刚体的平面运动 解释瞬心3

1、第十章刚体的平面运动研究内容1.刚体平面运动的特性2.刚体平面运动各点速度的计算10.1平面运动的概念平面运动的概念1.刚体平面运动刚体平面运动:刚体内各点分别保持在与某一刚体内各点分别保持在与某一 固定平面平行的平面内运动固定平面平行的平面内运动A1A2Sa固定平面固定平面如图如图:S 为刚体上任一平行于为刚体上任一平行于固定平面固定平面的平面的平面,A1A2 为任一垂直于固定为任一垂直于固定平面平面的直线的直线,并交并交S于于a点点根据平面运动的定义根据平面运动的定义:S平动平动 A1A2平动平动 A1A2上各点运动情况上各点运动情况相同相同.所以所以S上上a点代表点代表A1A2上各点运动

2、上各点运动平面平面S上各点上各点代表整个刚体的运动代表整个刚体的运动2.2.刚体的平面运动可以简化为刚体的平面运动可以简化为: : 平面图形平面图形S S在其所在其所 在平面内的运动在平面内的运动( (即即: :只要知道了平面图形只要知道了平面图形 S S的运动的运动, ,就可以知道整个就可以知道整个 刚体的运动刚体的运动) )10.2平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动1.刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程如图如图:由平面图形上任一由平面图形上任一 线段线段OA的位置代的位置代 表平面的位置表平面的位置.其中其中O的位置的位置 xo = f1(t) yo = f2(t)OA的方

3、位的方位 = f3(t)上面方程组共同决定上面方程组共同决定S的位置的位置,称为平面运动方程称为平面运动方程AOXxoyo 代表刚体的代表刚体的平面运动的平面运动的平面图形平面图形YXO例如例如:滚动的车轮如图滚动的车轮如图设设: t=0时时, A与与O重合重合 u车轮的水车轮的水平速度平速度AOYXYXO滚动的车轮的平面滚动的车轮的平面运动方程为运动方程为: xo =ut yo =R = ut/R两种特殊情况两种特殊情况: 为为常数常数 刚体平动刚体平动 xo, yo为常数为常数 刚体定轴转动刚体定轴转动结论结论: 平面运动由两种基本形式平面运动由两种基本形式平动平动; 定轴转动定轴转动.组

4、成组成2.平面运动的分解平面运动的分解概念概念:设平面图形相对于静止设平面图形相对于静止 坐标系坐标系OXY作平面运动作平面运动 取取S上任一点上任一点O为基点为基点,并以基点为原点作并以基点为原点作动坐标系动坐标系OXYYXOYXOA代表刚代表刚体的平体的平面运动面运动的平面的平面图形图形S绝对运动绝对运动:S相对于相对于OXY的运动的运动相对运动相对运动:OA的转动的转动(S相对于动相对于动 坐标系坐标系OXY的运动的运动) 牵连运动牵连运动:动坐标系动坐标系OXY 相对于相对于OXY的运动的运动结论结论:平面图形的运动平面图形的运动(绝对运动绝对运动)分解为分解为:随基点的平动随基点的平

5、动 + 绕基点的转动绕基点的转动 (牵连运动牵连运动) (相对运动相对运动) 基点的选择基点的选择如图如图:经经时间时间,S从从位置运动到位置运动到.平动部分平动部分的运动以基点代表的运动以基点代表 A,B运动规律不同运动规律不同.即选择即选择不不 同的点同的点为基点为基点,平动规律不同平动规律不同.转动部分转动部分.可以证明可以证明: 不论以那一点为基点不论以那一点为基点,都都有有 相同的角位移相同的角位移,角速度角速度,角加速度角加速度 1 = 2 d1/dt =d 2/dt lim ( 1)/t = lim ( 2)/t 1 = 2 t0 t0 1 = 2 1 2YOXABABB1A1S

6、10.3平面运动时平面图形上各平面运动时平面图形上各点的速度点的速度1.基点法基点法:(已知已知:基点的速度基点的速度,平面图形的角速度平面图形的角速度 求求: 平面图形上任一点的速度平面图形上任一点的速度) VAYXABVBAVAVB如图如图:已知基点已知基点A 的速度的速度VA AB 绕绕A旋转的角速度旋转的角速度 求求:任一点的速度任一点的速度VB动点动点: B: B点点; ;动坐标系动坐标系: :固结在固结在A A点的坐标系点的坐标系; ;静坐标系静坐标系: :OXYOXY由运动合成的规律由运动合成的规律:V绝对绝对 = V相对相对 + V牵连牵连得得:平面图形任意两点速度之间的关系平

7、面图形任意两点速度之间的关系 VB = VBA + VA V绝对绝对 V相对相对 V牵连牵连2.速度投影定理速度投影定理(平面图形上任意两平面图形上任意两点速度之间的关系点速度之间的关系)将关系式将关系式 VB = VBA + VA 两端两端 各量分别投影各量分别投影在在ABAB连线上连线上 有有:(VB)AB = (VBA )AB + (VA )AB(VB)AB = (VA )AB即即: 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上平面图形上任意两点的速度在该两点连线上 的投影相等的投影相等 速度投影定理速度投影定理 VAABVBAVAVB(VA )AB(VB)AB应用应用: 两点的速度大小两点的

8、速度大小,方向共四个量方向共四个量 已知三个已知三个,可求第四个可求第四个. :椭圆规尺的椭圆规尺的A端以速度端以速度VA沿着沿着X轴的负向运轴的负向运动如图动如图,AB=L.试求试求B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度的角速度.解解:由速度合成定理由速度合成定理: VB = VBA + VA 其中其中: 已知已知VA 的大小和方向的大小和方向, VB 的方向的方向 VBA的方向垂直的方向垂直AB作速度矢量图作速度矢量图,由此求得由此求得:VB = VActg VBA = VA /sin AB = VA /sin = VA /Lsin VAVAVBVBAYXOAB例例10.1 .如图如图

9、:曲柄连杆机构曲柄连杆机构,已知曲柄已知曲柄OA长长R=30,并以并以 =5/3 rad/s 作逆时针转动作逆时针转动.求曲柄和连杆相互求曲柄和连杆相互垂直时滑块垂直时滑块B的速度的速度.解解:基点法基点法. 先确定先确定A点的速度点的速度: VA=R 5/3 =157 cm/s再以连杆再以连杆AB作为研究对象作为研究对象,选连杆上的选连杆上的A点作为基点点作为基点可以求出可以求出B点的速度点的速度:VB = VBA + VA根据图中矢量关系得根据图中矢量关系得:VB = VA /cos15 =163cm/s方向水平向左方向水平向左VAVAVBVBAOAB7515速度投影法速度投影法:已知已知

10、VA的速度大小方向的速度大小方向 VB的速度方向的速度方向 由速度投影定理由速度投影定理: (VA ) AB = (VB ) AB VB = VA / cos15 = 163cm/s 两种方法结果相同两种方法结果相同例例10.2 已知已知AB杆长为杆长为L，在图面内沿固定，在图面内沿固定面下滑，当杆与水平面夹角面下滑，当杆与水平面夹角60时，时，A点点速度为速度为V，水平向右，如图所示。求，水平向右，如图所示。求B端的速端的速度及度及AB杆的角速度。杆的角速度。 解解 (1)运动分析运动分析 杆杆AB作平面作平面运动，杆上运动，杆上A点的点的运动为已知，因此，运动为已知，因此，选取作平面运动的

11、选取作平面运动的AB杆为研究对象，杆为研究对象，取运动已知的取运动已知的A点点为基点，则有为基点，则有:例例10.3 VB =VA + VBA其中其中VA的大小的大小和方向为已知；和方向为已知； 解解 (1)运动分析运动分析选取作平面运动的选取作平面运动的AB杆为研究对象，取杆为研究对象，取A点为基点为基点，则有点，则有:VB的大小未知，其方的大小未知，其方向为已知的铅垂方向向为已知的铅垂方向,VBA的大小未知，其方的大小未知，其方向向VBAAB因此速度因此速度合成公式中只有合成公式中只有VB和和VBA的小未知，即的小未知，即: VBA(2)求解求解1基点法基点法(几何法几何法)作速度矢量三角

12、形作速度矢量三角形(图图)，利用边角关系，利用边角关系 VBA(2)求解求解1基点法基点法(几何法几何法)作速度矢量三角形作速度矢量三角形(图图)，利用边角关系，利用边角关系VBAVBVA VBA 3应用速度投影定理应用速度投影定理 以上应用不同方法，求得以上应用不同方法，求得结果完全相同，结果完全相同，VB及。及。AB都是图示位置时的瞬都是图示位置时的瞬时值，应注意，速度投影时值，应注意，速度投影定理中不包含相对速度定理中不包含相对速度VBA所以不能用它来计算所以不能用它来计算AB杆杆的角速度。的角速度。 VBA10.4 速度瞬心速度瞬心1.瞬心的概念瞬心的概念:如图如图:已知图形中已知图形

13、中A点的速度点的速度,图形角速度图形角速度.现将半直线现将半直线L沿沿转向转向9090, ,得半直线得半直线LL, ,在在LL上取一点上取一点C C, ,满足满足VCA = CA= VA 则则: :C C点的绝对速度点的绝对速度: : VC= VCA - VA = 0图形中速度为零的图形中速度为零的C点称为点称为:该瞬时的瞬时速度中心该瞬时的瞬时速度中心,简称瞬心简称瞬心ALLL LC VA VA VCA2.瞬心的特点瞬心的特点确定瞬心确定瞬心C后后,图形内各点的速度等于图形内各点的速度等于 该点绕该点绕C转动的速度转动的速度VM = RMVMRCR:点点M到瞬心到瞬心C的距离的距离: VM与

14、与R成正比成正比;: VM与与R垂直垂直.任一瞬时任一瞬时,只有唯一瞬心只有唯一瞬心; 不同瞬时不同瞬时,有不同的瞬心有不同的瞬心.瞬心可以在图形内瞬心可以在图形内,也可以在图形外也可以在图形外.3.瞬心位置的确定方法瞬心位置的确定方法:运动车轮与轨道的接触点为该瞬时的瞬心运动车轮与轨道的接触点为该瞬时的瞬心由图形中任两点速度方位来求瞬心由图形中任两点速度方位来求瞬心两点速度方位不平行两点速度方位不平行: 从这两点分别作直线与该两点的速度方位垂直从这两点分别作直线与该两点的速度方位垂直这两直线的交点这两直线的交点C就是速度瞬心就是速度瞬心ACVAVBVAVBCABB如果知道其中一点如果知道其中

15、一点(如如A点点)的速度大小和方向的速度大小和方向则可求出图形在该瞬时角速度的大小则可求出图形在该瞬时角速度的大小: =VA/CA 两点速度大小不同两点速度大小不同,但方位平行但方位平行,且与且与AB连线垂直连线垂直: 如图方法可确定瞬心位置如图方法可确定瞬心位置:CVAVBBCVAVBBAA两点速度大小相同两点速度大小相同,方位平行方位平行. 图形各点图形各点 速度相同速度相同,作瞬时平动作瞬时平动,瞬心在无穷远处瞬心在无穷远处:VAVBBAVAVBBA : 试用瞬心法求图中试用瞬心法求图中AB杆的角速度及杆的角速度及 B点的速度点的速度. 解解 (1)研究研究AB杆的平杆的平面运动，求出它

16、的速度面运动，求出它的速度瞬心和角速度。瞬心和角速度。 杆杆AB上上A,B两点的速度两点的速度方向已知，通过方向已知，通过A、B两两点分别作出点分别作出VA和和VB的的垂线，两垂线的交点垂线，两垂线的交点C就是杆就是杆AB的速度瞬心的速度瞬心AB杆的角速度为杆的角速度为:例例10.4VA例例10.5如图所示四连杆机构如图所示四连杆机构OABOl中，中，OA01B=1/2AB，曲柄，曲柄OA的角速度的角速度3(弧度弧度/秒秒)。当。当OA转到与转到与OOl垂直时垂直时OlB正好在正好在OOl的延长线上，求该瞬时的延长线上，求该瞬时AB杆的角速度杆的角速度AB。和曲柄。和曲柄O1B的角的角速度速度

17、1。 解解; 由速度投影定理由速度投影定理 求求B点的速度点的速度:VBcos30=VAcos60VB=(1/3)(3)1/2 VA(VA=O1A= L)VB=(1/3)(3)1/2 L=(3)1/2LBOO1A3060VBVAAB解解:BOO1A用基点法求用基点法求AB杆杆 的角速度的角速度: 3060VBVAABVAVBA以以A点为基点点为基点(动系的动系的原点原点) B为动点为动点.V绝绝=V牵牵+V相相VB=VA+VBA作矢量图可求得作矢量图可求得:VBA = 2 VB = VBA/AB= 2 VB /AB =2(3)1/2L/2L= (3)1/2 弧度弧度/秒秒BOO1A用瞬心法求用

18、瞬心法求OB,AB 的角速度的角速度:作作OB杆上杆上B点的点的 速度矢量图速度矢量图:OBVBBOBO = VB /OB=(3)1/2 L /L = (3)1/2 弧度弧度/秒秒作作AB杆上杆上A,B点的点的 速度矢量图速度矢量图,得瞬心得瞬心O: VBVABAOAB= VB /OB= VA /OA=(3)1/2 弧度弧度/秒秒 .如图滚压机构的滚子沿着水平面作无滑动的滚如图滚压机构的滚子沿着水平面作无滑动的滚动动.曲柄曲柄OA长长15cm,绕绕O轴的角速度轴的角速度为为2 rad/s,滚子滚子的半径的半径R=15cm,求求:当曲柄与水平面的夹角为当曲柄与水平面的夹角为60,且且曲柄与连杆垂

19、直时曲柄与连杆垂直时,滚子的角速度与滚子前进的速度滚子的角速度与滚子前进的速度.解解:曲柄曲柄OA作定轴转动作定轴转动,带动带动 连杆和滚子作平面运动连杆和滚子作平面运动先求先求A点的速度点的速度VAVA = OA = 15 2 = 30 cm/s 现以连杆现以连杆AB 为研究对象为研究对象求连杆求连杆AB运动的瞬心运动的瞬心分别作分别作VA V VB B的垂线的垂线, ,两两垂线的交点垂线的交点CC就是就是ABAB在该在该瞬时的瞬心瞬时的瞬心连杆绕瞬心连杆绕瞬心C转动的角速度转动的角速度 AB= VA /AC由此可得由此可得B B点的速度点的速度 VB = BC AB =BC VA /AC

20、=(30 2)/3 =108.8 cm/s以滚子为研究对象以滚子为研究对象:滚子与地面的接触点滚子与地面的接触点C”就是就是该瞬时滚子的瞬心该瞬时滚子的瞬心,因此滚子因此滚子的角速度的角速度: B = VB / R =108.8/15 =7.25 弧度弧度/ /秒秒 B ABVBVACC”O60AB例例10.6例例10.7 解解 (1)分析各构件的运动分析各构件的运动 主动件曲柄主动件曲柄0A通过铰链连接点通过铰链连接点A，将运，将运动传递给动传递给AB杆，连杆杆，连杆AB又通过铰链又通过铰链B将运将运动传递给筛子动传递给筛子BC。曲柄曲柄OA一一定轴转功一一定轴转功连杆连杆AB平面运动平面运

21、动筛于筛于BC平动。平动。 (2)求连杆求连杆AB的速度瞬心和角速度的速度瞬心和角速度 作作A、B两点速度矢量的垂线，所得交点两点速度矢量的垂线，所得交点CAB就是图示瞬时就是图示瞬时AB杆的速度瞬心。于是，杆杆的速度瞬心。于是，杆AB的角速度的角速度 轮轮O在水平面内滚动而不滑动，轮缘上在水平面内滚动而不滑动，轮缘上有一固定销钉有一固定销钉B，此销钉在摇杆，此销钉在摇杆O1A的槽内滑的槽内滑动并带动摇杆绕动并带动摇杆绕O1轴转动轴转动.已知轮的半径已知轮的半径Ro5m，在图所示位置时，在图所示位置时AO1是轮的切线，轮是轮的切线，轮心的速度心的速度VOo2m/s，摇杆与水平面的交角，摇杆与水

22、平面的交角=60,求摇杆的角速度求摇杆的角速度.VBVeVr例例10.8VBVeVr 解解 (1)机构由轮和摇杆机构由轮和摇杆 O1A组成。组成。轮子作平面运动，轮子作平面运动，摇杆摇杆O1A作定轴转动；作定轴转动；连接点连接点B对摇杆有相对对摇杆有相对滑动。滑动。 (2)求平面运动轮子的求平面运动轮子的 速度瞬心和角速度速度瞬心和角速度. 只滚不滑的轮子速度瞬心为与地面的接触只滚不滑的轮子速度瞬心为与地面的接触 点点C，其角速度为，其角速度为: = Vo / RVBVeVr = Vo / RVB (3)由于由于B点为滑动连接，点为滑动连接，轮与摇杆相互接触的轮与摇杆相互接触的两点的速度不相等

23、，两点的速度不相等，应用点的合成运动的方法分析，应用点的合成运动的方法分析，Va = Ve + VrVa = VBVBVeVr动坐标放在插杆动坐标放在插杆O1A上，则所求摇杆的角上，则所求摇杆的角速度就是牵连运动的速度就是牵连运动的角速度，将速度合成角速度，将速度合成公式向公式向X轴投影得轴投影得Vax = Vex + Vrx-VBcos60= -Ve+0Ve = VB/2 = 0.866Vo摇杆摇杆O1A的角速度为的角速度为:O1A=Ve/O1B=(0.688Vo)/2Rcos30=0.2rad/s10.710.7如图传动机构如图传动机构, ,当当OAOA绕绕O O轴转动时可使圆轮轴转动时可

24、使圆轮绕绕 O O1轴转动轴转动. .其中其中OA=15 OA=15 厘米厘米, ,O O1B=10 B=10 厘米厘米, ,在在图中位置图中位置,= 2,= 2弧度弧度/ /秒秒, ,求圆轮转动的角速度求圆轮转动的角速度. .解解: 求求A点的速度点的速度:VA= OA = 215 = 30 (厘米厘米/秒秒)就刚体就刚体AB 为研究对象为研究对象 由速度投影定理由速度投影定理:VB = VA cos30=15(3)1/2 (厘米厘米/秒秒)6030BO1AOO1圆轮转动的角速度圆轮转动的角速度O1O1 = VB /O1B=1.5 (3)1/2 (弧度弧度/秒秒)VAVB例例10.9解解:

25、求求A点的速度点的速度:VA=OA =825=200 (cm/s) () 以以AB杆为研究对象杆为研究对象,由由A,B的的 速度方位可以确定速度方位可以确定B点为瞬心点为瞬心, 由速度投影定理由速度投影定理,B点速度为零点速度为零.ABCVAVBOABCDE例例10.9解解:OABCDEVAVC 求求C点的速度点的速度 VC = (1/2) VA = 100(cm/s)由于由于C点为点为AB的中点的中点C点速度为点速度为A点速度的一半点速度的一半 求求D点的速度点的速度VD=VCcos60VD=VC (1/2)=50 (cm/s) DE = VD/DE = 50/100 = 1/2 rad/s OABCDEVCVD30 DE 求求DE的角速度的角速度: 以以DE为研究对象为研究对象,E为瞬心为瞬心.机构中作平面运动的构件常见的有滚动机构中作平面运动的构件常见的有滚动轮和连杆两类，它们常是机械运动传送轮和连杆两类，它们常是机械运动传送与转换的与转换的“中间构件中间构件”，有许多较复杂，有许多较复杂的平面机