基本不等式常见题型归纳汇总

1、学习必备欢迎下载基本不等式常见题型归纳汇总L设“、力是两个正数.则审称为正数口、力的算术平均数,*而称为正数*人的几何平均数.2 .均值不等式定理：若】（）,力0,则l+62而.即汽,a1+A22ab<3 .常用的基本不等式；1"十分,之2"6g,力已幻；</»bR)；3ab<"&>0.b>0)；I2J4 .最值定理：设工、】都为正数.则有若，+（和为定值）.则当时.积孙取得最大值了.若里=p（积为定值），则当n=f时，和w取得最小值高中效军群也研究会二丁驷年内受?此类题型以求和的取值范围转化为积为定值求解,求积的取

2、值范围问题转化为和为定值求解为突破口.借助构造思想.构造为可以使用基本不等式的形式；常见的构苣交换方法有凑项变换.推项褒换.票数变换.平方变换.掌星代换.三角代换等.学习必备欢迎下载【例1】求下列函数的最大（小）值(2)尸4缶，x(3) v=4x(3-2x)(0<x<)2(4) r=x(l-x)(0<r<J)y=x(-x(Q<x<l)|9(6) z-x+r(-+=hx>Gtr>0)其尸(7) y=x4-x'工匚手心-1)x+1(1) v=4(<+1)+4之24(丁+1卜一!4=0；(凑项x+1J+I变换)(2) v-2<lr+

3、2而+之3,2缶。2=6；(拆xx项变换)/"2v+3-2rV9(3) L3W2"(系数变换)I2J2(4) ,=t.k二2x1(l-*,v)2f*+j；+i)Y；(系数变换)将/看成八同上)，,”号；Z79(平方变换)99Kv9VV(6):=(工+>)(-+)=1+9>10+2I-=16xyyxyx(常数代换)学习必备欢迎下载(7)令i=sin仇一：§"；).22R*Jy=sin/?cos=in2flVj；(三角代换)222；（平方变换）”(x+I)-5(,v+1)+44£=x+l+5冈川）占离变换）'-WaJd|jpfe

4、r>"变式提升一L求下列函数的最大（小）值'2x-32y-.r(l-2x)(0<,t<-)y=4工。一炉(0vx<t)ycos'弘intf(0<0<)工一3_.y=-r-r(x>3)2/2.设二次函数工）="-4工+匚工eR）的值域为0,+8）,则的最大值是高印效孚常盛i除见玄力山安巧立学习必备欢迎下载【例2】已知k>0,y>0.且r+y=l,最大值.上求&x+l+1的商用攻宇鹏卷折无全力犷皿勺把思路点拨根据常用m1?)解：©次+1岁叼工2工+1+2尸1二4.，V2x+l+J2y+1&l

5、t;272.；_翦卬电已知任意非零实数工，满足”：+44刈/+/)恒成立,则实数2的最小值为().-117A.4B.5C.yD.-Trlh学NWfrty-f-A基于ax+by+cxy=d类型的构造此类题型常常以和以及枳的等式形式出现，然后求和或者积的取值范围，题型切入口为相等式/化为不等式,拿见的籍融思路M构域法.判别式法.化法,变量代换.整体代操等.I例1(1)若正数。，方满足办=n+Z>+3,则帅的取值范围为.(2)若正数g方满足时"”十3.则口+8的取值范围为:高卬理俘梯里的宛玄力如心内亏;学习必备欢迎下载解：（1）法一：ab=a+hi>2ab+3,二（疯+1）（而

6、一3）之0.解得信至3或而，一（舍去）,六池之9.（构造法）法二：丫"二口+b+La-（易得方,1）,bI.（A+3（方-1y+5（分一】）+4-,4n/如ub=-=-=5+（d-l）+之9.（变b-8T1量代换法）（2）法一:。b=白+b+3W”；，）n（口+力+2）（“+66）20,入+此6或"匕-2（舍去）.（构造法）法二：同（1）变量代换法.法三：令n+b=L则"=一bi代入（力匚n十方+3得/一与力士/+3.二方一防+/+3=0有解，贝1也二f4”+3）之。，解得此6或Y-2（舍去）.（判别式法手中蚓浜®图"+阳双【例2】已知y为正实

7、数.且2+&】4*=0.则工+4p的最小值为工+y的最小值为-般费解院士却4的学习必备欢迎下载(1)法一:,Jf+4y丫l2j解得1之32.(构造法)Sr法二；：218moi*,*x=-（易得v2）,8VA8（y-2）+16工+4y=+4y=-十4（/一2）48y-2p-2=16+-+4（.y-2）32.变量代换法）y_2法三：方程2.i8i-w=U两边同时除以门得：*y、乘以x+4j1得：H+号（*+4»=丫+知8+迈之32.（化15刃y，法）.【例3】若正数m5满足！+：=】，则4+黑的最小值abab-商中数字及甄珊冤至勿244两?解：,J1+'=I*工曰+h=口

8、卜，二"一1=",ft-1=.abba+J=+L216.二二高中数字器题龄先之二"Ib-ab基于复杂变换类型的构造416的最小值此类题型常常题设复杂.需要向基本不等式方向变换谷次或者妥次运用基本不等二r考察的角度为学生综合处理问题能力以及对不等式的熟练程度.能够掌握这类题型需要建立在掌握题型一、题型二的基础上，墙题的中心思踣还是性和为定值或者都为定值的方向轴化.【例1】若正数必启满足！+：二】，则aba-高用效字渣”靖咒电力'M449门学习必备欢迎下载解：=I,；，r+b二口b,*'a-=-tb-=.abba.二+-=+16.1高卬山宇翳知耕况全？

9、a-1b-ah【例2】若口>6>0,则白的最小值为.风"-b：商用或字睛短研究叁解：a+'-=(b-¥a-b)2+一-b(a-b)bia-b66b3+(4-+26(£i-A)+-34b(ci-方)+2161b(a-b)b(吁b)当且仅当人"占("力=2时等号庞梦孚.腮法申皿；例3：若“，b、c>0d且4"+力+c)+尻=428.则2o+匕+的最小值为().A.V3-1B.V3+IC.2V3+2D2'3-2,WrrJ1Ur=&ji'»fcTErrrj_£_-,-j.#

10、bl.ii，laaA-b-k-c)bc=0("+/)+亡(4+6)=(0+cN+b)=42%'3(a+ca+hr-<=>2o+/?+r>2(3-I).I2>鬲中攻苧辟题萧亮会沿54443究L若gb.c>0,且+2d6+4加=12,则0+6+c的最小值是将4机拆成2加+2位，然后利用力+F之2也，可得ulabI2acr4/ic二"b-ct2ub卜2uc-2hc-ubc即可.；_符申物字/娅班元会半方4449“二【例4】若。是正实数.2/+劭=10.则OJ2+N的最大值二高卬物字缪疑研究会3勿444泗2求积的最值.转化为和有定喳的毛式，把所

11、求关荽式往题设方程的方向转化即可得辉.学习必备欢迎下载解：3+针=4'工'613J<-L.2U-+6+3”V26<62_8476=需="<离中激学辨期斫式专【例5】若正数-y满足2"广3=0,则叶殳的最小值为V二鬲中效宇潺盛掰究全刀*2耳95解：法一：1=3-2,*+2fx+6-4m6-3xI*xyx(3-2x)x(3-2x)-2铲+3或6-31I1_】2x2-3x=2(x-2/+5(jc-2)+2=T16-3x3。-2)333(.v-2)=-ZZ之3522；一产3产刈二当且仅当工=1时等号成立.x+2y3x+2y(2x+y)(x2y)2x

12、52yxv3划3町3名由金导做人1.设正实数工*六二满足3号+4/-”0,则当V取得最«*大值时+2+'-工的最大值为（）.xyz9A，°B.lCq-砂口砂字源悬金主:必取41将？表示成*y的形式,利用基本不等式得出取等时乂fy，工之间的等量关系进而求薛.2”已知>0,A>0.值为.且满足30+6二口+口8.贝42。十/?的最小二局中效学蕾.胡斯究会:二科44泗工学习必备欢迎下载后b表示成日的形式，书题设2m+b转化为关于己的函数关字式.然后利用分离妾接结合基本不等式求解即可.基于m+b：y+咪类型的对称转换构造巴丁+力这类题型考察的构造忠想属于深层次的，属于中上难度的题型在迎刃这类题型如果能掌握对称原理r构造思路将会破壳而出.最值原理是对4原理最基本呈现形式r对称原理应用在不等式最值问题中，就是当对称元素达到地位相同、作用一样、数值相等时他们的对您