信号与系统31-34

1、信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系1信号与系统第三章 连续时间信号与系统的频域分析主讲：王秀红主讲：王秀红信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系2 时域分析时域分析以以冲激函数冲激函数d d(t)为基本信号为基本信号 任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和（由信号的时间分解）；（由信号的时间分解）；激励激励 响应响应 d d(t) h(t) 即即第三章第三章 连续时间信号与系统的频域分析

2、连续时间信号与系统的频域分析 ( ) ()df tft d ( ) ()df tft d ( ) ()dr tfh t ( )( )ZSrtf th t ( )( )ZSrtf th t信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系31( )( )jjjf tC g t函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和2212112( )( )d1( )( )d( )dtittiittiitf t g ttCf t g ttKgttu 信号的正交分解信号的正交分解第三章第三章 连续时间信号与系统的

3、频域分析连续时间信号与系统的频域分析设有正交函数集设有正交函数集g g1(t), g g2(t),g g n(t) , t(t1，t2)其中，系数其中，系数信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系4 所以，任意连续信号可以表示为所以，任意连续信号可以表示为一系列不同频率的正弦一系列不同频率的正弦函数或虚指数和虚指数函数函数或虚指数和虚指数函数ejnw wt之和之和（对于周期信号）或积（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。分（对于非周期信号）。 例例1 1:(1):(1)三角函数集三角函数集为为完备完备正交函数

4、集。正交函数集。1111111,cos,cos2,cos,sin,sin2,sin,ttntttntwwwwww(2)(2)复指数函数集复指数函数集1(0, 1, 2,)jn tenw 是一个复变函数集，也是完备正交函数集。是一个复变函数集，也是完备正交函数集。12Tw00( ,),t tT这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。故称为。故称为频域分析频域分析。信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系5核心思想：核心思想： “频域频域”中信号分解为正弦和余弦信号的叠加。中信号分解为正弦和

5、余弦信号的叠加。数学工具：数学工具：Fourier级数和级数和Fourier变换。变换。第三章第三章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系6 3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数 3.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 3.3 3.3 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 傅里叶变换傅里叶变换 3.4 3.4 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换 3.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质

6、3.6 3.6 卷积定理卷积定理 3.7 3.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 3.8 3.8 系统的频域分析及响应系统的频域分析及响应 3.9 3.9 已调信号的频谱已调信号的频谱信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系73.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶级数一、傅里叶级数第三章第三章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析 当周期信号当周期信号f（t）满足狄里赫利条件时，可展开为满足狄里赫利条件时，可展开为三角三角傅里叶级数傅里叶级

7、数或或复指数傅复指数傅里里叶级数叶级数。狄里赫利条件狄里赫利条件（1 1）在一周期内，间断点的数目有限；）在一周期内，间断点的数目有限；（2 2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；）在一周期内，极大、极小值的数目有限；（3 3）在一周期内，）在一周期内，dttfTtt11)( 电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当，当f(t)f(t)满足满足狄氏条件时，狄氏条件时， 才存在。才存在。iC三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数常用的傅里叶级数有常用的傅里叶级数有2 2类：类：信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海

8、）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系83.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数1. 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数0111( )cos()sin()2nnnaf tantbntww系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 0012( )cos()dtTntaf tnttTw0012( )sin()dtTntbf tnttTw可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。第三章第三章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析t0一般取一般取0或或-T/

9、2设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率w w1 1=2 /T，在在 基下的基下的正交分解正交分解11111,cos,sin,cos,sin,ttn tn twwww0002( )dtTtaf ttT信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系9 说明说明： 一个周期信号可以由无数个不同频率的、不一个周期信号可以由无数个不同频率的、不同幅度的正弦、余弦分量组成。同幅度的正弦、余弦分量组成。系数系数a0, an,bn,的大小代表了信号在不同频率的大小代表了信号在不同频率nw w1上的能量多少

10、，上的能量多少， nw w1代表了信号所包含的频率代表了信号所包含的频率成分的高低。成分的高低。 w w1称为称为基波角频率，基波角频率，简称简称“基频基频” nw w1称为称为谐波角频率，谐波角频率，简称简称“谐频谐频”3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数的的直流分量直流分量为：为： ( )f t( )f t 02an为整为整数数信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系10011( )cos()2nnncf tcntw可见可见cn是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数的

11、奇函数。an = cncos n， bn = cnsin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数其他形式：其他形式：余弦形式的傅里叶级数余弦形式的傅里叶级数011( )sin()2nnndf tdntw正弦形式的傅里叶级数正弦形式的傅里叶级数式中，式中，c0 = a022nnncabarctannnnba 幅度幅度相位相位幅度幅度相位相位式中，式中，d0 = a022nnndabarctanarctan2nnnnnabba幅度幅度相位相位可见可见dn是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数

12、的奇函数。bn = dncos n， an = dnsin n，n=1,2,类似的有类似的有信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系110111( )cos()sin()2nnnaf tantbntww2、指数形式的傅里叶级数、指数形式的傅里叶级数三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三的傅里叶级数。可从三角形式推出：角形式推出：利用利用 cosx=(ejx + ejx)/2， sinx=(

13、ejx - ejx)/2j 1()2nnnFajb令令1()2nnnFajb则则3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数11110111222jntjntjntjntnnnaaeebeejwwww110111222jntjntnnnnnaajbeajbeww信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系12表明：表明：任意周期信号任意周期信号f(t)可分解为无穷多具有不同幅度可分解为无穷多具有不同幅度的不同频率的虚指数信号之和的不同频率的虚指数信号之和。 F0 = a0/2为直流分量为直

14、流分量。 11012jntjntnnnaftF eF ewwF0 = a0/23.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数 1jntnnf tF ew 110112jntjntnnnnaF eF eww111012jntjntnnnnaF eF eww令令n = -n指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系13上面介绍了上面介绍了4种傅里叶级数：种傅里叶级数： 每种傅里叶级数都有每种傅里叶级数都有2个相互独立的变量个相互独立的变量组成组成三角级数

15、三角级数 正弦分量系数正弦分量系数an和余弦分量系数和余弦分量系数bn余弦级数余弦级数 幅度分量系数幅度分量系数cn和相位分量系数和相位分量系数 n正弦级数正弦级数 幅度分量系数幅度分量系数dn和相位分量系数和相位分量系数 n指数级数指数级数 复幅度复幅度Fn的实部和虚部分量的实部和虚部分量 或者复幅度或者复幅度Fn的模分量的模分量|Fn|和相位分量和相位分量arg(Fn)3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数小结：傅里叶级数小结：信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程

16、系143.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数02a02c02d信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系153.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数二、周期信号的频谱二、周期信号的频谱1. 频谱的引入频谱的引入周期信号可以展开成周期信号可以展开成4种傅里叶级数的形式，种傅里叶级数的形式，n=0，a0= c0= d0=2F0 - 直流分量或零频分量直流分量或零频分量n=1，频率为，频率为w w1的正弦或余弦分量的正弦或余弦分量 - 1次谐波次谐波或或基

17、波基波， 频率频率w w1为为基波频率，基波频率，简称简称“基频基频”频率为频率为nw w1的正弦或余弦分量的正弦或余弦分量 - n次次谐波谐波， 频率频率nw w1为为谐波频率，谐波频率，简称简称“谐频谐频”其中分量其中分量cn、dn、|Fn| -描述周期信号所包含的正弦、余弦和描述周期信号所包含的正弦、余弦和 复指数分量的复指数分量的幅度信息幅度信息； 分量分量 n、 n、arg(Fn)-描述周期信号所包含的正弦、余弦和描述周期信号所包含的正弦、余弦和 复指数分量的复指数分量的相位信息相位信息；信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程

18、学院 通信工程系通信工程系163.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数 以以频率频率f（或角频率（或角频率w w）为横坐标，）为横坐标， 以各次谐波分量以各次谐波分量的幅度或者复指数分量的幅度为纵的幅度或者复指数分量的幅度为纵坐标，坐标， 画出来的线谱，称为画出来的线谱，称为“或者或者“00.511.522.5300.81 CnC1C2C3w13w1 wnw1信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系173.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数

19、傅里叶级数 以频率以频率f（或角频率（或角频率w w）为横坐标，以各次谐波分量）为横坐标，以各次谐波分量的相位或者复指数分量的相位为纵坐标，画出来的相位或者复指数分量的相位为纵坐标，画出来的线的线谱，称为谱，称为“或者或者“00.511.52-0.500.511.522.533.5piw13w1wnw1信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系18线谱：线谱：每条竖线代表某一频率分量的幅度和相位的大小每条竖线代表某一频率分量的幅度和相位的大小.包络谱：包络谱：连接各谱线顶点的曲线；连接各谱线顶点的曲线；离散谱：离散

20、谱：频谱只出现在频谱只出现在整数频率整数频率处，描述一个周期信号中含有的处，描述一个周期信号中含有的具体频率成分以及各频率成分的大小和相位具体频率成分以及各频率成分的大小和相位.0)arg(nFwn0w|nF0wwnc0包络谱包络谱包络谱包络谱3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数011( )cos()2nnncf tcntw 1jntnnf tF ew信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系19注：注：1. 一般情况下，幅度谱和相位谱需要一般情况下，幅度谱和相位谱需要画在画在2

21、幅图中幅图中， 极少数情况也可以画在一幅图中，此时相位往往是很规则的极少数情况也可以画在一幅图中，此时相位往往是很规则的2. 这这4种傅里叶级数中，不是都能画出频谱种傅里叶级数中，不是都能画出频谱 只有只有 不可以画频谱。不可以画频谱。0111( )cos()sin()2nnnaf tantbntww3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数nF0w|nF0w0)arg(nFw信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系203.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅

22、里叶级数011( )cos()2nnncf t cnttjnnneFtf1)(wn0wwnc00)arg(nFw|nF0w信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系213.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系223.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）

23、信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系23三角形式与指数形式的比较三角形式与指数形式的比较单边幅度谱单边幅度谱 双边幅度谱双边幅度谱wnc0|nF0w3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系24011011( )cos(),2 ( )sin()2nnnnnncf tcntdf tdntww0111( )cossin2nnnaf tantbntww1( )jntnnf tF ew四种傅里叶级数 ()/2nnnFajb0000222cdaF 直

24、流分量 1111/2/211/2/2111122()cos()sin()22TTnnnTTFajbf tnt dtjf tnt dtTTww111/2/211( )TjntnTFf t edtTw所以，所以，22nnnncdab信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系25)(tf实实 傅立叶级数的特点：傅立叶级数的特点：nn ii) 为奇函数为奇函数nnFF为偶函数为偶函数i)1w1wn1wnw0FnF1w0nw1nw0 为实数时，为实数时， 的正负表示的正负表示 的的0和和，幅，幅度谱和相位谱度谱和相位谱画到一

25、张图上画到一张图上nFnFn信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系26负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。22111, 222nnnnnnnnnFFcdabFFc每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半；位置上各一半；只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。才代表一个分量的幅度。1w1wn1wnw0FnF1w01w13w0c1c3c2cw1nwnc

26、0信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系273.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系283.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数3. 周期信号的时域对称性与频谱的关系周期信号的时域对称性与频谱的关系周期信号的对称性可以分为周期信号的对称性可以分为2 2种：种： 整周期对称整周期对称 在一个周期内，例如主周期在一个周期内，例如主周期(-T/2,T/2

27、)(-T/2,T/2)内信号是对称的内信号是对称的 它包括：偶对称和奇对称它包括：偶对称和奇对称 半周期对称半周期对称 在半个周期内，信号是对称的在半个周期内，信号是对称的2T-2T1/2TEf(t)t1/2T0f(t)t0TT/2信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系29 周期函数的对称性与傅立叶级数的关系周期函数的对称性与傅立叶级数的关系 整周期对称整周期对称：决定傅立叶级数的正、余弦项决定傅立叶级数的正、余弦项偶函数偶函数：f (t) = f (-t)奇函数奇函数：f (t) = -f (-t) 半周期对

28、称半周期对称：决定傅立叶级数的奇、偶次项决定傅立叶级数的奇、偶次项奇谐函数奇谐函数：f (t) = -f (t T/2)偶偶谐函数谐函数：f (t) = f (t T/2)3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数f(t)t0T/2Tf(t)t0TT/2实际上就是周期为实际上就是周期为T/2T/2的周期信号的周期信号信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系303.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数011=cos()2nnaantw0111( )cos

29、()sin()2nnnaf tantbntww信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系311T)(tft000000nnaoraab3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数f(t)信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系323.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数11=sin()nnbntw0111( )cos()sin()2nnnaf tantbntww信号与系统信号

30、与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系331T)(tft0000nnaab3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数f(t)信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系34/20/22( )0TTaf t dtT/20/2111/2/2022( )cos( )cos( )cosTTnTTaf tntdtf tntdtf tntdtTTwww( )()2Tf tf t (3) 奇谐函数：奇谐函数：半周期对称半周期对称/2

31、T/2T/2Et)(tf/2E03.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数2/2/2110022( )cos()( )cos2TtTTTtTfndf tntdtTw w /21102( )coscos()Tf tntntndtTww/21021( 1) ( )cosTnf tntdtTw 信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系35同理同理12 kn1/21014( )sinTnbf tntdtTwii)当当时，时，kn20nb时，时，i)当当奇谐函数奇谐函数只含基波只含基波和奇次谐

32、波的正弦和奇次谐波的正弦和余弦项和余弦项不含有偶次分量不含有偶次分量kn20nai)当当时，时，12 kn1/21014( )cosTnaf tntdtTwii)当当时，时，1/210121 ( 1) ( )cosTnnaf tntdtTw 3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数1/210121 ( 1) ( )sinTnnbf tntdtTw 信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系361( )()2Tf tf t(4)偶谐函数偶谐函数：1111/20/2111/2/20112

33、2( )cos( )cos( )cosTTnTTaf tntdtf tntdtf tntdtTTwww111/2/20/201124( )( )TTTaf t dtf t dtTT不一定为不一定为0/2T/2Tf(t)t03.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数11112/2/211100122( )cos()( )cos2TtTTTtTfndf tntdtTw w 1/211012( )coscos()Tf tntntndtTww1/210121( 1) ( )cosTnf tntdtTw 信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业

34、大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系37kn2tdtntfTaTn1201cos)(41w12 kn0nai)当当时时,ii)当当时时,同理同理kn21/21014( )sinTnbf tntdtTwii)当当时时,12 kn0nb时时,i)当当偶谐函数偶谐函数只含直只含直流和偶次谐波流和偶次谐波不含有奇次分量不含有奇次分量1/210121( 1) ( )cosTnnaf tntdtTw 3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程

35、系38/2040( )sinTnnabf tn tdtT，的对称条件)(tf），纵轴对称（偶函数)()(tftf），半周镜像（奇谐函数)()(2Ttftf），半周重叠（偶谐函数)()(2Ttftf，原点对称（奇函数）)()(tftf展开式中系数特点/2040( )cosTnnbaf tn tdtT，和偶次谐波无奇次谐波，只有直流谐波分量无偶次谐波，只有奇次3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系393.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的

36、频谱分析傅里叶级数傅里叶级数函数波形举例直流分量余弦正弦偶次项奇次项偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数-3-2-10123-1-0.500.51tf(t)-3-2-10123-0.60.811.2 f(t) t T/2 -T/2 E-3-2-10123-1-0.500.51 f(t)t E/2-E/2 -T/2T/2/ 2T/ 2T 信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系403.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数函数波形举例直流分量余弦正弦偶次项奇次项偶函数有有有

37、有奇函数有有有奇谐函数有有有偶谐函数有有有有-3-2-10123-1-0.500.51tf(t)-3-2-10123-0.60.811.2 f(t) t T/2 -T/2 E-3-2-10123-1-0.500.51 f(t)t E/2-E/2 -T/2T/2/ 2T/ 2T 信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系41补充知识点：周期信号的功率补充知识点：周期信号的功率Parseval等式等式222200111( )()|22TnnnncPft dtcFT直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量

38、在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。 n0时，时， |Fn| = cn/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为上式也表明：时域和频域的能量守恒。上式也表明：时域和频域的能量守恒。3.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数2201( )|Tnnft dtFT信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系423.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱第三章第三章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析 周期

39、正弦信号周期正弦信号 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号 周期半波余弦脉冲信号周期半波余弦脉冲信号 周期全波余弦脉冲信号周期全波余弦脉冲信号信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系433.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱一、周期正弦信号一、周期正弦信号 sinf tAtw信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系443.2 3.2 典型周期信号的频谱典型

40、周期信号的频谱 12sin4f ttw以 为例，求其频谱n42信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系453.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 12sin4f ttw以 为例，求其频谱nc24nw1w信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系463.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱 12sin4f ttw以 为例，求其频谱nFw1w11w4nw1w41w信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电

41、气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系47n42nc24nw1wnFw1w11w4nw1w41w3.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱单频正弦波只有一个频率分量只有一个频率分量，但它的复指数级数有两项不为0，这两个不为0的频率位置是镜像的。信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系48周期矩形脉冲周期矩形脉冲 对称脉冲对称脉冲 移位移位周期方波周期方波 占空比占空比=0.5 偶对称偶对称 奇对称奇对称-10-8-6-4-20246810-1-0.8-0.6-0.4-0

42、.0.81二、周期矩形脉冲信号二、周期矩形脉冲信号单极性单极性双极性双极性1Td占空比占空比极性极性参数：参数：脉冲宽度脉冲宽度 重复周期重复周期T T1 1 幅度幅度E E3.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系49（1）周期矩形脉冲）周期矩形脉冲脉冲宽度脉冲宽度重复周期重复周期T1 三角形式展开三角形式展开)cos()cos()(1110tnbtnaatfnnnww/20/21112aEEdtTT011111n 112( )cos()(

43、)cos()2nnaEEnf tantSantTTTww)2()(2)sin(2)2cos(2111112/2/11wwnSaETnSaTETnnEdttTnETan0nb-10-8-6-4-20246810-0.60.811.2f(t) E)2()2()(tutuEtf111Tn)Tnsin()TnSa(抽样函数3.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系50指数形式指数形式 )2(2)(111112/2/11wwwnSaETnSaTEdtEe

44、TFtjnn)cos()2(2)cos()(2)(111111111111tnnSaEEtnTnSaTETE)tncos(aatfnnnn0wwwwwwtjnntjnnntjnnenSaEeTnSaTEeFtf111)2(2)()(1111wwwwwnnn F (ajb )/200002Fcda3.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系51给定给定 、T1(或或w w1)、E，可直接求出，可直接求出:直流分量直流分量余弦分量余弦分量正弦分量正弦分量频谱频谱0112

45、EaT11112()()2nEnEnaSaSaTTww0nb nnca12nnFa信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系52周期矩形函数的频谱图024681012141618-0.0200.020.040.060.080.10.12Cn 024681012141618-0.0200.020.040.060.080.10.12|Cn| -15-10-5051015-0.0200.020.040.060.080.10.12Fn024681012141618-0.500.511.522.533.54pi 单边幅度相位

46、单边幅度相位双边幅度相位双边幅度相位单边幅度单边幅度单边相位单边相位11112()()2nEnEnaSaSaTTww信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系53：谱线间隔w1， T1 w1 ，谱线加密 )cos()(2)cos()(11111110tnTnSaTETEtnaatfnnnw024681012141618-0.0200.020.040.060.080.10.12|Cn| w12/T12/当当T1，则，则w10，谱线间隔为，谱线间隔为0所以，非周期信号的频谱是连续的所以，非周期信号的频谱是连续的信号与系

47、统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系54：谱线只出现在谐波频率nw1上l各频率分量的幅度大小 正比于脉幅E和脉宽，反比于反比于周期周期T1l各谱线幅度按Sa(w/2)包络线的规律变化当w=2m/时， 包络线经过零点零点当w(2m+1)/时， 包络线经过极值点极值点)cos()(2)cos()(11111110tnTnSaTETEtnaatfnnnw024681012141618-0.0200.020.040.060.080.10.12|Cn| 2/4/6/信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈

48、尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系55024681012141618-0.0200.020.040.060.080.10.12|Cn| ：l无数条谱线，主要无数条谱线，主要能量集中在第一零点能量集中在第一零点(正负正负)之内之内l随着频率的增加，谱线的幅度呈收敛状随着频率的增加，谱线的幅度呈收敛状B=2/：若信号：若信号f(t)的频谱在的频谱在w wB之之后均为后均为0，则，则f(t)为带宽受限的，为带宽受限的，将将B称为称为f(t)的带宽的带宽矩形信号矩形信号频带宽度频带宽度 B=2 / ，或者，或者 Bf = 1/ 通信系统为了减小带宽通信系统为了减小带宽,允许失

49、真允许失真 信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系56脉宽、周期与带宽的关系脉宽、周期与带宽的关系脉冲重复周期脉冲重复周期T1越大，谱线越密：越大，谱线越密：间隔间隔 w w1= 2 /T1 保持不变，保持不变，T1对频谱的影响，对频谱的影响， T1 ？ -10-50510-0.60.811.2f(t) -15-10-5051015-0.0200.020.040.060.080.10.12Fn-10-50510-0.60.811.2f(t) -15-10-5051015-

50、0.0200.020.040.060.080.10.12Fn )cos()(2)(11111tnTnSaTETEtfnw信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系57脉冲宽度脉冲宽度 越大，频带宽度越大，频带宽度B越小：越小：频带宽度频带宽度B=2 / ，能量集中在能量集中在w w=02 / 内内 T1保持不变，保持不变， 对频谱的影响，对频谱的影响， ？ -10-50510-0.60.811.2f(t) -15-10-5051015-0.0200.020.040.060.080.10.12Fn

51、-15-10-5051015-0.0200.020.040.060.080.10.12Fn -10-50510-0.60.811.2f(t)信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系58信号特点信号特点正负交替，直流分量为零正负交替，直流分量为零脉冲宽度脉冲宽度 等于等于周期周期T1的一半的一半频谱只包含频谱只包含奇次奇次谐波谐波两方面解释：两方面解释：由于脉宽是周期的一半，偶次谐波落在零值点由于脉宽是周期的一半，偶次谐波落在零值点是是偶函数偶函数、奇谐函数奇谐函数，所以只有基波和，所以只有基波

52、和奇次奇次余弦项余弦项（2）对称方波）对称方波)5cos(51)3cos(31)cos()(111ttt2Etfwww-10-8-6-4-20246810-1-0.8-0.6-0.4-0.60.81)cos()(2)(11111tnTnSaTETEtfnw信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系59对称方波的波形和频谱-10-8-6-4-20246810-1-0.8-0.6-0.4-0.60.81024681012-0.60.8102468101200.

53、1024681012-0.500.511.522.533.54信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系60脉宽、周期与带宽的关系脉宽、周期与带宽的关系脉冲重复周期脉冲重复周期T1越大，谱线越密，谱线间隔越大，谱线越密，谱线间隔2 / T1脉冲宽度脉冲宽度 越大，频带宽度越大，频带宽度B越小，越小，包络第一零点包络第一零点2 / -10-50510-0.60.811.2f(t) -10-50510-0.60.811.2f(t) -15-10-5051015

54、-0.0200.020.040.060.080.10.12Fn -10-50510-0.60.811.2f(t) -15-10-5051015-0.0200.020.040.060.080.10.12Fn-15-10-5051015-0.0200.020.040.060.080.10.12Fn -10-50510-0.60.811.2f(t)信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系61 理论上周期矩形脉冲信号是理论上周期矩形脉冲信号是无穷项复指数之和无穷项复指数之和，用有限

55、项级数逼，用有限项级数逼近时，将会产生误差。近时，将会产生误差。 项数越多近似程度越好，误差越小项数越多近似程度越好，误差越小， 从频谱的角度，从频谱的角度，N项级数逼近，相当于信号的频谱宽度为项级数逼近，相当于信号的频谱宽度为 。 当周期矩形脉冲信号存在间断点时，无论多高频率的正弦波也不当周期矩形脉冲信号存在间断点时，无论多高频率的正弦波也不可能完全逼近间断点的情况，会在间断点的两侧形成振荡。可能完全逼近间断点的情况，会在间断点的两侧形成振荡。1wN周期矩形脉冲信号的拟合：周期矩形脉冲信号的拟合：N=5 N=11N=7 N=21信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔

56、滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系62振荡逐渐衰减，振荡的幅度与不连续点的跳变振荡逐渐衰减，振荡的幅度与不连续点的跳变大小有关，最大幅度约为大小有关，最大幅度约为跳变值的跳变值的9%。这个现。这个现象称为象称为吉布斯振荡吉布斯振荡或吉布斯现象。或吉布斯现象。随着级数的项数增加，吉布斯振荡的频率增加，随着级数的项数增加，吉布斯振荡的频率增加，但最大但最大幅度不会减小幅度不会减小。9%信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系63三、周期锯齿脉冲信号三、周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲周期锯齿脉冲

57、有直流有直流 无直流无直流信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系64周期锯齿脉冲周期锯齿脉冲奇函数奇函数 只有只有正弦项正弦项1111111E111( )sin()sin(2)sin(3)sin(4)234E1( 1)sin()nnf tttttntnwwwww0000nnaab|nF0wtft2 /2 /11TTE/2信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系65信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工

58、业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系6611111111E111( )sin()sin(2)sin(3)sin(4)234E1( 1)sin()nnf tttttntnwwwww1121EE1( )+( 1)sin()2nnf tntnw1321EE1( )()+( 1)sin()2nnf tftntnw信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系67四、周期三角脉冲信号四、周期三角脉冲信号周期三角脉冲周期三角脉冲 有直流有直流 无直流无直流信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学

59、院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系68周期三角脉冲周期三角脉冲（a）偶函数）偶函数, 只有只有直流、余弦项直流、余弦项（b）奇谐函数奇谐函数+E/2 只有只有奇次奇次余弦项余弦项)(tf2 /2 /11TTE0E22a直流分量直流分量2224Esin ()2nnan余弦分量余弦分量0nb 正弦分量正弦分量信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系69周期三角脉冲周期三角脉冲)cos()2(sin14E2E)5cos(51)3cos(31)cos(4E2E)(12122121212tnn

60、nttttfnwwww0w|nF0.2E0.0225E1w13w15w0wnc0.5E0.4E0.045E1w13w15w信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系70信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系710w)(tf2 /2 /11TT|nF0w)(1tf2 /2 /11TT|1nFEE/2信号与系统信号与系统哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系通信工程系72周期锯齿脉冲