与C的坐标分别为(

10、0, 3)和(一6, 0),故B 点在J轴上，C点在X轴上，即直线BC在X轴上的截距为一6,在y轴上的截距为3, 利用截距式，直线3C的方程为+ = 1,一 63化为一般式为X2y+6=0.由于B点的坐标为(0, 3),故直线在y轴上的截距为3,利用斜截式，得直线AB的方程为尸也+3.又由顶点A (3, -4)在其上，所以4=3k+3.故k=-L于是直线AB的方程为)=l+3,化为一般式为7x+3y-9=0.由 A (3, 一4)、C (-6, 0),得直线AC的斜率kAC=三兰?二一专利用点斜式得直线AC的方程为4,-=- (x+6),化为一般式为4x+9y+24=0.也可用两点式，得直线A

11、C的方程为y_0 _x_(-6)-4-03-(-6),再化简即可.评述：本题考查了求直线方程的基本方法.【例2】已知两直线6A+y+l=0和呼+九屮二0的交点为P (2, 3),求过两点Ql (a,仞)、Ql (a29 bi) (aa2)的直线方程.剖析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解:TP (2, 3)在已知直线上，2。2+3 方 2+1=0.2 (CIlH2) +3 (bZ?2) =0> 即所求直线方程为y-=- (X-«1).2x+3y- (2a+3b) =0,即 2x+3y+1 =0.评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.思考讨论.彼.斎離二置萨磁葆殳看

12、.满蘇罰提示：由厂 2+3+l=O,22÷3½+1=0j知 0、0在直线 2x+3y+l=0±.【例3】一条直线经过点P （3, 2）,并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）与八y轴的正半轴交于. B两点，且MOB的面积最小（O为坐标原剖析：（2）将面积看作截距小b的函数，求函数的最小值即可.解：（1）设所求直线倾斜角为&已知直线的倾斜角为4则O=Ia,且tan=从而方程为8x-15y+6=O.设直线方程为尹侶1, COM>0,代入P（3, 2） , W + = l方程为 2x+3y- 12=0评述

13、：此题（2）也可以转化成关于"或b的一元函数后再求其最小值.深化拓展若求I加 IPB及IoAl+IOB啲最小值，又该怎么解呢?提示：可类似第（2）问求解闯关训练夯实基础1直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1,那么斤的范围是-I1C.-lk 1 且心0-l 或 k>解析：令r=0,得）7;令）=0,得x=-2k.:.三角形面积S=* I ）' I =k2.又 Sl,即 Ql,. 1 k 1 又TSO时不合题意，故选C答案：C2. （2004年湖南，2）设直线ax+by+c=O的倾斜角为,且Sina+cos<=0,则°、b满足+b= 1

14、-b=+h=0 b=0解析：0° a< 180c ,又 Sina+cos<7=0, *135° , .a-b=O.答案:D3（2004年春季北京）直线X- 3 w=0 （Cl为实常数）的倾斜角的大小是解析:即tan生過.二 <7=303答案：30o4. （2005年北京东城区目标检测）已知直线h: x-2y+3=0,那么直线h的方向向 量S为 （注：只需写出一个正确答案即可）；b过点（1,1）,并且/2的方向向量"2与“I满足a «2=0,则/2的方程为解析：由方向向量定义即得4为（2, 1）或（1, 1）.a «2=0,即

15、a 丄“2.也就是h丄即, k=- 1.再由点斜式可得/2的方程为2x+y-3=0.答案：（2, 1）或（1, 1）2x+y-3=05已知直线/的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为J乔，求直线/的方程. 解法一：设所求直线/的方程为）=+b.k=6, .方程为 y=6x+b令,=0, .）=b,与y轴的交点为（0, /）;令）=0, .=与X轴的交点为（一?，0） 6 6根据勾股定理得（一 ?）2 + 72 = 37,O°b = ±6.因此直线/的方程为v=6a ±6.解法二：设所求直线为- = l,则与X轴、轴的交点分别为仪,0）、（0,/?） 由勾股定理知

16、cr+ h2 = 37.又 k=-=6fa2 + b2 = 37tT,"=1,h= 6 h = 6.因此所求直线/的方程为X+- = 1或一.v+y = l,即x-y±6 = 0.一 6O6在ZXABC中，已知点A (5, 2)、B (7, 3),且边AC的中点M在y轴上， 边3C的中点N在轴上.(1) 求点C的坐标；(2) 求直线MN的方程.解：设点C (Xf y),由题意得=0, 斗=O,得心一5,尸一3故所求 点C的坐标是(一5, -3).(2)点M的坐标是(O, -|),点N的坐标是(1, 0),直线MN的方程是 y_0 _x_lZTT 丙，2即 5x-2y-5=0

17、培养能力7某房地产公司要在荒地ABCDE (如下图)上划出一块长方形地面(不改变方 位)建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.(精确到1 m2)解：如下图，在线段ABAL任取一点P,分别向CD. DE作垂线划得一块长方形土地，建立如下图所示的直角坐标系，则 AB的方程为話命=1.设P (Xf 20-),则长方形面积S= (IOO-X) 80- (202-x) (0x30)3化简得 S=-+-x+6000 (0x30).33配方，易得仁5,)=弓时，S最大，其最大值为6017 m2.J& (文)已知点P (1, -1),直线/的方程为2x-2y+l=0.

18、经过点P,且倾斜角为直线/的倾斜角一半的直线方程.a解：设直线/的倾斜角为,则所求直线的倾斜角为亍，由已知直线/的斜率为tan&2 tan*宁及公式tan<7=,得21-Ian2-2aatan2y +22 tay 1=0.aa解得 tany = 3 - 41 或 tany = - 3 - 2 &/7aa由于 tan<7= J 而 0<<l J 故 0<c- J 0<y < .因此 tan>0.2248a L于是所求直线的斜率为=tan y = 3 2 .故所求的直线方程为y ( 1) = (3-2)(A-I),即(Vi "

19、;) X y (y3 yl+) =O (理)设直线/的方程是2x+By-l=0,倾斜角为(1) 试将表示为B的函数；若：V v M ,试求B的取值范围；63(3) 若3 (-, -2) U (1, +),求的取值范围.解：(1)若3=0,则直线/的方程是2x-l=0, An=；71若BHO,则方程即为y=-+-,D D.当 BVO 时，-2 一 2->0, earctan (),BB而当3>0时，-22-<0, <=+arctan ( ) J BB日m (r arctan (BVO) J By(B=O),2 arctan (B>0)若=-,贝IJ tan<

20、Vi 或 tan> ,23即一Zv 5 (>0)或一2 = > 竺(BVo),BB 3-2、庁 <B<00<B<- 3 3综上，知一23 <B<3.(3) 若BV2,则-4<1,D.0<tan< 1, 0<< ;42若 则"A-2,D.0>tan<7> 2, arctan2< a<.综上，知-arctan2< V或 OV a< .4探究创新9某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方

21、向的公路上选取A. B两 点，使环城公路在A、B间为线段，要求AB环城路段与中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离SBI最小，请你确定4、B两点的最佳位置（不要求作近似计算）解：以O为原点，正东方向为X轴的正半轴，正北方向为$轴的正半轴，建立如 下图所示的坐标系.设A (-a9 0, B (b, b)(其中 a>09 b>0), 则AB的方程为尸!二户b_0 b+a即 bx (a+b) y+ab=OVlO=abyb2 +( + b)2.2=100 (a2+2b2+2ab)100 (2<2 272 +2ab)=200 (l+2 ) ah.Wb>09200 (2+1)

22、当且仅当ua2=2b2"时等号成立,WHBl=+ a)2+b2 = ,AIA51 20 (+1)a2=2b29ab= 10 2b2 + Cr + 2ab ,= 102(2 + 2),7=102 + 2Rd-Id RWI此时IOAl*lj2(2 + ),IOBl=IO 2(2 + 2),久B两点的最佳位置是离市中心O均为102(2 + 2) km处思悟小结直线的倾斜角斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应 正确理解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练学握，这五种形式的方程表示的 直线各有适用范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程问题用数形结合法常 常简捷些.教师下载中心教学点睛1. 注意斜率和倾斜角的区别，让学生了解