复数域上的极限与连续

1、第三讲复数域上的极限与连续一.定义距离(两个复数之间的距离)两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iyz的距离为P(Zi,Z2)=忆1-Z2;J(x1一X2)2+(yiy2)2.有了两个复数之间的距离后，容易得出下面的结论maxx,yi-y2)|zi-Z2I<为x?+|y1-y?(如图2.1).图2.1二.复数序列的极限复数列4工，存在z°wLI,使得4=1而4仁对Va>0,三Na0,当VnN时，有n-.z-zo|<8.引理若zn=xn+iyn,n=1,2,|,zo=x+iyo,则limznn_.limxn=x。=z°u-|imyn=y。.n二三.复函数

2、的极限定义设f:Dt单值函数w=f(z),z0=x。+iy0是D的一个聚点(非孤立点).若对于卡名0,三60,当0<220<6时，有f(z)-A，则称f(z)当ztz0时以A为极限，记为limf(z)=A.z>4引理设z=x+iy,z0=x0+iy0,w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=a+ib，则有limf(z)=A=z)z0lim(x,y)(x0，y0)limL(x,y)x0,y0)u(x,y)=av(x,y)=b四.复函数的连续定义设w=f(z)定义在复数集D上，z0=x0+iy0wD是D的一个聚点，若limf(z)=f(zo),则称f(z)在点Zo连续.z

3、90注：若点4是D的一个孤立点，则f(z)在点4连续.引理复函数w=f(z)=u+2在点z0=%+iy0连续之函数u(x,y),v(x,y)在点(%,y。)连续.复函数w=f(z)在点集D上的每一点连续，则f(z)是D上的连续函数.五.复级数n定义设复数列Uk乙，复数项级数的前n项之和4=£Uk(n=1,2,|),kQOQO然而得部分和序列sn,级数和£ukLlimsn,WZuk=Aulimsn=A.u心n'二引理复数列uj工，若uk=ak+ibk,A=a0+ib0,有oO“uk=A=k=1QOZak=a0°°"bk=b0.kToCQO

4、绝对收敛:级数Zuk收敛，则称工uk绝对收敛.oOQO工ak|和级数Zbk收敛.kJkJoO级数工uk绝对收敛当且仅当级数k1六.复函数列uk(z)=设复函项级数£uk(z),在点z0wD,使复数列£山()收敛，则称复函数kd列在点4收敛，z0称为复函数列的收敛点.收敛域=所有收敛点.qQqQ复函项级数uuk(z)绝对收敛Uu|uk(z)收敛.k1k12n、，xxx补充内谷：头数域上有e=1十一十一十Ml十十|1!2!n!32n1sinx=x71H(-1)：八IH3!(2n1)!22nxxcosx=1-HI(-1)n-III2!(2n)!卜面把上面的情况推广到复数域上：(1

5、)形式上的令eix=1十匕十州一十山十州一十1!2!n!川(xL)由i2=-1得eix=cosx+isinx.卜面是对Euler公式的严格定义和证明=1,2川,令针宣2z十2!n十|十2得到序列4,不妨设n!m>n,那么n书n42mO-zj=-+-+lll+(n+1)!(n+2)!m!+(n1)!(n2)!川口m!再对实数序列进行分析an=1+回+巴+111+巴,aj收敛于ez,因为an1!2!n!n收敛，由柯西准则有由(1)可知4也是柯西序列，所以4收敛.记4的极限为ez,即以乱定义/nIII八kdn!2nez=1-III1!2!n!二二n级数工乙收敛且绝对收敛，收敛域为整个复数域匚.

6、kmn!32n1(2)形式上的令sinz=z-+|+(-1)nz+III3!(2n1)!32n1定义序列zn=z-+l|H(-1)n，利用上面同样的方法，可得3!(2n1)!32n1znzsinz-z-|(-1)-|3!(2n1)!22n(3)同理，也有cosz=1+in+(-1)n+ni2!(2n)!由(1)(2)得证eiz=cosz+isinz(Euler公式).练习：1 .设z=(1+i)3(1) z表示为实部虚部的形式；(2)求z,argz(w一兀，江);求z的Euler指数表示；(4)z的三角表达式；解(1)z=(1i)3=(1i)2(1i)=2i(1i)=72i,Rez=-2,Im

7、z=2.(2) z|=(1+i)3=1+i1=(历3=2&argz=arctanImzRez-arctan(-1)=3z=2、2e4.z=2、,2(cos-isin":)=2.2(-i).4422.、1i1i2.求e;(2)8s丫sini;(4)Re=解(1)Ye1'=eei=e(cos1isin1)Re(e1i)=ecos1,Im(e1i)=esin1.ii-iiee(2)cosi=2ii.ii,111(3)sini=e-ee-e(e-e)i2i2i2(1i)(1-i)(1i)1i三i,Re1-i3.(1)i3；(2)lni;(3)Imln(-1).解(1)i3i(eargi2k二2k二当k=0时，（i3）。当k=1时，（i。当k=2时，（i3）2i（不率二）二e63二