基于小孔成像的相机模型

1、2016西北大学第二次旧题新作数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛

2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2016年8月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编

3、号）：一、摘要本文研究数码相机的位置标定问题，在了解相机成像原理的前提下，对靶标的像运用Matlab处理，利用同侧公切线法得到到靶标上五个圆圆心的像坐标。再利用坐标系的刚性变换解出相机坐标系到世界坐标系之间的旋转变换和平移变换，由此确定相机对世界坐标系的相对位置，进而得到两台相机的相对位置。基于坐标系的转换，明确四个坐标系：世界坐标系（以靶标为参照物）、像素平面坐标系、像平面坐标系和相机坐标系（以相机的光学中心为参照）。针对第一题，假定相机不动，用推导法，将相机坐标系转化为像平面坐标系，冉将像平面坐标系转化为像素平面坐标系，并求其逆矩阵，可将像素坐标系转化为相机坐标系。再通过控制变量法，分别将

4、世界坐标系绕其Xw,Yw,Zw轴旋转a、B、丫角度得到坐标系FX、Ry、Rz,相乘后再平移T个单位，得到相机坐标系。结合上述两组转换，可得出世界坐标系与像平面坐标系的关系。针对第二题，在不考虑畸变的情况下，假设相机满足光学系统中的针孔透视投影原理，圆经过透视摄影之后的像为椭圆，圆的公切线经投影后依然为其公切线，我们根据同侧公切线法的原理，在matlab中先求出五个椭圆的解析方程，再求出公切线，联立后求出切点坐标，从而求出直线方程，确定圆心。圆心坐标为（）针对第三题，在假设的理想状况下进行操作，必然会产生一定的误差，而又因为相机系统满足针孔透视投影原理，可以利用一定的映射关系将像边缘上的点反向投

5、射到靶标上，并对这些点到圆心的距离进行检验，用方差来对模型的精确度和稳定度进行评价。针对第四题，建立双目系统模型，根据像的位置确定相机1在世界坐标系中的位置，再通过两相机的相对位置，确定两相机在世界坐标系中的位置。本题未知数多，约束方程多，信息量比较大，用采用最小二乘法求出最优解。关键词：系统标定，同侧公切线，Matlab、问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上

6、的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。有人设计靶标如下，

7、取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆。用一位置固定的数码相机摄得其像。请你们：（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；（2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标，该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位（1毫米约为3.78个像素单位），相机分辨率为1024X768;（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4

8、）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。、符号定义与说明符号名称XcYcZcxyuvXwYwZwRRxRyRzTTxTyTz表1符号定义与声明定义与说明相机坐标系x轴相机坐标系y轴相机坐标系z轴像平面坐标系x轴像平面坐标系y轴像素坐标系u轴像素坐标系v轴世界坐标系x轴世界坐标系y轴世界坐标系z轴旋转矩阵绕x轴旋转的旋转矩阵绕y轴旋转的旋转矩阵绕z轴旋转的旋转矩阵平移矩阵x轴方向的平移矩阵y轴方向的平移矩阵z轴方向的平移矩阵f相机焦距（像平面到相机坐标系原点的距离）四、模型假设1 .在成像时假设不发生畸变2 .假设数码相机中长宽方向的焦距相等3 .假设数码相机的光轴垂直于像平面4

9、 .假设焦距远小于物距，可近似等于像距五、模型建立与求解5.1 问题一5.1.1 问题分析在相机的拍摄过程中，存在四个重要位置，分别是相机位置、图像位置、像素起始位置和物体位置，所以，为方便起见，我们设定四个坐标系：相机坐标系、像平面坐标系、像素坐标系与世界坐标系。像平面坐标系与像素坐标系位置关系如图1.求靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标即是要求我们将世界坐标系中的点转化为像素坐标系中的点，则本题可以转化为：通过公式推导求出世界坐标系与像素坐标系的关系。5.1.2 模型建立与求解在像素坐标系中，我们不妨假设每一个像素的实际长度和宽度分别为dx和dy,假设像平面坐标系的原点在像素坐标系中的位

10、置为（U0,V0）,则在像素坐标系中u轴和V轴的位置为：xU=-U0dxyv二-V0dy公式1像素到像平面坐标系的关系式得出这个公式后我们改用齐次式并把方程用矩阵形式表示：uv_1dx0001dy0U0V01xIIy_1公式2素到像平面坐标系的关系矩阵相机坐标系与像平面坐标系关系如图1。图1相机坐标系与世界坐标系关系图根据三角形相似原理，我们有xXcfZcYcfZc公式3投影原理式用矩阵表示为:乙1ooooo1ofofoo-IIL-IXy1rJhl公式4投影原理矩阵表示三维空间中，当物体不发生形变时，对一个几何物体作旋转、平移的运动，称之为刚体变换。因为世界坐标系和摄像机坐标都是右手坐标系，所

11、以其不会发生形变。我们想把世界坐标系下的坐标转换到摄像机坐标下的坐标，如下图所示，可以通过刚体变换的方式，如图图2刚体变换模型图二者数学变换的公式为Xc=RX+T,其中R为旋转矩阵，T为平移矩阵。因其受x,y,z三个方向上的分量共同控制，所以其具有三个自由度。R则为分别绕XYZS轴旋转的效果之和。首先，通过控制变量，Zw保持不变，使Xw、Yw绕Zw旋转丫角度。x=xcosysiny=-xsinycos公式5绕Zw轴旋转的坐标系变换方程故，绕Zw的旋转矩阵为：cos-sin0Rz=sincos0_001公式6绕Zw轴旋转的坐标系变换矩阵同理，可得绕Xw、Yw的旋转民、B角度的旋转矩阵：100c二

12、.一Rx=0cos-sin_0sin:coscos0sinRy=010sin：0cos：公式7绕Xw、Yw轴旋转的坐标系变换矩阵R=RxRyRz公式8旋转矩阵与分量旋转矩阵式分别在XwYwZw方向上平移Tx、Ty、Tz个单位长度，得平移矩阵:TxIIT二TyTz公式9平移矩阵综合上述公式得HZcV1dx001dv000LR00.O'10-公式10像素坐标系与世界坐标系位置关系5.2 问题二5.2.1 问题分析5.2.2 模型建立与求解同侧公切线法：对于两个等大的圆作外公切线，其中任何一个圆的圆心都在该圆上两个切点的连线上，该圆圆心在像平面上的像也在两切点的像的连线上95.3 问题三5.

13、3.1 问题分析由于本题是在假设的理想状况下进行操作，必然会产生一定的误差，而又因为相机系统满足针孔透视投影原理，圆经过透视摄影之后的像为椭圆，圆的公切线经投影后依然为其公切线，我们可以利用切点和切线对像的圆心进行检验，并用方差来对模型的精确度和稳定度进行检验，方差越小模型越稳定，精确度越高。5.3.2 模型建立与求解本文是在理想模型的前提下讨论像平面坐标系与世界坐标系的关系，然而在现实情况中，由于各方面因影响，实际情况可能与模型产生的结果存在以下误差：(1)畸变导致误差本文讨论的是通过刚性变换得出的的模型，并没有考虑物体到像产生的畸变。由于透镜成像和空气的折射，实际相机得到的像都是有畸变的，

14、难免会对精度产生影响。(2)对离散的像素点操作产生误差被拍摄的物体边缘是连续的，然而在数码相机成像后，原来连续的点被离散化，再加之使用matlab软件的操作会丢失很多图像边缘的信息。而同侧公切线求圆心模型严重依赖于图像的边缘，离散像素点可能会造成一定的误差。(3)模型假设误差在大多数情况下，本文的模型假设总是近似符合事实的，也会产生误差。精度检验可以转换为像上的图形与靶标上的圆的映射关系的检验。具体方法是，首先将像上的轮廓的点根据一定的映射关系投射到以上模型求得的靶标上，然后计算靶标上相应的圆心距离这些点的平均距离和方差，平均距离越贴近于靶标上圆的半径，则模型越准确；方差越小，则模型越准确。对

15、于方法的稳定性的讨论，那么必须依据所取半径的具体大小来确定，假如所取的半径过大，则在将用matlab处理图像时，可能出现多个像素点位于同一行或列，使得寻找切线时的误差变大，以致圆心不准确。假如所取的半径过小，圆的像有可能在像平面上只有几个像素点，也会使得寻找切线时的误差变大，求得的圆心也不精确。根据以上分析，若圆的半径在某范围内，按此方法的计算的结果是稳定的。否则此方法不稳定。105.4 问题四5.4.1 问题分析本题要求根据给出标靶求解两台相机的位置，即可以看作根据像的位置确定两相机在世界坐标系中的位置。在问题一中我们已经求出世界坐标系向像素坐标系转化的模型，要求出两个相机的相对位置，只需再

16、找出两个相机的相对位置，解出所有未知数即可。图4双机系统示意图5.4.2 模型建立与求解首先，求出相机2相对于相机1的相机坐标系的空间关系。我们假设相机1的相机1坐标系为（XcYcZc）,相机2相对于相机1坐标系的相机2坐标系为（X&YC，Z'c）将相机1作为参考系，那么相机2相对于相机1的坐标为（X'C,Y3,Z'C）,相对方向角为（日，句中）。其中，8为轴ZC在Oc%Zc面上的投影与ZC的夹角，为轴ZC在OcYcZc面上的投影与Zc的夹角，小为轴Xc在OcYXc面上的投影与Xc的夹角。由于相机1坐标系可以由相机2坐标系可以经过刚性变换得到，那么我们不妨设:X

17、cXcXcYcJIRThIJYcYc=1=MiZd10T1ZiMZi-1iii_1_1_1公式11相机1与相机2位置关系其中，令M为3X4的矩阵11在问题一中，我们已经知道了像平面坐标系与相机坐标系的关系为:xIIZcyzII-1f0_0Xc000Ycf00Zc010_1公式12像平面坐标系与相机坐标系位置关系f0_00IR0t01XcXcT1YcYcM71ZcZc_1_1将公式2带入公式1中得:公式13相机1像平面坐标系与相机2坐标系关系式我们令：mum12m13m14山二一一一M=m21m22m23m24_m31m32m33m34公式14相机1像平面坐标系与相机2坐标系关系参数矩阵将两个相

18、机在世界坐标系中进行定位，内部参数相同，相机位置不同，外部参数也不同，求出外部参数，位置就可以通过平移旋转得出。R1T1M1=T-0T1R2T2M2=IT0T1一公式15相机1与相机2的外部参数那么，相机坐标系与世界坐标系就可以根据公式来转换。12XcXwlvIlvIYcYw=MiZcZwIIII_1_1XcXwYcYw=M2ZcZwIIII_1_1公式16相机1和相机2与世界坐标系的关系公式XcXcYc1Yc=M1M2-1ZcZcIIII_1_1公式17相机1与相机2的位置关系我们假设：M2-1=公式18M2的逆矩阵将公式15与公式18相乘，我们可以得到：1R1RR1TT1M1M2-1=7一0T1公式19M2到M1的过渡系数设靶平面一点p在相机1坐标系中的位置为（xp,yp,zp）,在相机2坐标系中的位置为（xp,yp,zp）。由问题一可知，在两个相机坐标系中，点（xp,yp）与点（x'p,y'p）有如下关系：13fXcZcfYcZc公式20投影原理式得出这个公式后我们改用齐次式并把方程用矩阵形式表示：f0XcxI|=Zc|0f-Yc一/公式21投影原理矩阵联立上述公式，得到点的位