导数中分类讨论的三种常见类型

1、与数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.1.导函数根的大小比较实例1:求函数fx1x31ax

2、2axa,xR的单调区间.32分析：对于三次或三次以上的函数求单调区问，基本上都是用求导法，所以对,.1c1ac一一.一.函数fxx3Lfx2axa进行求导可以得到导函数32fxx21axa,观察可知导函数可以因式分解为fxx21axaxax1,由此可知方程fx0有两个实根x1a,x21,由于a的范围未知，要讨论函数fx1x31ax2axa的32单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分a1,a1,a1三种情况进行讨论：当a1时，fx,fx随x的变化情况如下：x,aaa,1-11,fx+00+fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数fx的单调递增区间为，a和1,单调递减区间为a,1-一

3、、一.，-当a1时，fx0在R上恒成立，所以函数fx的单调递增区间为,没有单调递减区间.当a1时，fx,fx随x的变化情况如下：x,1-11,aaa,fx+00+fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数fx的单调递增区间为，1和a,单调递减区间为1,a.综上所述，当a1时，函数fx的单调递增区间为，a和1,单调递减区间为a,1；当a1时，函数fx的单调递增区间为，没有单调递减区问；当a1时，函数fx的单调递增区间为，1和a,单调递减区间为1,a.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于aR,所以要分a1,a1,a1

4、三种情况，这里注意不能漏了a1的情况.2 .导函数的根的存在性讨论实例2:求函数fxx3ax2x的单调区问分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数fxx点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以ax2x进行求导可以得到导函数f1x3x22ax1,观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程3x22ax10是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式4a212,若4a2120即近a73,方

5、程3x22ax10没有实根，即fx0在R上恒成立，所以fx在R上单调递增；若4a2120即a,方程3x22ax10有两个相等的实根x1x2a,即fx0在R上恒成立，所以fx在R上单调递增；3若4a2120即a73或a由，则方程3x22ax10有两个不同实根，由求根公式可解得x1a,x2a,显然x1x23 3此时fx,fx随x的变化情况如下：x,XXx1，x2x2x2,fx+00+fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当出a点时，fx的单调递增区间为，,没有单调递减区间;-a、a23当am或am时，fx的单调递增区间为，一a-a-3和,单调递减区间为3aa23可以确定方程的根肯定是存

6、在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。通过这两道实例可以知道，在分情况讨论的时候弄清楚讨论的必要性是很重要的，不能以偏概全。3.导函数的根与给定区间的关系实例3:已知函数fxx2lnx,函数gxfxx2ax,a0,若x0,e时，gx的最小值是3,求实数a的值.（e是自然对数的底数）分析：由题意可以求得gxaxlnx,且函数gx的定义域为0,已知的是函数gx在0,e上的最小值是3,而函数最值的讨论通常是以单调性的讨论为基础，所以可以先考虑函数gx在0,e上的单调性，因此对gx进行求导，得到

7、导函数gxa111若e1即a二则gx在0,1上单调递减，在-,e上单调递增，所以aeaa，因为a0,所以令gx0解得x-,xxa则gx,gx随x的变化情况如下:x0,1a1a1,agx0+gx单调递减极小值单调递增这是gx在0,上的单调性，而要讨论其在0,e上的单调性，这里涉及到e11跟1的大小，也即是1是在给定区间内还是在区间外的问题，可以知道，题目aa，、，一一-1,，、，一一、一一一.一，*中并没有条件可以让我们确定e跟-的大小关系，所以这里需要分情况讨论：a,1一1右e-即0a一，则gx在0,e上单调递减，gxmingeae1,令ae一一4.ae13,解得a一（舍去）e1lna,令1I

8、na3,解得ae2,满足条件.gxming-a综上所述，所求实数a的值为e2.点评：这道题实质上就是讨论函数在给定区间上的单调性，在这道例题中，导函数存在唯一的实根，所以可以确定原函数gx在定义域0,上的单调性，1而要讨论其在区间0,e的单调性，则涉及到e跟的大小关系，也就是确定导a函数等于零的点跟给定区间的关系.这道题中如果把a的范围改为aR,问题就稍微复杂一点，首先得考虑导函数gxa-ax根是否存在，可以发现，xx11一，如果a0,则不存在导函数等于苓的点，此时gxa-0,函数gxxx1在0,e上单调递减；而如果a0,则导函数存在唯一的实根，其中a0又a11.一包含了两种情况：a0和a0,

9、如果a0,那么0,0,此时aagxa1ax10,函数gx在0,e上单调递减；至于a0的情况，讨xx论如实例3.分类讨论思想是对研究对象进行分类，简化所要研究的对象，它是解决问题的一种逻辑方法，也是锻炼人思维模式的方法，但在分类讨论时要明确讨论的对象以及按什么标准进行分类，做到不重复、不遗漏.导数中的分类讨论在历年高考中也是经常出现，主要是在研究函数的单调性、极值与最值中应用比较多.导数问题中分类讨论的方法摘要：近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位

10、”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。关键词：单调区间，极值，分类，最值，取值范围为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题(1)求导f(x),一(2)令f(x)=0(3) 求出f(x)=0的根(4) 作出导数的图像或等价于导数的图像(一般是二次函数或一次函数的图像)(5) 由图像写出函数的单调区间，极值，或最值、_

11、一一一规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程f(x)=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间或定义域的端点的大小的讨论)下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述2例1：右函数f(x)axlnx(aR),求函数的单倜区间。x221axx2,c、解：f(x)a2(x0)xxx2_令f(x)=0,即：axx20(注意这里方程的类型需要讨论)若a0,则x2,作出g(x)x2的图像，由图像可知f(x)在(0,2)上为减函数，在(2,+8)上为增函数若a0,则18a0,2_一由axx20,得1.18a118ax102a2

12、a2作出h(x)axx2的图像，由图像可知f(x)在(0,x2)上为减函数，在(x2,)上为增函数综上所述：a0时，f(x)在(0,2)上为减函数，在(2,+8)上为增函数a0寸，f(x)在(0,1虫8a)上为减函数2a在（2a）上为增函数例2：（08全国高考）已知函数f（x）=x3+ax2+x+1,aCR,讨论函数f（x）的单调区间.-,、一2一.解：f(x)3x2ax1.-2令f(x)3x2ax10（注意这里根的存在需要讨论）例3.（2010北京）已知函数f(x)=In(1+x)-x+-x2(kR)。24a212若4a2120,即J3aJ3,则f(x)在R上为增函数若4a2120,即aJ3

13、或aJ3.-2由f(x)3x2ax10得，-22一a.a3a,a3x1;,x233a.a23a.a23、，f(x)在(,)或(,)上为增函数3322-O/aa3-ava3在(,)上为减函数33综上所述：J3aJ3时，”*)在口!为增函数a加a时，f（x）在（，上户）或（上户,）上为增函数，在（aa-3,-aa-3）上为减函数33一,，、1，,解：f(x)1kx1x._.令f(x)=0,即：x(kxk1)讨论)0的类型求f（x）的单调区间。x(kxk1)/-(x1)1x0(这里需要对方程kxk1x若k=0,则f(x)1xf（x）在（-1,0）上为增函数，在（0,+8）上为减函数若kw0,由x(k

14、xk1)0得,1,、EX11（这里需要对两个根的大小进行讨论）k2一x则f(x)0,f(x)在(-1,+8)上为增函数1x/，一，11,则f（x）在（1,0）或（一k1,）上为增函数，小1.、，在（0,-1）上为减函数k_1_则f（x）在（1,-1）或（0,k）上为增函数综上所述:_1”、，一，在（忆1,0）上为减函数f（x）在（-1,0）上为增函数,在（0,+00）上为减函数一,11,f（x）在（1,0）或（一1,）上为增函数k一C1一在（0,1）上为减函数f（X）在（-1,+8）上为增函数一，1八，f（x）在（1,1或（,）上为增函数-1”在（忆1,0）上为减函数例4.（2009北京理改编

15、）设函数解：f(X)令f(x)讨论）0,即kx1f(x)1kx10得,kxkxekxe斜率讨论）若k0则f(x)在(若k0则f(x)在(若k0,则f(x)在(1-,k）上为减函数，在（1、，一一,）上为增函数，在1k,(i）上为增函数）上为减函数例5:（海南2011四校联考）f(x)2lnx2x3,g(x)(p2)x-px若对任意的x1,2,f（x）g（x）恒成立，求实数p的取值范围解：f（x）的定义域为（0,设h(x)f(x)g(x)2lnxpx、I设h(x)2_-px2xp2令设h（x）0,即2px2x0（对方程类型的讨论）右p=0,贝U设h(x)2x22-x则h（x）在1,2上为增函数,

16、h(x)minh（1）2,不符合要求pxx2x（对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论）1,即p1,则h(x)minh(1)0,符合题意1,即1p0,则h(x)minh(1)2p20,不符合题意若1p20,即2p1,则h(x)minh(1)2p20,符合题意P-1_I_*x-1012图略若L20,即p2,则h(x)minh(1)20,符合题意p若0-p21,即P2,则h(x)minh(1)2p20,符合题意p若1-p22,即p2,则h2P20,不符合题意p若E22,即p2,则h(1)20,不符合题意p若122,即0p2,则h(1)2p20,不符合题意p综上所述：p的取值范围为(，1卜面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定的实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多多指教。例6:(海南2010理)设函数f(x)ex1xax2。若当x0时f(x)0,求a的取值范围f(x)ex2ax1令f(x)ex2ax10(此方程