完整高中数学必修三主要内容

1、第一章算法初步1.1算法与程序图框1 .算法的含义：在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，2 .例子：例1任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数1做出判定。算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：第一步：判断n是否等于2,若n=2,则n是质数；若n>2,则执行第二步。第二步：依次从2至(n-1)检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。例2用二分法设计一个求

2、议程x2-2=0的近似根的算法。算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005,则不难设计出以下步骤：第一步：令f(x)=x2-2。因为f(1)<0,f(2)>0,所以设X1=1,X2=2。第二步：令m=(X1+X2)/2,判断f(m)是否为0,若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)-f(m)大于0还是小于0。第三步：若f(x1)-f(m)>0,则令x1=m;否则，令x2=m第四步：判断|x1-x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。例3写出解二元一次方程组的算法

3、2x+y=1解：第一步，-X2得5y=3;第二步，解得y=3/5;第三步，将y=3/5代入，得x=1/5学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组AxByC1A2xB2yC20,、0(A&b1a20)的解的算法:第一步：XAl-XA2,得(AiB2-A2Bi)y+AiQ-A2Ci=0;第二步：解，得yA2c1A2c2AB2A2B第三步：将yA2CiA£2代入,得xA1B2A2B1B2C1B1C2AB2A2B1此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，

4、利用此公司可得到倒第一步：取Ai=1,Bi=-2,C=1,A2=2,B2=1,C2=-1;2的另一个算法:第二步：计算x与yAB2ABAB2A2B1第三步：输出运算结果。可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。基础知识应用题例4写出一个求有限整数列中的最大值的算法。解：算法如下。S1先假定序列中的第一个整数为“最大值”。S2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。S3如果序列中还有其他整数，重复S2。S4在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的学生做一做写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。老师评

5、一评在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。S1max=aS2如果b>max,贝Umax=b.S3如果C>max,贝Umax=c.S4max就是a,b,c中的最大值。综合应用题例5写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+n=n(n°进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。解：算法1：S1:计算1+2得至IJ3;3与3相加得到6;6与4相加得到10;10与5相加得到15;15与6相加得到21。S2:将第一步中的运算结果S3:将第二步中的运算结果S4:将第三步中的运算结果S5:将第四步中的

6、运算结果算法2:n(n1)S2：计算；S1:取n=6;2S3:输出运算结果。算法3:S1:将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3X7；S2:计算3X7;S3:输出运算结果。小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+-+10000,再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。学生做一做求1X3X5X7X9X11的值，写出其算法。老师评一评算法1;第一步，先求1X3,得到结果3;第二步，将第一步所得结果3再乘以5,得到结果15;第三步，再将15乘以7,得到结果105;第四步，再将10

7、5乘以9,得到945;第五步，再将945乘以11,得到10395,即是最后结果。算法2:用P表示被乘数，i表示乘数。S1使P=1。S2使i=3S3使P=PXiS4使i=i+2S5若iW11,则返回到S3继续执行；否则算法结束。1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的一个算法。2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）1、解：算法如下2S1计算=b-4acS2如果0,则方程无解；否则x1=S3输出计算结果x1,x2或无解信息。2、解：算法如下：S1使i=1S2i被3除，得余数rS3如果r=0,则打印i,否则不打印S4使i=i+1S5若iw1000，则返回到S2继续

8、执行，否则算法结束。1、写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法。解：第一步：x2-2x-3=0的两根是x1=3,x2=-1。第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集为x|-1<x<3。评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）如下：第一步：计算=b24ac；bb4ac第一步：右>0,不出万程两根x12（设Xi>X2）,则不等式解集为2aX|X>Xi或X<X2；第三步：若=0,则不等式解集为x|xCR且x；2a第四步：若4<0,则不等式的解集为Ro2、求过P（a1,

9、b。、Q（a2,b2）两点的直线斜率有如下的算法:第一步：取xi=a1,y1=b1,X2=a2,y1=b2；第二步：若Xi=x2;第三步：输出斜率不存在；第四步：若X1WX2；第五步：计算ky一岂；X2Xi第六步：输出结果。3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。解：算法：第一'步：取Xi=-2,y1=-1,x2=2,y2=3;第二步：计算yaXX1;y2yiX2Xi第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m,得直线与y轴交点(0,m)；第四步：在第二步结果中令y=0得到X的值n,得直线与X轴交点(n,0);1，第五步：计算S=-|m|?|n|；

10、第六步：输出运算结果3 .程序框图的概念：是一种用规定的图形，指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。4 .基本概念：(1)起止框图：起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。(2)输入、输出框：乙7表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。图1-1中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值写在输入框内，它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出框，它们分别位于由判断

11、分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出DWO时未知数x1,x2的值，右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果，即输出无法求解信息。(3)处理框：|它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图1-1中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的作用是计算x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D的值。(4)判断框：判断框一般有一个人口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”(也可用“Y”与“N

12、”)两个分支，在图1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中的式子是D=O,则说明D=O时由标有“是”的分支处理数据；若DWO,则由标有“否”的分支处理数据。例如，我们要打印x的绝对值，可以设计如下框图。5 .三种基本结构:1）顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。例2:已知一个三角形的三边分别为2、3、4,利用海伦公式设计一法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。程序框图：2）条件结构：一些简单的算法可以用顺序结构来表示

13、，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。例3:任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图。算法分析：判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需要用到条件结构。程序框图：3)循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构

14、。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：(1) 一类是当型循环结构，如图1-5(1)所示，它的功能是当给定的条件P1成立时,执行A框，A框执行完毕后，再判断条件R是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件R不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。(2)另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P2成立为止,例4:设计一个计算1+2+100的值的算法，并画出程序框图。算法分析：只需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为0,计数变量的值可以从1到1

15、00。程序框图：Sum-UFilin=utn1.2算法的基本语句输入语句输出语句赋值语句条件语句循环语句'INPUT"x=”;xy=xA3+3*xA2-24*x+30PRINTxPRINTylENDJ（一）输入语句在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。这个语句的一般格式是:INPUT"提示内容”；变量其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时，依次车入-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”，并按“x”新获得的值执行下面的语句。INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多

16、个变量赋值，其格式为：INPUT"提示内容1,提示内容2,提示内容3,”；变量1,变量2,变量3,例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：INPUT“数学，语文，英语”；a,b,c注：“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。但最后的变量的后面不需要。（二）输出语句在该程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。它的一般格式是:PRINT"提示内容”；表达式同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。例如下面的语句可以输出斐波PRINT“TheFibonacciProgressionis:&

17、quot;11235813213455“”此时屏幕上显示:TheFibonacciProgressionis:11235813213455输出语句的用途：（1）输出常量，变量的值和系统信息。（2）输出数值计算的结果。R思考1：在1.1.2中程序框图中的输入框，输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达？（学生讨论、交流想法，然后请学生作答）参考答案：输入框：INPUT"请输入需判断的整数n="；n输出框：PRINTn；“是质数。”PRINTn;“不是质数。”（三）赋值语句用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初

18、值。它的一般格式是：变量=表达式赋值语句中的“二”叫做赋值号。赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。注：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如"A=B'"B=A的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）赋值号“二”与数学中的等号意义不同。R思考1：在1.1.2中程序框图中的输入框，哪些语句可以用赋值语句表达？并写出相应的赋值语句。（学生思考讨论、交流想法。）【例题精析】R例11：编写程序，计算一个学生数学、

19、语文、英语三门课的平均成绩。分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。算法：程序：Input“数学="；ainput“语文="；bINPUT"英语="；cy=(a+b+c)/3PRINTTheaverage="yENDR例21：给一个变量重复赋值。程序：变式引申:在此程序的基础上，设计一个程序，要求最后A的输出值是30。（该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解）程序：A=10A=A+15PRINTAA=A+5PRINTAENDR例33：交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。分析：引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A,

20、再将X的值赋予B,从而达到交换A,B的值。（比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶）程序：INPUTINPUTPRINTBA,X=AA=BB=XA,PRINTENDR补例1:编写一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该圆的周长和面积。取3.14）分析：设圆的半径为R,则圆的周长为C2R,面积为SR2,可以利用顺序结构中的INPUT语句，PRINT语句和赋值语句设计程序。程序：INPUT"半径为R="；C=2*3.14*RS=3.14*RA2PRINT“该圆的周长为:PRINT“该圆的面积为:END（四）条件语句条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定

21、的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）IF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIFIF后的条件进行判断，如果条件符合，就执当计算机执行上述语句时，首先对行THEN后的语句1,否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）IF条件THEN语句ENDIFR例21：编写程序，使得任意输入的整数按从大到小的顺序输出。算法分析：用a

22、,b,c表示输入的3个整数；为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a,b,c表示，并使a>b>c.具体操作步骤如下。第一步：输入3个整数a,b,c.ENDIFIFc>aTHENt=aa=cc=tENDIFIFc>bTHENt=bb=cc=tENDIF第二步第三步第四步a与b比较，并把小者赋给a与c比较.并把小者赋给b与c比较，并把小者赋给b,大者赋给a.c,大者赋给a,此时a已是三者中最大的。c,大者赋给b,此时a,b,c已按从大到小WHLIE后面的“条件”是其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。测试型”循环。其对应的程序结

23、构框图为：R思考1:直到型循环又称为“后测试型”循环,图，说说计算机是按怎样的顺序执行（如上右图）参照其直到型循环结构对应的程序框UNTIL语句的？（让学生模仿执行的顺序排列好。第五步：按顺序输出a,b,c.（四）循环语句算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。（1）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不

24、符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前语句中，是型语句。由只是程序简WHILE语句的表述）从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。R提问1:通过对照，大家觉得WHILE型语句与UNTIL型语句之间有什么区别呢？（让学生表达自己的感受）区别：在WHILE语句中，是当条件满足时执行

25、循环体，而在UNTIL当条件不满足时执行循环体。【例题精析】R例33:编写程序，计算自然数1+2+3+99+100的和。分析：这是一个累加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL此看来，解决问题的方法不是惟一的，当然程序的设计也是有多种的，单与复杂的问题。程序：WHILE型：UNTIL型：，i=1sum=0WHLIEi<=100sum=sum+ii=i+1WENDPRINTsumi=1sum=0DOsum=sum+ii=i+1LOOPUNTILPRINTsumi>1001.3算法案END辗转相除法：1 .辗转相除法例1求两个正数8251和6105的最大公约数。（分析：8

26、251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：8251=6105X1+2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。6105=2146X2+18132146=1813X1+3331813=333X5+148333=148X2+37148=37X4+0则37为8251与6105的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转

27、相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q（）和一个余数口；第二步：若0=0,则n为m,n的最大公约数；若00,则用除数n除以余数0得到一个商q1和一个余数1；第三步：若1=0,则1为m,n的最大公约数；若10,则用除数0除以余数1得到一个商q2和一个余数2；依次计算直至n=0,此时所得到的n1即为所求的最大公约数。练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）2 .更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以

28、等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98与63的最大公约数是7。练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(答案：12)3 .比较辗转相除法与更相减损术的区别(1)都是求

29、最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到4 .辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。(1)辗转相除法的程序框图及程序程序框图：程序：INPUT"m=&#

30、39;mINPUT"n=”;nIFm<nTHENx=mm=nn=xENDIFr=mMODnWHILEr<>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND3 .秦九韶计算多项式的方法f(x)anXnn1aniXn2an2Xa1xa0/n1n2n3(anXaniXan2Xai)xaon2(anXn3aniXa2)xa1)Xa0(anXani)xan2)Xai)ao例设计利用秦九韶算法计算5次多项式5-4f(x)a5xa4x32a3xa2xa1xa0当xx0时的值的程序框图。解：程序框图如下:4 .排序直接插入排序:排序的方法很多.下面我打来对8.2.5.9.6从

31、小到大进行排序.容易想到：先比较笫2个数与第1个数的大小.把它们排序，得到3&比较第3个数与中数的大小,并把它插到合适的位置,又得到前3个败的排序给果2,38;把第4个数插到的合适位置如此继续下去，直到把最后一个数插到上一步已排好的数列的合适位置为止，得到2.3,5.8；2*3,5,8*92,3.5.6,8,9.就是把原数据从小到大排列的结果.用图L3"来表示这个排序过程，方括号”丁中的数列是已排好的数列.f8|32596I1IX8|f596I7【2.3.8596h一1|2.15F8|9612,3,18,9|612*3,5*&S,9图L31迨种排序方法就是直接插入排序

32、（inserionsorting）.这是一种最容易想到的排序法.冒泡排序：第一步工用第1个数与第2个数比较.若前者小.则两个数不变，否则调整这两个数的位置,本题中8>3,于是陶第这两个数的位置.笫二步按同样原则，比较第2个数年第3个数.由于8A2,调整这两个数的位置直到比较完用屈两个数.得到3.2.5.8.6.9.这个过程称为“一趟L在这一趟比较中，完成了4次交板笫三步工如果前一出比较中交换次数为0.说明排序已完成否则回到第二步.本题第二趟排序结果为2.3,5,6,8.9,完成了2次交换.而第三幽排序交换次数为0.说明排序已经完成.在每一趟比较交换中,最小的数像气泡一样逐趟向上漂浮,到最

33、后一趟浮到最上面.此，这种排序方法称为冒泡排序（hubb加sorting）.进位制互相转化:例4把二进制数1】00】化为卜进制数.分析：先把二迸制数巧成不同位上数字与2的林的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果.解:1100110=1乂2$+1><21+0乂23+0乂22+1X2*+1X2。=1X32+1X16+1X2+1=5L上述算法也可以将A进制数话换为I进制数只需要更换基数.例如,下面的程序就把A进制数。（共有位）然化成了十进制数人例5把89化为二进制数.解:根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连坡去除89或所得商.然后取余数.具体的计算方法如下：89=2X

34、44+1.44=2x22+0.22=2X11+0.11=2x5+1,5=2X2+I.所以89=2X(2X(2X(2X(2X2+D+1)+O)+O)+1=2X(2X(2X(2X(22+D+1)+0)+0)+1=2X(2XC2X(21+2l+1)+0)+0)+1=lX2*+OX2i-t-lX21+lX25+OX?+OX2l+lX2c=101100Lj»这种算法叫做除2取余法.还可以用下面的除法算式表示:余数+Op0,把余数从下往上排列即可。第二章统计2.1随机抽样简单随机抽样的概念：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nWN)就把这种抽样方法叫做简单随机

35、抽如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：(1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。(2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数No(3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的。(4)简单随机抽样是一种不放回的抽样。(5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/No最常用的简单随机抽样法：抽签法的定义。一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。抽签法的一般步骤：(1)将总体的个体编号。(

36、2)连续抽签获取样本号码。随机数法的定义：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000,001,，799。第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7(为了便于说明,卜面摘取了附表1的第6行至第10行)。16227794398442175331630163785933211234295760863244

37、87352096432176335025128673580749544354825724550688169555671978645607820947279654842634916483921206764439523879173793237877047447679810507175524207443849174609621551001342996602795490528477270802734328第三步，从选定的数7开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，得到一个三位数785,由于785V799,说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916,由于916>799,将

38、它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567,199,507,，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。【说明】随机数表法的步骤：(1)将总体的个体编号。(2)在随机数表中选择开始数字。(3)读数获取样本号码。系统抽样系统抽样的定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：(1)当总体容量N较大时，采用系统抽样。(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此

39、，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k=4.(3)预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：(1)采用随机的方法将总体中个体编号；(2)将整体编号进行分段，确定分段间隔k(kN);(3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L;(4)按照事先预定的规则抽取样本。N2、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当工不是整数时，应米用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔ko分层抽样一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层

40、，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则。(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。二、分层抽样的步骤：(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分。(2)按比例确定每层抽取个体的个数。(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。(4)综合每层抽样，组成样本。【说明】(1)分层需

41、遵循不重复、不遗漏的原则。(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定。(3)各层抽样按简单随机抽样进行。用样本的频率分布估计总体分布频率分布的概念：频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：(1) 计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差(2) 决定组距与组数(3) 将数据分组(4) 列频率分布表(5) 画频率分布直方图频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它

42、能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。(见课本P61例子)茎叶图的特征：(1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记

43、录那么直观，清晰。某赛季甲、乙网N篮球运动员捋场比赛得分的原始已录如下工甲运动员得分；13,51,23,8.26,38,16,33,14<28,39：乙运动员得分：49,24.12.31,5。.334d.36.15«37,25,36,39.用茎叶图表示,如图2.24顾名思义.茎是指中间的一列数叶就是从茎的旁边生长出来的数.中间的数字表示得分的十位数.身边的数字分别表示两个人得分的个位数.从图2.27可以看出.茎叶图不仅能够保留原:始数据.而且能够展示数据的分布情况,比如.乙运动员的得分基本上是对称的,中位故是36；甲运动G的得分除一个特殊驾图2.27分（51分）外.也大致时称.

44、中位数是26由此可以清楚地看出.乙运动员的发挥比较棋定，总体得分情况比甲好.色样本数据较少时,用法叶图表示数据的效果较好.它不但可以保留所仃信息,而fl可以随时记录.这对数据的记录和表示都能带来方便.但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了.因为14一个数据都要在图中占据一个空间.如果数据很多,枝叶就会很长了.R例11：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm）区间界限122,126)126,130)130,134)134,138)138,142)142,146)人数58102233120n区间界限146,150)150,154)154,158)人数1165

45、(1)列出样本频率分布表；(2)一画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.。分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。解：(1)样本频率分布表如下：分组频数r频率:122,126)5r0.041126,130)80.07130,134)100.08134,138)22P0.181138,142)330.28142,146)200.17146,150)110.09150,154)60.05154,158)5r0.04;合计1201(2)其频率分布直方图如下:本频率/组距o122126130(3)由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为

46、0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.cm)R例23：为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数

47、之和等于样本容量，频率之和等于1。解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，4因此第二小组的频率为：40.0824171593又因为频率第二小组频数样本容量所以样本容量第二小组频率121500.08(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为171593M100%88%24171593(3)由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69,前四组的频数之和为114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。用样本的数字特征估计总体的数字特征众数：一组数据中出现次数最多的数据；中位数：一组数据中处于最中间的一个数据；样本数据X1X2,

48、一,”的标准差的算法:(1)、算出样本数据的平均数X。(2)、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：Xix(i1,2,-n)(3)、算出(2)中xx(i1,2，n)的平方。(4)、算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差。(5)、算出(4)中平均数的算术平方根，即为样本标准差。其计算公式为：sJ；(X1X)2(X2X)2(XnX)2显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。方差：21222s(X1X)(X2X)(XnX)n2.3变量间的相关关系散点图：下面要作的图叫做数点图(scalicrplot).对于表23中的数据.我们假设人的年龄影响体内脂肪含量.于处,按

49、照习惯.以h轴表示年龄.以y轴表示脂肪含让,得到相应的敬点图(图2.3T).觥助出40353025201510502025J0354045505560婚年的图2M从放点图我们可以看出，年龄越大体内脂肪含批越高.图中点的趋势表明两个变ft之间瑞实存在一定的关系.这个图支持r我们从数据表中得出的结论.另外、这些点些布的砒也是依得注意的7高抽薪从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.还有一些变量，例如汽乍的用u和汽手每消耗1L汽油所行驶的平均路程.成负相关.汽车越重.每消耗】L汽油所行驶的平均路程就越短，这时的点散布在从左上角到右下角的区域内.从散点图上可以看出,这些

50、点大致分布在通过散点心的一条亘线附近(图2.3-2),如果散点图中点的分布从济体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变fit之间具有线性相关关系.这条直线叫做回归直线(regressionline).实践与研究.已经与出了计算网归方程的得率与极距的一般公式JL,工*，(工I-¥)(»)zJJtVrb=-,£(Tj-T)-JXF11.1 *1j-I9=5一技.其中.人是回归方程的斜率.以是截距.第三章概率1.2 随机事件的概率基本概念：(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于

51、条件S的不可能事件；(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A尸必为事件An出现的频率：对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。(6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值也，它具有一定的稳定性，总在某个常数附

52、近摆动，且随着试验次数的不断增多，n这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。如果我f口面临的是从配年可选？F案中挑选正俄答案的决策住苏，那么“使得样本出现的可傕性炭人”可以作为次策的池则例如对上述思与图所作的推崎.这种判断问题的方法称为极大以然法,极大似处工兄统计中诉要的统计出也方次之、如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能件加大,那么判断正确的可能性也最儿这种判断问的方法称为似然法.觎然法是酰计中要的统计思娘方法之一.概率的几个基本性质：1)必然事件概率为1,不可能事件概率

53、为0,因此0WP(A)W1；2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B);3)若事件A与B为对立事件，则AUB为必然事件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1P(B)(3)正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系(5)尤八八七为不可能任件in一Z).那么称事件j与事件8互斥.其含义是：小件八与步件在任何一次试验中不会同时发生,如图11-1例如.上述试验中的事件G与事件C互斥%件心可本件H互斥.(6)若ACG为，可能事件.八UB为必然力件.那么称事件A，事件8互为对立事件,其含义是：事件A与小件B在任何一次试验中有且仅有一个发生

54、.例如.在掷骰子试验中.GCIH为不可能巾件.GUH为必然事件.所以G与H互为对立事件.1.3 古典概率基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念;古典概型的概率计算公式：P(A)=A包含的基本事件个数总的基本事件个数我们再来分析事件的构成.号察两个试脸:（1掷一枚磁地均匀的硬币的试验*（2）掷一枚师地均匀的假子的试验.在试验】）中,结果只力.网个即“正面朝I或“反而朝上。它们都是随机小件：在试验（2）中,所有可能的试验结果只行6个,即出现*1点J"2点”3点”7点”“5点*和点。它们也都是随机平件.我们把这类随机事件称为基本事件（elementaryevent）.携本事件有如下特点：（1）任何两个基本事件是互斥的:（2）任何”件都可以发示成基本事件的和.IT.述试验和例的共向特.&是:试验中所行可能出现的星本部件n有限个2每个星本事件出现的可能性相等.我IH将M有这四个特点