实变函数测试题与参考答案

1、实变函数试题一，填空题11 .设An=,2,n=1,2川，则hmAn=._nn区2 .(a,b)(-叼+8)，因为存在两个集合之间的映射为'1-ncosx#03 .设E是R.二，判断题.正确的证明，错误的举反例.1.若A,B可测，AuB且A#B,则mA<mB.2.设E为点集，P更E,则P是E的外点.中函数y='x的图形上的点所组成的集合，则0,x=0E：,E°=.4 .若集合E=Rn满足E'uEJUE为集.5 .若旧P)是直线上开集G的一个构成区间，则gP)满足：,.6 .设E使闭区间Ia,b】中的全体无理数集，则mE=.7 .若mEfn(x)/f(x)

2、=0,则说fn(x»在E上.8 .设E仁Rn,x。亡Rn,若，则称是E的聚点.9 .设fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，若V仃>0,有，则称fn(x)在E上依测度收敛于f(x).10 .设fn(x)=f(x),xwE,则三fn(x)的子列fnj(x),使得L'1一3.点集E=,121117,111的闭集.4.任意多个闭集的并集是闭集5.若E仁Rn,满足m*E"'则E为无限集合.三，计算证明题1 .证明：A-(B-C)=(A-B)U(AQC)2 .设M是R3空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心，有理数为半

3、径的球的全体，证明M为可数集.3 .设E=Rn,E-Bi且Bi为可测集，i=1,2|.根据题意，若有m*(Bi-E»0,(itm)，证明e是可测集.jln(1+x3),4.设P是Cantor集，f(x)=彳2x,xPx10,11-P1求(L)f(x)dx.0I.5.设函数f(x)在Cantor集P0中点x上取值为x3,而在P0的余集中长为11了的构成区间上取值为3,572111),求10f(x)dx.16.求极限:!m(R)0n0nx2231nxsin3nxdx实变函数试题解答一填空题1.10,21.12 .(x,y)y=>U<(0,y)|yf03 .闭集.4 .b-a.

4、5 .几乎处处收敛于f(x)或a.e.收敛于f(x).01,6 .对寸6A0,U(x0,6)有(E-%)=0.7 .fn(x)Tf(x)a.e.于E.二判断题1. F.例如，A=(0,1),B=10,1,则AuB且A#B,但mA=mB=1.2. F.例如,0更(0,1)，但0不是(0,1)的外点.3. F.由于E'=00E.4.F.例如，在R1中,Fn1,1,I-，1-,n=3,4|是一系列的闭集，但是IIIQ0|JFn=9不是闭集.n3B-E二Bj-E,故*0mmB-EmmB,-E,A_一*_一一一，.令|Tg，得到m(B-E)=0,故B-E可测.从而E=B-(B-E)可测.4,已知

5、mP=0,令G=10,1】-P,则1QO(L)0f(x)dx=(L)冲In1xdx(L)Pxdx(L)f(x)dxG(L)px2dx(L)工x2dxi(R)0f(x)dx5 .将积分区间10,1】分为两两不相交的集合：2，G,G2，其中巳为1Cantor集，G0是P0的余集中一切长为泰的构成区间（共有2n一1个）之并.3由L积分的可数可加性，并且注意到题中的mF0=0,可得-nx_、31nx-36 .因为623sinnx在10,11上连续，（R）123s1nnxdx存在且与1nx01nx1 nx.3_（L）10；77Vs1nnxdx的值相等.易知nx由于卡在。1）上非负可测，且广义积分

6、3;2dx收敛，则1nx_3女在（0,1）上（L）可积，由于nm7n&3sinnx=0,x70,1）,于是根据勒贝格控制收敛定理，得到lim(R)ni：二(1nx01n2x3.3sinnxdx=lim(L)n二11nxsin3nxdx01n2x3.3.wsinnxdx31nxlim2n1nx100dx二。一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举1处反例)(15分，每小题3分)1,非可数的无限集为c势集2 .开集的余集为闭集。3 .若mE=0,则E为可数集4 .若|f(x)|在E上可测,则f(x)在E上可测5 .若f(x)在E上有界可测，则f(x)在E上可积二、将

7、正确答案填在空格内(共8分，每小题2分)1. 可数集之并是可数集。2. A.任意多个B.c势个？C,无穷多个D至多可数个3. 闭集之并交是闭集。.I4. A.任意多个B.有限个C,无穷多个D至多可数个5. 可数个开集之交是6. A开集B闭集CF型集DG型集7. 若|f|在E上可积，则8. A.f在E上可积B.f在E上可测C.f在E上有界D.f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理(共9分，每小题3分)。四、证明下列集合等式(共6分，每小题3分)：lilttlira1 .S-Sj(S-S)n12 .Efra=；Ef>a-:-Iz.五、证明：

8、有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开!(I/X/一集。(8分)六、证明：设f(x),fl(x)为可积函数列，f»(x)上9f(x)a.e于E,且L|f»|d上|f|dI,则对任意可测子集euE有？I|fl|d"他J|f|dI(7分)11Kxr、.十“目.二4八七、计算下列各题：(每小题5分，共15分)1,非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）o2,开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。3 .若mE=0,则E为可数集（不正确！如contorP口集外测度为0,但是C势集）。4 .若|f（x）|在E上可测

9、，则f（x）在E上可测（不正确！如义工）=*:其中/为小中不可测集-1旌五-稣）lnv'5 .若f（x）在E上有界可测，则f（x）在E上可积（不正确！如三1xwR】有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内1 .至多可数个可数集之并是可数集。A.任意多个B.c势个C,无穷多个D至多可数个2 .有限个闭集之并交是闭集。A.任意多个B.有限个C,无穷多个D至多可数个7rI3 .可数个开集之交是G型集A开集B闭集C?F型集D?G型集4 .若|f|在E上可积，则f在E上几乎处处有限A.f在E上可积B.f在E上可测C.f在E上有界D.f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理

10、、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）四、证明下列集合等式1.S-际a-应S,-.-.：（S-S）解:=sn（un$：）=Un3nse垣h=f（S-S）rnr12。Ef>a=UEf>a-71I-.f证明：'1'a£左端=>xe£/>=>ze£且/（、）>aW3且对任意抬J（2T）>Q-1招mw八处/>“一=>彳乏右端所以左端U右端，同理左端口右端，？?故左端二右端五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。?证吐（分析法证明）设Q（办=12初为开集要证O0t为

11、开集，只须证明0.*0"事实上衣Q，4>0,xe。仇4)uQ,取品般4时，自然有泥O?故!3.为开集。1'7-A.;；',.无限个开集之交不一定是开集。反例：设Q=,则QQ=(o既不是开3<,XI,'；!,集，又不是闭集。六、证明：设f(x)，位(x)为可积函数列，fI(x)4gf(x)a.e于E,旦|f|d-i|f|d；,则对任意可测子集ecE有I|fl|d|f|d1证明：因为f»(x)f(x)a.e于E,对任意幺匚3由Fatou引理知lim一|fhdiu粤L|fi|d|而已知L|fj|dIf/|f|d1,则对任意。H由Fatou引理知

12、:一方面1电|f|d1=1|fl|dI<A|f1|dI另一方面,|f|d另一N|f1|d【waJ西|fI|dI一|f|d1=1岛fl|dl=L鸟fl|d-L粤|f>|d1：>SI|fl|dI故二|f：|d<I；|f|d,<二|f：|d即1|f|d1=!吗1|fI|dk七、计算下列各题：limf上.：T''1 .-ghm+J/sin(nx)dI=?,T1/'nx；'；'.7/''.解：因为1+?sin(nx)>0于0,1第3页？共4页nx?且|W?|<1则由Lebesgue控制收敛定理知：F'

13、;''ifI"改limI一，hmr-r-械1+/sin(nx)d】="”+同1sin(nx)d1=0J卜x加U冲有埋演上2 .设f(x)=品项列01旌理数求阳dl=?解:因划（工）=SinTTX了为0口中有理数K为CU冲无理数=sin7rxa.e于0,1f-costf|J=所以J汗OJ/£J/WId=?3_L】3 .设f(x)=7?%-l？n=2,3,？求7_Li解：因为f(x)=一?«CT?n=2,3,，在QI上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：iIz.f/wf1)=2；_L=2-(。d)=421fn-nq2期2o一、选择

14、题(共10题，每题3分，共30分)1 .设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q，是【】(A)Q(B)(C)R(D)R-Q2 .设匕是一列闭集，F=1Fn,则F一定是nN'i!(A)开集(B)闭集(C)gb型集(D)、型集3 .设E是R中有理数全体，则mE=(A)0(B)1(C)+oo(D)-oo4 .下面哪些集合的并组成整个集合的点(A)内点，界点，聚点(B)内点，界点，孤立点(C)孤立点，界点，外点(D)孤立点，聚点，外点5 .设p是Cantor集，则口(A)p与Rn对等，且P的测度为0(B)P与R/寸等，且P的测度为1(C)P与Rn不对等，P的测度为0(D)P与Rn不对等，P的

15、测度为16 .设f(x)与g(x)在E上可测,则E【f-g是(A)可测集(B)不可测集(C)空集(D)无法判定7 .设f(x)在可测集E上有定义,fn(x)=minf(x),n,则fn(x)是【】(A)单调递增函数列(B)单调递减函数列(C)可积函数列(D)连续函数列8 .设E是任一可测集，则口(A)E是开集(B)E是闭集(C)E是完备集(D)对任意&A0,存在开集GnE,使m(GE)me9.设f(x)=sin2x,xw0,1HQ,贝ff(x)dx=1+2x,x三0,1Q01(A)1(B)2(C)3(D)410.设忆是E上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意仃0,有下面条件成立，则tf

16、n(x)欣测度收敛于f(x).口(A)limmElfn(x)-f(x)|-)0(B)limmElfn(x)-f(x)一：h：0(C)limmEfn(x)-f(x)-：-0(D)limmE-fn(x)-f(x)二，。n，n：.二、定理叙述题(共2题，每题5分，共10分)1,鲁津定理2.Fatou引理三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每题4分，共20分)1.若E与它的真子集对等，则E一定是有限集.2,凡非负可测函数都是L可积的.3 .设A为R1空间中一非空集，若Rwa,则Awa.【】4 .设E为可测集，则存在G次集F,使得FuE,Hm(EF)=0.【】5 .f(x)在a,b

17、上L可积，贝Uf(x)在b,b】R可积且(L)«bf(x)dx=(R)j：f(x)dx四、证明题(共4题，每题10分，共40分)11 .开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集.2 .Rn上全体有理数点集的外测度为零.3 .设函数列fn在E上依测度收敛f,且fn«ha.e于E,贝UfMha.e于E.Il/;IjIiyffI14 .设f(x)在b苞b十名】上可积，则limjf(x+t)f(x)|dx=0.判断题(每题2分，共20分)1 .必有比a大的基数。()2 .无限个闭集的并必是闭集。()3 .若mE=0,则E是至多可列集。()4 .无限集的测度一定不为零。()

18、5 .两集合的外测度相等，则它们的基数相等。()6 .若f(x)在E的任意子集上可测，则f(x)在可测集E上可测。()7 .E上可测函数列的极限函数在E上不一定可测。()8 .f(x)是E上的可测函数,则f(x)可积。()9 .若f(x)之0且Lf(x)dx=0,则f(x)=0a.e.于E。()10 .若|f(x)|在E上可积，则f(x)在E上也可积。()二、填空题(每题2分，共20分)1.设An=(0,n),n=1,2,，则UAn=,言An=。n1n12 .设A=l,2,3，nuR1,贝UA0=,A'=。3 .设B是开区间(0,2)中有理点的全体，则mB=。4 .单调函数的不连续点集

19、的基数是。5 .设E是0,1上的Cantor集，则E=。6 .闭区间a,b上的有界函数f(x)Rimann可积的充要条件是。7 .狄利克雷函数函数D(x)是可积的，国(x)dx=。小I三、计算题(每题10分，共20分).1,»1-221 .计算lim(R)卜42dx。(提示：使用Lebesgue控制收敛定理)一01nx2 .设f(x)=jx；xP°,其中Po是Cantor集，试计算f(x)dx。x2,xe0,1Po，忖1四、证明题(每题8分，共40分)11 .证明：x|xa0=Ux|xan1n2 .设M是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明M是是至1多可列集。3

20、 .如果mE=0,则E的任何子集也可测且测度为零。4 .设f(x)在E上可积，且f(x)=g(x).ae于E,证明：g(x)也在E上可积。5 .可测集E上的函数f(x)为可测函数充分必要条件是对任何有理数r,集合Ef(x)<r是可测集。一、单项选择题(3分X5=15分)1、1、下列各式正确的是()/八一6866(A)limAn=cAk;(B)bmAn=c=Ak；n-nTkmn-ndk=n(C)nAlkC；(D)阳A=nAk；2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是()(A)P=c(B)mP=0(C)P'=P(D)P=P3、下列说法不正确的是()(A)凡外侧度为零的集合都可测

21、(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设fn(x)是E上的a.e.有限的可测函数列，则下面不成立的是()(A)若fn(X)=if3，则fn(x)Tf(x)(B)SUpfn(X»是可测函数n(C)i?Cn(x)是可测函数;(D)若fn(x)=f(x)，则f(x)可测5、设f(x)是a,b上有界变差函数，则下面不成立的是()(A)f(x)在a,b上有界(B)f(x)在a,b上几乎处处存在导数b(C)f'(x)在a,b上L可积(D)faf'(x)dx=f(b)f(a)二.填空题(3分X5=15分)1、(CSAuCSB)c(A-(A-

22、B)=2、设E是b,1】上有理点全体，贝Ue'=,E=,E=.3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有,则称E是L可测的4、f(x)可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f(x)为la,b上的有限函数，如果对于Ab的一切分划，使,则称f(x)为Ia,b】上的有界变差函数。三、下列命题是否成立？若成立，则证明之；若不成立，则举反例说明.1、设EUR1,若E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若mE=0,则E一定是可数集.3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。4.设f(x)在可测集E上可积分,若VxwE,f(x)>0,则

23、JEf(x)0四、解答题(8分X2=16分).1、(8分)设f(x)=；x2,x*无理数,则f(x)在0,1上是否R.可积，是否L.可工也有理数积，若可积，求生积分值。2、(8分)求limr1n(x'n)e，cosxdxn0n五、证明题(6分X4+10=34分).,11、(6分)证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c.I"Lt!.2、(6分)设f(x)是(一收)上的实值连续函数，则对于任意常数a,E=x|f(x)是团集。3、(6分)在b,b上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。4、(6分)设mE<i,f(x)在E上可积，en=E(|f|>n),

24、贝Ulimn-m.=0.nn5、(10分)设f(x)是E上ae有限的函数，若对任意6A0,存在闭子集%UE,使f(x)<F上连续，且m(Eh)<6,证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)(15分，每小题3分);I8 .非可数的无限集为c势集9 .开集的余集为闭集。10 .若mE=0,则E为可数集11 .若|f(x)|在E上可测，则f(x)在E上可测12 .若f(x)在E上有界可测，则f(x)在E上可积二、将正确答案填在空格内(共8分，每小题2分)13 .可数集之并是可数集。14 .A.任意多个B.

25、c势个？C.无穷多个D至多可数个15 .闭集之并交是闭集。16 .A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个17 .可数个开集之交是A开集B闭集CF型集DG型集18 .若|f|在E上可积，则A.f在E上可积B.f在E上可测C.f在E上有界D.f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理(共9分，每小题3分)。四、证明下列集合等式(共6分，每小题3分)：一liltlliin19 .S-灵今谷上嬴(S-SQni20 .Efa=iEf>a-:五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开1集。(8分)六、证明：设f(x),f&

26、#187;(x)为可积函数列，fl(x)"二f(x)a.e于E,且f|f，|dIf/|f|d则对任意可测子集euE有？I|fl|d|f|d(7分)七、计算下列各题：(每小题5分，共15分)rf殁21 .二:：sin(nx)d=?1 血肝有理数”22 .设f(x)=卜曲颂小无理数求网dd=?23 .设f(x户2"疗>-1?n=2,3,？求口d=?一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例）6,非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）o7,开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。8 .若mE=0,则E

27、为可数集（不正确！如contorPU集外测度为0,但是C势集）。9 .若|f（x）|在E上可测，则f（x）在E上可测（不正确！如加）=,:一其中稣为现不可测集-1六衣一稣）10 .若f（x）在E上有界可测，则f（x）在E上可积（不正确！如一三1xwR】有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内1 .至多可数个可数集之并是可数集。A.任意多个B.c势个C,无穷多个D至多可数个2 .有限个闭集之并交是闭集。A.任意多个B.有限个C,无穷多个D至多可数个3 .可数个开集之交是G型复A开集B闭集C?F型D?G型集4 .若|f|在E上可积，则f在E上几乎处处有限A.f在E上可积B.f在E上可测C.f在

28、E上有界D.f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材）。四、证明下列集合等式向如1.S-S=（S-S）解:s-叵s/s-nu工=sn（CiQ町）lim=t（S-S）2。Efa=CEf>a-i:=。6（神3证明:工£左端=>xe£/之曰=>汗w£且/(1)之程n彳曰3且对任意用>口-1右端所以左端U右端，同理左端口右端，?故左舜右端五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。?证吐(分析法证明)设。心”12,N)为开集事实上二，.J.二一Q,取旌阳SA时，自然有

29、要证Q0为开集，只须证明工£0。匚na"将汝力并隹XO?故ml开;7K：o川无限个开集之交不一定是开集。反例：设则0°=口口既不是开集，又不是闭集。六、证明：设f(x)，口(x)为可积函数列,fJ(x)”他开(x)a.e于E,且I|fl|d|f|dh则对任意可测子集ecE有f|fl|d$*t他|f|dl证明：因为f»(x)f(x)a.e于E,对任意幺匚£由Fatou引理知H|f1|dwk，|f1|d而已知f|fl|d”他L|f|d，则对任意®曰由Fatou引理知:一方面1|f|d1=1粤|f!|dJw粤I|fl|dl另一方面,粤|fI

30、|dIw嚷L|fl|di1|f|d=粤|fl|d=L罂|fl|d1-L粤|f»|d整需|fl|dj故；二L|f'：|dI<1|f|dI<11|f1|dI即1|f|d'=|f：|d.七、计算下列各题：j.f”1 .hm+J/sin(nx)d1=?nx；：、；解：因为l+J/?sin(nx)0于0,1且|1+Z?|wi则由Lebesgue控制收敛定理知:EmXT©:1一二：sin(nx)dlim-s1=加小,1+/，sin(nx)d，二02 .设f(x)=7x为01井管理敬上而通的0,1的无理敬求的d1=?解:因划(工)=、SinTTX彳为0,1中有

31、理数舅坂J冲无理数=sin7rx我e于0Jf.,1u2|mm:d工二cos7F|0=所以.二二3.设f(x)=?疗"1?n=2,3,？求dd=?解：3_Li因为f(x)=?题7-1?n=2,3，在Q口上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：一、填空：(共10分)"I-VV1 .如果则称E是自密集，如果则称E是开集，如果EFE则称E是，E=EUE，"Ji"-?*称为E的.2 .设集合G可表示为一列开集GJ之交集：G=门Gi,则G称为.i1若集合F可表示为一列闭集FJ之并集：F=UFi,则F称为.i尹3 .(Fatou引理)设吊是可测集E=Rq上一

32、列非负可测函数，则.,%4 .设f(x)为a,b上的有限函数，如果对于a,b的一切分划T：a=x0<xn=b,使|”为)-f(Xi)|；,成一有界数集，则称f(x)为a,b上的，并称这个数集的mJ上确界为f(x)在a,b上的,记为.二、选择填空：(每题4分，共20分)1 .下列命题或表达式正确的是A.bbB.2=2C.对于任意集合A,B,有AB或BUAD.2 .下列命题不正确的是A.若点集A是无界集，则m*A=B.若点集E是有界集，则m*E<C.可数点集的外测度为零D.康才t集P的测度为零3 .下列表达式正确的是f(x)=max-f(x),0B.f(x)=f(x)f/x)|f(x)

33、|二f(x)-f-(x)D.f(x)n二minf(x),n4 .下列命题不正确的是A.开集、闭集都是可测集B.可测集都是Borel集C.外测度为零的集是可测集D.f二型集，G、.型集都是可测集5 .下列集合基数为a(可数集)的是A.康才t集pB.(0,1)C.设AuRn,A=x=(Xi,X2，xn)|为是整数，i=1,2,，nD.区间(0,1)中的无理数全体三、(20分)叙述并证明鲁津(Lusin)定理的逆定理四、(20分)设EUR；f(x)是E上a.e有限的可测函数，证明：存在定义在R，上的一列连续函数gn,使得limgn(x)=f(x)a.e于En一户二1.2007五、(10分)证明lim

34、(R)f-"为由*=0n01nx六、(10分)设f(x)是满足Lipschitz条件的函数，且f'(x)之0a.e.于a,b,则f(x)为增函数七、(10分)设f是a,b上的有界变差函数，证明f2也是a,b上的有界变差函数一、填空题：(共10分)00、1、EUE：EUE(或E=E)闭集，闭包2、G型集，F仃型集3、f_Jjmcfn(x)dx41imcJEfn(x)dx4、有界变差函数，全变差，V(f)a二、选择填空：(每小题4分，共20分)1、D2A3、D4B5、C三、(20分)定理：设f(x)ae有限于E,若对于任意的60,总有闭集尾二E,使m(E招<6,ILf(x)在F上连续，则f是E上的可测函数.证对任意的正整数n,存