第二章 电力系统状态估计

1、第二章 电力系统状态估计第1页，共151页。 一一 常规状态估计的概念常规状态估计的概念 根据可获取的根据可获取的量测数据量测数据估算系统内部状态估算系统内部状态的方法。的方法。 由于随机干扰及测量误差的介入，无论是由于随机干扰及测量误差的介入，无论是理想的运动方程或测量方程均不能求出精确理想的运动方程或测量方程均不能求出精确的状态向量。只有通过统计学的方法加以处的状态向量。只有通过统计学的方法加以处理以求出对状态向量的估计值。这种方法，理以求出对状态向量的估计值。这种方法，称为状态估计。称为状态估计。一概述第2页，共151页。 状态估计分为动态估计和静态估计两种。状态估计分为动态估计和静态估

2、计两种。动态估计动态估计: :根据运动方程以某一时刻的测量数根据运动方程以某一时刻的测量数据作为初值进行下一个时刻状态量的估计，叫据作为初值进行下一个时刻状态量的估计，叫做动态估计；做动态估计；静态估计静态估计: :仅仅根据某时刻测量数据，确定该仅仅根据某时刻测量数据，确定该时刻的状态量的估计，叫做静态估计。时刻的状态量的估计，叫做静态估计。本章介绍电力系统的静态估计。本章介绍电力系统的静态估计。一概述第3页，共151页。二二 电力系统状态估计的必要性电力系统状态估计的必要性 SCADA(SCADA(Supervisory Control And Data Acquisition)装置采集电网

3、中的信息，并通过信息网络将采集数据传送至能装置采集电网中的信息，并通过信息网络将采集数据传送至能量控制中心的计算机监控系统。量控制中心的计算机监控系统。所获得的数据用于一系列应用程序，包括保证系统的经济运所获得的数据用于一系列应用程序，包括保证系统的经济运行及对系统发生设备或线路故障时进行安全性评估分析，并行及对系统发生设备或线路故障时进行安全性评估分析，并最终构成了我们所称的能量管理系统（最终构成了我们所称的能量管理系统（EMSEMS）。）。 电力系统状态估计（电力系统状态估计（POWER SYSTEM STATE ESTIMATIONPOWER SYSTEM STATE ESTIMATIO

4、N）是是EMSEMS中保证电力系统实时数据质量的重要一环，它为其它中保证电力系统实时数据质量的重要一环，它为其它应用程序的实现奠定了基础。应用程序的实现奠定了基础。 一概述第4页，共151页。n采集数据存在的问题采集数据存在的问题采集的数据是有误差的，不可靠（错误数据）或者局采集的数据是有误差的，不可靠（错误数据）或者局部信息不完整。部信息不完整。 模拟量模拟量母线电压、线路功率、负载功率。母线电压、线路功率、负载功率。 一般要经过互感器、功率变换器、一般要经过互感器、功率变换器、A/D转换器量化成转换器量化成数字量，并通过通信传送到控制中心。数字量，并通过通信传送到控制中心。 开关量开关量断

5、路器、隔离开关等位置信息。断路器、隔离开关等位置信息。 由于通信状态定义不一致造成开关位置错误。由于通信状态定义不一致造成开关位置错误。 测量装置不全或种类限制。测量装置不全或种类限制。一概述第5页，共151页。n电力系统状态估计电力系统状态估计：对给定的系统结构及量对给定的系统结构及量测配置，在量测量有误差的情况下，估计出系测配置，在量测量有误差的情况下，估计出系统的真实状态统的真实状态-各母线上的电压相角与模值及各母线上的电压相角与模值及各元件上的潮流。各元件上的潮流。作用：作用： 提高数据精度，去除不良数据提高数据精度，去除不良数据 计算出难以测量的电气量，相当于补充了量测量。计算出难以

6、测量的电气量，相当于补充了量测量。 状态估计为建立一个高质量的数据库提供数据信息，以便状态估计为建立一个高质量的数据库提供数据信息，以便于进一步实现在线潮流、安全分析及经济调度等功能。于进一步实现在线潮流、安全分析及经济调度等功能。 一概述第6页，共151页。n实现状态估计需要的条件：实现状态估计需要的条件： 1.1.量测冗余度：量测冗余度：量测冗余度是指量测量个数量测冗余度是指量测量个数m与待估计与待估计的状态量个数的状态量个数n之间的比值之间的比值m/n。 系统冗余度越高，对状态估计采用一定的估计方法排系统冗余度越高，对状态估计采用一定的估计方法排除不良数据以及消除误差影响就越好。冗余量测

7、的存在是除不良数据以及消除误差影响就越好。冗余量测的存在是状态估计可以实现提高数据精度的基础。状态估计可以实现提高数据精度的基础。 2. 分析系统分析系统可观性可观性 当收集到的量测量通过量测方程能够覆盖所有母线的电压当收集到的量测量通过量测方程能够覆盖所有母线的电压幅值和相角时，则通过状态估计可以得到这些值，称该系统是幅值和相角时，则通过状态估计可以得到这些值，称该系统是可观测的可观测的一概述第7页，共151页。 由于电力系统远动装置的工作情况经常变化，由于电力系统远动装置的工作情况经常变化，当远动信息量严重不足时，状态估计无法工作。当远动信息量严重不足时，状态估计无法工作。因此，在状态估计

8、之前应先进行因此，在状态估计之前应先进行可观察性检验可观察性检验。如果系统中某些部分被判定是不可观察的，无如果系统中某些部分被判定是不可观察的，无法通过状态估计建立实时数据库，则应把它从法通过状态估计建立实时数据库，则应把它从状态估计的计算中退出来，或用增加人工设置状态估计的计算中退出来，或用增加人工设置的虚拟测量或称伪测量数据来使它变成可观察的虚拟测量或称伪测量数据来使它变成可观察的。的。一概述第8页，共151页。n协同状态估计工作的是协同状态估计工作的是不良数据的检测与辨不良数据的检测与辨识识，如果有误差很大的，一般没有随机性的数，如果有误差很大的，一般没有随机性的数据（也称不良数据），就

9、应该将它剔除，并重据（也称不良数据），就应该将它剔除，并重新进行状态估计，最终建立起完整的电力系统新进行状态估计，最终建立起完整的电力系统模型。模型。 由于状态估计必须在几分钟内完成，因此它由于状态估计必须在几分钟内完成，因此它通常可以跟踪节点负荷的变化规律，在必要时通常可以跟踪节点负荷的变化规律，在必要时可用来提供补充的测量量。因此，状态估计的可用来提供补充的测量量。因此，状态估计的计算结果也可以用于负荷预测。计算结果也可以用于负荷预测。一概述第9页，共151页。网络结构处理不良数据检测与辨识可观察性检验状态估计器负荷预计实时数据库有无图2-1电力系统状态估计的功能流程框图 一概述第10页，

10、共151页。 三三 状态估计与常规潮流计算的比较状态估计与常规潮流计算的比较图图2-2 2-2 状态估计与潮流计算的比较框图状态估计与潮流计算的比较框图(a)(a)潮流计算；潮流计算；(b)(b)状态估计状态估计一概述第11页，共151页。 潮流计算与状态估计的区别潮流计算与状态估计的区别 潮流计算方程式的数目潮流计算方程式的数目等于等于未知数的数目。未知数的数目。而状态估计的测量向量的维数一般而状态估计的测量向量的维数一般大于大于未知状未知状态向量的维数，即方程数的个数多于未知数的态向量的维数，即方程数的个数多于未知数的个数。其中，测量向量可以是节点电压、节点个数。其中，测量向量可以是节点电

11、压、节点注入功率、线路潮流等测量量的任意组合。注入功率、线路潮流等测量量的任意组合。两者求解的数学方法也不同。潮流计算一般两者求解的数学方法也不同。潮流计算一般用牛顿用牛顿- -拉夫逊法求解拉夫逊法求解 个非线性方程组。而个非线性方程组。而状态估计则是根据一定的估计准则，按估计理状态估计则是根据一定的估计准则，按估计理论的方法求解方程组。论的方法求解方程组。2n一概述第12页，共151页。 状态估计中的状态估计中的“估计估计”不意味着不准确，不意味着不准确，相反，对于实际运行的系统来说，不能认相反，对于实际运行的系统来说，不能认为潮流计算是绝对准确的，而状态估计的为潮流计算是绝对准确的，而状态

12、估计的值显然更准确。值显然更准确。状态估计可认为是一种广义潮流，而常规潮流状态估计可认为是一种广义潮流，而常规潮流计算是一种狭义潮流，及状态估计中计算是一种狭义潮流，及状态估计中m=nm=n的特的特例。例。一概述第13页，共151页。第14页，共151页。第15页，共151页。第16页，共151页。一一 电力系统测量系统的数学描述电力系统测量系统的数学描述 电力系统的量测量：电力系统的量测量：二电力系统状态估计的数学描述与可观察性ijijiiiPQPQVz式中，z为量测向量，假设维数为m；Pij为支路ij有功潮流量测量；Qij为支路ij无功潮流量测量；Pi为母线i有功注入功率量测量；Qi为母线

13、i无功注入功率量测量；Vi为母线i的电压幅值量测量。 第17页，共151页。n待求状态变量，待求状态变量，如果系统结构与参数都已知，根据状态变量就如果系统结构与参数都已知，根据状态变量就不难求出各支路的有功潮流、无功潮流及所有不难求出各支路的有功潮流、无功潮流及所有节点的注入功率。节点的注入功率。二电力系统状态估计的数学描述与可观察性iiV x = 式中，x为状态向量，i为母线i的电压相角; Vi为母线i的电压幅值。第18页，共151页。n量测方程式量测方程式 即联系状态向量与测量量向量之间的函数关即联系状态向量与测量量向量之间的函数关系。在考虑有测量噪声时，它们之间的关系系。在考虑有测量噪声

14、时，它们之间的关系为为 (2-1)(2-1) 式中：式中： 为为 维的测量量向量；维的测量量向量； 为测量为测量函数向量函数向量 (2-2)(2-2) 为测量噪声向量，其表达式为为测量噪声向量，其表达式为 (2-3)(2-3)二电力系统状态估计的数学描述与可观察性 zh xzm h x 12,Tmhhh hxxxx12,Tm 第19页，共151页。量测方程式：量测方程式： 二电力系统状态估计的数学描述与可观察性h(x)= ()()()()ijijijijijijiijijiijijiiPVQVPVQVV V，（ ）节点电压测量方程式：状态变量与支路潮流的非线性函数表达式。注入功率测量方程式：节

15、点注入功率与支路潮流的非线性函数表达式。第20页，共151页。 表表2-12-1列出五种基本测量方式。第一种测列出五种基本测量方式。第一种测量其维数为量其维数为 ，显然没有冗余度，这在状态，显然没有冗余度，这在状态估计是不实际的。第五种测量方式具有最高的估计是不实际的。第五种测量方式具有最高的维数和冗余度，但所需投资太高，也是不现实维数和冗余度，但所需投资太高，也是不现实的。因此，实际测量方式是第一到第四的组合。的。因此，实际测量方式是第一到第四的组合。二电力系统状态估计的数学描述与可观察性12N第21页，共151页。表表2-1 五种基本测量方式五种基本测量方式 测量方式的分量方程式 的维数（

16、1）平衡节点除平衡节点外所有节点的注入功率 、 式(2-4) 、(2-5) 、(2-9)（2） （1）加上所有节点的电压模值 式(2-4) 、(2-5) 、(2-9)（3） 支路两侧的有功、无功潮流 式(2-6) 、(2-7)（4） （3）加上所有节点的电压模值式(2-6) 、(2-7) 、(2-9)（5） 完全的测量系统式(2-4) (2-7)、(2-9)z h xziPiQiuikikkikiPQPQ、21N 32N 4M4MN432MN二电力系统状态估计的数学描述与可观察性第22页，共151页。 相应的方程式为相应的方程式为 (2-4)(2-4) (2-5) (2-5) (2-6) (2

17、-6) (2-7) (2-7) (2-8) (2-8) (2-9) (2-9) 二电力系统状态估计的数学描述与可观察性11NNiikikkikikikkikkkPee Gf Bff Ge B11NNiikikkikikikkikkkQfe Gf Bef Ge BikiikiikikiikiikikPe e ef ffge fff e eb222ikikiikiikikiikiikikiiYQe e ef ffbe fff e egefarctaniiif e222iiiuef第23页，共151页。图图2-3 2-3 形线路元件模型形线路元件模型二电力系统状态估计的数学描述与可观察性,ikikP

18、Q2ikYik,ikikrx,kikiPQjiiiiuefjkkkkuef2ikY第24页，共151页。 用测量量来估计系统的状态存在若干不准用测量量来估计系统的状态存在若干不准确的因素，概括起来有以下几点。确的因素，概括起来有以下几点。 （1 1）数学模型不完善数学模型不完善。测量数学模型通常。测量数学模型通常有工程性的近似处理。此外，还存在模型采用有工程性的近似处理。此外，还存在模型采用参数不精确的问题，另外，网络结构变化时，参数不精确的问题，另外，网络结构变化时，结构模型不能及时更新。上述问题属于参数不结构模型不能及时更新。上述问题属于参数不精确的，通常用参数估计方法解决；属于网络精确的

19、，通常用参数估计方法解决；属于网络结构错误的，则采用网络接线错误的检测与辨结构错误的，则采用网络接线错误的检测与辨识来解决。识来解决。二电力系统状态估计的数学描述与可观察性第25页，共151页。 （2 2）测量系统的系统误差测量系统的系统误差。这是由于仪表不。这是由于仪表不精确，通道不完善所引起的。它的特点是误差精确，通道不完善所引起的。它的特点是误差恒为正或负而没有随机性。一般这类数据属于恒为正或负而没有随机性。一般这类数据属于不良数据。清除这类误差的方法，主要是依靠不良数据。清除这类误差的方法，主要是依靠提高测量系统的精确性与可靠性，也可以用软提高测量系统的精确性与可靠性，也可以用软件方法

20、来检测与辨识出不良数据，并通过增加件方法来检测与辨识出不良数据，并通过增加测量系统的冗余度来补救，但这仅是一种辅助测量系统的冗余度来补救，但这仅是一种辅助手段。手段。二电力系统状态估计的数学描述与可观察性第26页，共151页。 （3 3）随机误差随机误差。这是测量系统中不可避免。这是测量系统中不可避免会出现的。其特点是小误差比大误差出现的会出现的。其特点是小误差比大误差出现的概率大，正负误差出现的概率相等，即概率概率大，正负误差出现的概率相等，即概率密度曲线对称于零值或误差的数学期望为零。密度曲线对称于零值或误差的数学期望为零。状态估计式状态估计式(2-1)(2-1)和式和式(2-3)(2-3

21、)中的误差向量中的误差向量 就是这种误差。就是这种误差。二电力系统状态估计的数学描述与可观察性第27页，共151页。 测量的随机误差或噪声向量测量的随机误差或噪声向量 是均值为是均值为零的高斯白噪声，其概率密度为零的高斯白噪声，其概率密度为 式中：式中： 是误差是误差 的标准差；方差的标准差；方差 越大表示误越大表示误差大的概率增大。差大的概率增大。二电力系统状态估计的数学描述与可观察性22222iiiipei2i第28页，共151页。 由于误差的概率密度或协方差很难由测量由于误差的概率密度或协方差很难由测量或计算确定，因此在实际应用中常用测量设或计算确定，因此在实际应用中常用测量设备的误差来

22、代替。测量误差的方差为备的误差来代替。测量误差的方差为 (2-11)(2-11) 式中：为仪表测量误差，一般取式中：为仪表测量误差，一般取0.01 0.02；为远动和模数转换的误差，一般取为远动和模数转换的误差，一般取0.0025 0.005；为满刻度时的仪表误差；为规格化因子。；为满刻度时的仪表误差；为规格化因子。二电力系统状态估计的数学描述与可观察性221211iiiiKrczcF1c2cFK第29页，共151页。 每个测量量的方差为每个测量量的方差为 。测量误差的。测量误差的方差阵，可以写成每个测量误差方差的对角方差阵，可以写成每个测量误差方差的对角阵为阵为 (2-12)(2-12)二电

23、力系统状态估计的数学描述与可观察性2iiiiRr21222mR第30页，共151页。二二 电力系统的可观察性电力系统的可观察性 电力系统状态能够被表征的必要条件是电力系统状态能够被表征的必要条件是它的可观察性。如果对系统进行有限次独立它的可观察性。如果对系统进行有限次独立的观察（测量），由这些观察向量所确定的的观察（测量），由这些观察向量所确定的状态是唯一的，就称该系统是可观察的。卡状态是唯一的，就称该系统是可观察的。卡尔曼最初提出可观察的概念只是在线性系统尔曼最初提出可观察的概念只是在线性系统范围内，在电力系统的问题中可以由式范围内，在电力系统的问题中可以由式(2-1)(2-1)的雅可比矩阵

24、的雅可比矩阵 来确定来确定 (2-13)(2-13)二电力系统状态估计的数学描述与可观察性H 0( )x xxhH xx第31页，共151页。 只要只要 阶测量矩阵阶测量矩阵 的秩为的秩为 ，则系统是，则系统是可观察的，这表示通过测量量可以唯一地确定可观察的，这表示通过测量量可以唯一地确定系统的状态量，或者说，测量点的数量及其分系统的状态量，或者说，测量点的数量及其分布可以保证系统是可观察的。在非线性系统中，布可以保证系统是可观察的。在非线性系统中，可观察性问题虽复杂得多，但可观察的一个必可观察性问题虽复杂得多，但可观察的一个必要但非充分条件仍是雅可比矩阵要但非充分条件仍是雅可比矩阵 的秩等于

25、的秩等于 ，每一时刻的测量量维数至少应与状态量的维数每一时刻的测量量维数至少应与状态量的维数相等。相等。二电力系统状态估计的数学描述与可观察性Hm nnHn第32页，共151页。 电力系统测量需要有较大的冗余度。有冗电力系统测量需要有较大的冗余度。有冗余度的目的是提高测量系统的可靠性和提余度的目的是提高测量系统的可靠性和提高状态估计的精确度。保证可观察性是测高状态估计的精确度。保证可观察性是测量点布置的最低要求。量点布置的最低要求。 前面说过，电力系统出现异常大误差的数据，前面说过，电力系统出现异常大误差的数据，称为不良数据。查找出不良数据，并将其剔除称为不良数据。查找出不良数据，并将其剔除是

26、建立实时数据库的基本要求。测量具有冗余是建立实时数据库的基本要求。测量具有冗余度则是实现这一工作的基本条件。度则是实现这一工作的基本条件。二电力系统状态估计的数学描述与可观察性第33页，共151页。状态估计算法分类：状态估计算法分类： 最小二乘法（最小二乘法（静态估计静态估计） 加权最小二乘法加权最小二乘法 快速解耦状态估计快速解耦状态估计 正交变换法正交变换法 支路潮流状态估计法支路潮流状态估计法 递推状态估计（动态估计）递推状态估计（动态估计）三 状态估计的算法第34页，共151页。一一 基本原理基本原理 静态估计是用一定的统计学准则通过静态估计是用一定的统计学准则通过测量向量测量向量 求

27、出状态向量求出状态向量 ，并使之尽量，并使之尽量接近其真值接近其真值 。 是一个估计值，估计值与是一个估计值，估计值与真值之间的误差称为估计误差真值之间的误差称为估计误差 (2-14)(2-14) 估计误差值估计误差值 是是 维向量。判断估计方法维向量。判断估计方法的优劣不是根据的优劣不是根据 中个别分量的估计误差值，中个别分量的估计误差值，而是根据而是根据 的整个统计特性来决定。的整个统计特性来决定。三最小二乘估计z xx xxxxx n x x第35页，共151页。 最小二乘估计是在电力系统状态估计中最小二乘估计是在电力系统状态估计中应用最为广泛的方法之一。它以测量值应用最为广泛的方法之一

28、。它以测量值 和测量估计值和测量估计值 之差的平方和最小为目标之差的平方和最小为目标准则，即准则，即 三最小二乘估计z z )()(T12zzzzxmiiizzJ第36页，共151页。 应用在电力系统，状态估计是按测量值应用在电力系统，状态估计是按测量值 与系统数学模型确定的值与系统数学模型确定的值 的误差平方和最的误差平方和最小来确定的系统状态小来确定的系统状态 ，即目标函数为，即目标函数为 (2-15)(2-15)三最小二乘估计iz xhix)()()()(T12xhzxhzxxmiiihzJ第37页，共151页。 二二 加权的意义加权的意义 上述方法对于任一个测量分量的误差上述方法对于任

29、一个测量分量的误差 都以相同的机会加进目标函数，即它都以相同的机会加进目标函数，即它们在目标函数中所占的份额一样。但由于各们在目标函数中所占的份额一样。但由于各个测量量的量测个测量量的量测精度不一致精度不一致，因此它们以同，因此它们以同样的权重组成目标函数是不合理的。为提高样的权重组成目标函数是不合理的。为提高整个估计值的精度，应该使各个量测量各取整个估计值的精度，应该使各个量测量各取一个权值，精度高的测量量权大一些，而精一个权值，精度高的测量量权大一些，而精度低的测量量权小一些。根据这一原理提出度低的测量量权小一些。根据这一原理提出了加权最小二乘准则。了加权最小二乘准则。三最小二乘估计 xh

30、zii第38页，共151页。 加权最小二乘准则的目标函数为加权最小二乘准则的目标函数为 (2-16)(2-16) 式中：式中： 为一适当选择的正定阵，当为一适当选择的正定阵，当 为单为单位阵时位阵时(2-16)(2-16)就是最小二乘准则。就是最小二乘准则。 假设假设 ， 为式为式(2-12)(2-12)的测量误差方差的测量误差方差阵。其中各元素为阵。其中各元素为 于是目标函数可写成于是目标函数可写成 (2-17)(2-17)三最小二乘估计)()()(TxhzxhzxWJWW1WRR121iiR)()()()(1T122xhzRxhzxxmiiiihzJ第39页，共151页。 三三 最小二乘算

31、法最小二乘算法 为线性函数为线性函数 先假定先假定 是线性向量函数。是线性向量函数。 (2-18)(2-18) 或或 式中：式中： 为为 矩阵，其元素为矩阵，其元素为 。 状态量的值状态量的值 与测量值与测量值 的关系为的关系为三最小二乘估计)(xh)(xhnjjijixhh1)( x), 2 , 1(miHx)(xhHm nijhxzvHxz第40页，共151页。 按最小二乘准则建立目标函数按最小二乘准则建立目标函数 或或 (2-19) (2-19) 对目标函数求导数并取为零，即对目标函数求导数并取为零，即 (2-20)(2-20) 。三最小二乘估计), 2 , 1(mk)(1THxzRHx

32、zxJmiinjjijixhzJ1221)x( 02)(121miiiknjjijikhxhzxxJ第41页，共151页。 亦即亦即 这是一组有这是一组有 个未知数的个未知数的 维方程组，联维方程组，联立求解即可求得立求解即可求得 的最佳估计值的最佳估计值 。三最小二乘估计mimiiikijnjiijikhzxhh11212nnxx 第42页，共151页。 写成矩阵方程式的形式，写成矩阵方程式的形式， (2-21)(2-21) ：称为：称为信息矩阵信息矩阵三最小二乘估计zRHHRHzRHHRHTTTT11111)( )(xx1TH R H：称为最佳估计值x 第43页，共151页。 状态估计值的

33、误差：状态估计值的误差： (2-21)(2-21) 测量量的测量量的测量值测量值与与估计值估计值的差称为的差称为残差残差残差残差方程方程称为称为残差灵敏度矩阵残差灵敏度矩阵三最小二乘估计 111111)()()(x RHHRHzHxRHHRHxTTTTWRHHRHHIxHHxzzrTT)(111111)(RHHRHHIWTT第44页，共151页。 为非线性函数为非线性函数 以上是在以上是在 为线性函数的前提下讨沦的。为线性函数的前提下讨沦的。但电力系统的测量函数向量但电力系统的测量函数向量 是非线性的是非线性的向量函数，这时无法直接由目标函数向量函数，这时无法直接由目标函数 的的极值条件求解极

34、值条件求解 ，需要用迭代的方法求解。，需要用迭代的方法求解。 1 1 设状态变量的初值为设状态变量的初值为 将将 在在 处线性化，并用泰勒级数在附近展处线性化，并用泰勒级数在附近展开，即开，即 (2-27)(2-27)三最小二乘估计)(xh)(xh)(xh)(xJx 0 x)(xh 0 x 0 x 00 h xh xH xx第45页，共151页。 是函数向量是函数向量 的雅可比矩阵，其元的雅可比矩阵，其元素为素为 (2-28)(2-28) 2 2 目标函数目标函数 略去略去 的高阶项，取目标函数为的高阶项，取目标函数为 (2-29)(2-29) 取取 ，有，有 (2-30)(2-30)三最小二

35、乘估计)(xh 0H x 00iijjhhxxx xx)()()()()() 0() 0(1T) 0() 0(xxHxhzRxxHxhzxJ 0 zzh x )()()0(1T)0(xxHzRxxHzxJ第46页，共151页。 3 3 极值条件极值条件即即则则式中式中 由此可得由此可得 (2-31)(2-31)三最小二乘估计0 xxd)(dJ)(d)( dd)(d)0(1T)0(xxHzRxxxHzxxJx)x(Hzxx)x(HzR)0()0(1ddT0)()(2)0(1)0(xxHzRxHTxxHRxHzRxH)()()()0(1)0(1)0(TTzxxzRxHxHRxHx1) 0() 0(

36、1) 0(1) 0(1) 0()()()()()(RHcTTT1)0(1)0()0()()()(xHRxHxcT 000001T xxxxc xHxRzh x第47页，共151页。 4 4 迭代格式迭代格式 当当 充分接近充分接近 时泰勒级数略去高阶项后才时泰勒级数略去高阶项后才是足够近似的。用式是足够近似的。用式(2-31)(2-31)作逐次迭代，可作逐次迭代，可以得到以得到 。若以。若以 表示迭代序号，式表示迭代序号，式(2-31)(2-31)可以写成可以写成 (2-32)(2-32) (2-33) (2-33) 0 xx x l( )( )1( )1( )1( )()()()()lTll

37、TllxHxR H xHxRzh x(1)( )( )lllxxx三最小二乘估计第48页，共151页。 5 5 收敛判据收敛判据 按式按式(2-32)(2-32)和式和式(2-33)(2-33)进行迭代修正，直进行迭代修正，直到目标函数接近于最小为止。所采用的收敛到目标函数接近于最小为止。所采用的收敛判据可以是以下三项中的任一项判据可以是以下三项中的任一项 （1 1） (2-34)(2-34) （2 2） (2-35)(2-35) （3 3） (2-36)(2-36)三最小二乘估计 maxixilx 1JJJllxx alx第49页，共151页。 上三式是三种收敛标准。其中式上三式是三种收敛标

38、准。其中式(2-34)(2-34)表表示状态修正量绝对值最大者小于规定的收敛标示状态修正量绝对值最大者小于规定的收敛标准，这是最常用的判据。准，这是最常用的判据。 可取基准电压模值可取基准电压模值的的 。 满足收敛标准时的满足收敛标准时的 即为最优状态估计即为最优状态估计值值 。此时测量量的估计值是。此时测量量的估计值是 。三最小二乘估计x461010 lxx zh x第50页，共151页。6 6 状态估计的计算步骤及程序框图状态估计的计算步骤及程序框图 当当 是是 的非线性函数时，进行状态估计的的非线性函数时，进行状态估计的步骤如下：步骤如下： 1)1)从状态量的初值计算测量函数向量从状态量

39、的初值计算测量函数向量 和雅可比矩阵和雅可比矩阵 。 2)2)由遥测量由遥测量 和和 计算残差计算残差 和目标和目标函数函数 ，并由雅可比矩阵，并由雅可比矩阵 计算信息计算信息矩阵矩阵 和向量和向量 。三最小二乘估计)(xhx)()0(xh)()0(xHz)()0(xh)()0(xhz )()(lJ x)()(lxHHRH1T)()(1lTxhzRH第51页，共151页。 3) 3)解方程式解方程式(2-32)(2-32)求得状态修正量求得状态修正量 ，并取，并取其中绝对值最大者其中绝对值最大者 。 4)4)检查是否达到收敛标准。检查是否达到收敛标准。 5)5)若未达到收敛标准，修改状态量，若

40、未达到收敛标准，修改状态量， 继续迭代计算，直到收敛为止。继续迭代计算，直到收敛为止。 6)6)将计算结果送入不良数据检测与辨识入将计算结果送入不良数据检测与辨识入口。口。三最小二乘估计x)(l)(maxliix)()() 1(lllxxx第52页，共151页。 图图2-42-4是加权最小二乘估计程序框图，其中是加权最小二乘估计程序框图，其中框框1 1包括输入各测量量的权值。框包括输入各测量量的权值。框1 1的初值在的初值在实际应用中一般取前一次状态估计的电压实际应用中一般取前一次状态估计的电压值，以加快迭代的收敛速度。框值，以加快迭代的收敛速度。框3 3中用现有中用现有的状态量的状态量 （如

41、电压模值与电压相角）计算（如电压模值与电压相角）计算 及其偏导数及其偏导数 。框。框4 4求解电压模值与相角的求解电压模值与相角的修正量，选出修正量，选出 及及 ，供框，供框5 5作收敛检查。框作收敛检查。框6 6转入下一次转入下一次迭代并对状态变量作修正。迭代并对状态变量作修正。三最小二乘估计x)(l),(uh),(uHiiumaxiimax第53页，共151页。图图2-4 2-4 加权最小二乘估计框图加权最小二乘估计框图 三最小二乘估计入口输入测量信息给定初值( )(),lH x)()(lxhHRH1T)()(1lTxhzRH计算计算计算x)(l)(maxliix解线性方程式(2-30)

42、求及l = l + 1)()() 1(lllxxx到不良数据检测与辨识入口l1)(maxliix第54页，共151页。 四四 信息矩阵（信息矩阵（ 阵）的特点阵）的特点 稀疏性和对称性稀疏性和对称性 因为因为 一般为稀疏矩阵，所以可以用一般为稀疏矩阵，所以可以用稀疏矩阵技巧进行求解。以下先讨论这个矩稀疏矩阵技巧进行求解。以下先讨论这个矩阵的结构，由式阵的结构，由式(2-32)(2-32)可得可得 (2-38)(2-38) 或写成或写成 (2-39)(2-39) 为了求解式为了求解式(2-39)(2-39)，先研究，先研究 阵的特点。阵的特点。三最小二乘估计1TH R H 11TT llllHx

43、R H xxHxRzh xAxbAA第55页，共151页。 阵的元素：阵的元素： 因为因为 是对角阵，所以是对角阵，所以 阵的结构与阵的结构与 的结构一致。由于的结构一致。由于 是稀疏的，而且是稀疏的，而且 和和 换位并不影响换位并不影响 的值，因此的值，因此 阵是阵是 的的对称稀疏矩阵对称稀疏矩阵。 阵的结构与导纳矩阵不一样，阵的结构与导纳矩阵不一样，取决于网络取决于网络结构与测点的布置。结构与测点的布置。三最小二乘估计Amkkkjkiijhha12mkkkikjjihha121RAHHTHkihkjhijaAn nA第56页，共151页。 的结构与网络结构和测点配置的关系的结构与网络结构和

44、测点配置的关系 三最小二乘估计An支路功率测量： 对连接两个节点的支路路，不论在线路哪一侧，也不论是有功或无功，只要有一个测量就能出现aij元素。n节点注入功率测量：对节点i的有功或无功注入的测量值，不仅与节点i的状态量有关，而且还与同节点i有直接连接的相邻节点的状态量有关。n3.节点电压测量 节点i的电压测量值仅在H阵i列有非零元素，在A阵 中也只影响相应的i行对角元第57页，共151页。 2 2节点注入功率测量节点注入功率测量 节点节点 的有功或无功注入的测量值，不仅与的有功或无功注入的测量值，不仅与节点节点 的状态量有关，而且还与同节点的状态量有关，而且还与同节点 直接直接连接的相邻节点

45、的状态量有关。连接的相邻节点的状态量有关。 对于图对于图2-52-5例子，在例子，在 阵中，相应于节点阵中，相应于节点 注入测量的行（设为注入测量的行（设为 行）的行）的 列以及与列以及与 相关的各节点（如相关的各节点（如 、）的列均为非零元、）的列均为非零元素，即素，即 、 、 、 为非零元素，即相应的为非零元素，即相应的阵为阵为三最小二乘估计iHiiimiiejkmehmihmjhmkh00memimjmkHhhhh 第58页，共151页。图图2-5 2-5 节点注入对节点注入对H H阵影响示意图阵影响示意图iekj三最小二乘估计第59页，共151页。 根据式根据式(2-38)(2-38)

46、可看出，这一测量值，在可看出，这一测量值，在 阵中将使阵中将使 、 、 六个非对角元发生六个非对角元发生变化（由于变化（由于 是对称阵，这里仅列出下三角部是对称阵，这里仅列出下三角部分）并成为非零元素（这时分）并成为非零元素（这时 、 、均非零）。、均非零）。它的作用相当于在它的作用相当于在 、 、 、 、 、 六六条支路上装有测量，而实际上图条支路上装有测量，而实际上图2-52-5中以虚中以虚线表示的线路是不存在的。线表示的线路是不存在的。 三最小二乘估计AieajeajiakeakiakjaAieaeeaeiaejaekaiiaijaikajeajiajjajkakeakiakjakkai

47、ejejikekikj第60页，共151页。 根据上述，对于图根据上述，对于图2-6(a)2-6(a)的网络与测点布的网络与测点布置情况，其置情况，其 阵的结构如图阵的结构如图2-6(b)2-6(b)所示，其所示，其中列号为节点号，亦即该节点的状态量电压模中列号为节点号，亦即该节点的状态量电压模值与电压相角的序号。值与电压相角的序号。 图中有图中有9 9个测量量，个测量量，7 7个状态量。个状态量。三最小二乘估计H第61页，共151页。图图2-6 2-6 信息矩阵的结构示意图信息矩阵的结构示意图(a)(a)系统网络示意图系统网络示意图;(b);(b)H H矩阵矩阵;(c);(c)A A矩阵矩阵

48、;(d);(d)A A矩阵网络示意图矩阵网络示意图电压测量；电压测量；支路功率测量；支路功率测量；注入功率测量注入功率测量三最小二乘估计432（a）1（d）4321（c） （b）P12 Q12P23 Q23P34 Q34V1P3 Q3 第62页，共151页。 由式由式(2-38)(2-38)， ， 阵结构如图阵结构如图2-6(c)2-6(c)所示。用图所示。用图2-6(c)2-6(c)的关联关系可以绘出的关联关系可以绘出 阵阵的线图的线图2-6(d)2-6(d)。 比较图比较图2-6(a)2-6(a)与图与图2-6(d)2-6(d)可见，可见，n 凡没有配置支路功率测量，且其两侧又无注凡没有配

49、置支路功率测量，且其两侧又无注入功率的，其入功率的，其 阵的阵的 。n 如果在节点如果在节点 有注入功率测量，则与有注入功率测量，则与 有关有关联的各节点间就形成一闭合的回路。联的各节点间就形成一闭合的回路。 三最小二乘估计A1TAH R HA0ija Aii第63页，共151页。四静态最小二乘估计的改进思想：思想：n有功与无功的分解。有功与电压模值，无功有功与无功的分解。有功与电压模值，无功与电压相角间联系很弱。与电压相角间联系很弱。 减少内存，提高每次迭代速度。减少内存，提高每次迭代速度。 但增加迭代次数但增加迭代次数n信息矩阵常数化进行一次因子分解信息矩阵常数化进行一次因子分解。对角。对

50、角化化提高计算效率提高计算效率第64页，共151页。 数学模型数学模型 对极坐标形式的电力系统加权最小二乘状态对极坐标形式的电力系统加权最小二乘状态估计基本算法进行简化。估计基本算法进行简化。 将状态变量按节点电压相角和模值分别排将状态变量按节点电压相角和模值分别排列，即列，即 将测量量按有功和无功分别排列，即将测量量按有功和无功分别排列，即 四静态最小二乘估计的改进UxvvUhUhzzzrarara),(),(第65页，共151页。 式中：表示支路有功潮流、节点有功注入测式中：表示支路有功潮流、节点有功注入测量量向量；表示支路无功潮流、节点无功注量量向量；表示支路无功潮流、节点无功注入、节点

51、电压模值的测量向量。入、节点电压模值的测量向量。 雅可比矩阵可表示为雅可比矩阵可表示为 (2-40)(2-40) 同时，对角权矩阵也相应地按有功和无功分别同时，对角权矩阵也相应地按有功和无功分别排列，即排列，即 (2-41)(2-41)四静态最小二乘估计的改进azrzrrraaraarraaHHHHUhhUhhUH),(raRRR00111raRRR00第66页，共151页。 信息矩阵可以写成信息矩阵可以写成 (2-42)(2-42) 在高压电网中，有功主要取决于节点电压相在高压电网中，有功主要取决于节点电压相角，无功主要取决于节点电压模值。即角，无功主要取决于节点电压模值。即四静态最小二乘估

52、计的改进111TTaaarTaaraaTTrarrarrrrHHHHR0H R HHHHH0R11111111TTTTaaaaararraaaaarrarrrTTTTaraaarrrraaraarrrrrrH R HH R HH R HH R HH R HH R HH R HH R HhUhUhhrraararraraaHHHH第67页，共151页。 因此，可引入第一项简化假设：因此，可引入第一项简化假设： 这样，这样， 矩阵变为准对角阵：矩阵变为准对角阵： 式式(2-42)(2-42)可以转化为对角矩阵可以转化为对角矩阵四静态最小二乘估计的改进00hUhra00raarHHHrraaHHH0

53、0rrTraaTaThRhhRh11100HRHA第68页，共151页。 如再假定各支路电阻远远小于电抗，支路两如再假定各支路电阻远远小于电抗，支路两端的相角差很小，各节点电压模值接近于参端的相角差很小，各节点电压模值接近于参考节点电压，即考节点电压，即 ， ， ， 这样有这样有 取支路电抗倒数（不计变压器非标准变比取支路电抗倒数（不计变压器非标准变比及线路对地电容的影响）；及线路对地电容的影响）； 取支路导纳的虚部（电压测量的取支路导纳的虚部（电压测量的 元素元素取取 ）。）。四静态最小二乘估计的改进ijijBG 0sinij1cosij0UUUjirrrraaaaUUBUhHBhH020)

54、()()()(120140rrTrraaTaaUUBRBABRBAaBrBrB01 U第69页，共151页。 于是信息矩阵就成为常数矩阵，不必在迭代于是信息矩阵就成为常数矩阵，不必在迭代过程中修改。过程中修改。 (2-43)(2-43) 对于修正方程右边项的处理不同于常规潮流对于修正方程右边项的处理不同于常规潮流计算。计算经验表明：计算。计算经验表明： 矩阵元素采用上述两矩阵元素采用上述两项假设比准确计算更有利于收敛性的改善，提项假设比准确计算更有利于收敛性的改善，提高迭代计算的速度。高迭代计算的速度。四静态最小二乘估计的改进rraaraTrrTaaTHHRRHHHRHA000000111ra

55、rrrTrraaaTaaA00AHRH00HRH11H第70页，共151页。 迭代的修正方程式可以写成迭代的修正方程式可以写成 (2-44)(2-44) (2-45) (2-45) 展开为展开为 (2-46)(2-46) (2-47) (2-47)四静态最小二乘估计的改进),(),(),(),()(11111UhzRHUhzRHUhzUhzRRHHHHxhzRHrrrTrraaaTaarraaraTrrTraTarTaaT00rarrrTaaaaTaUUbbUhzRBUhzRB),()(),()(10120)()(lalabA)()(lrlrbUA),()()()()()(120)(140ll

56、aaaTalaaTaUUUhzRBBRB),()()()()()(10)(120llrrrTalrrTrUUUhzRBUBRB第71页，共151页。 其中：其中： (2-48)(2-48) (2-49) (2-49) 式中：式中： 为节点电压相角的向量，为节点电压相角的向量， 为节点电为节点电压模值的向量。压模值的向量。 方程式方程式(2-44)(2-44)和式和式(2-45)(2-45)的方法，称为快速的方法，称为快速解耦状态估计算法。解耦状态估计算法。四静态最小二乘估计的改进 1,llTTlaruuhhaRzh u 1,llTTlar u uhhbRzh uuu la lb第72页，共15

57、1页。 当有功测量的维数为当有功测量的维数为 ，无功测量的维数，无功测量的维数为为 时，状态量时，状态量 、 的维数是网络节点数中的维数是网络节点数中减去平衡节点的状态量数，分别为减去平衡节点的状态量数，分别为 、 ，于，于是是 是是 阶的，阶的， 是是 阶的，阶的， 是是 阶阶常数对称矩阵，常数对称矩阵， 是是 阶常数对称矩阵，阶常数对称矩阵， 是是 维向量，维向量， 是是 维向量。维向量。四静态最小二乘估计的改进amrmuanrnaaHaamnrrHrrmnrAaann laan lbaArrnnrn第73页，共151页。 为进一步加快速度，可对式为进一步加快速度，可对式(2-44)(2-

58、44)和式和式(2-(2-45)45)右边也做类似简化。这种方法，也称为模右边也做类似简化。这种方法，也称为模分解估计算法。其简化式为分解估计算法。其简化式为 (2-50)(2-50) (2-51) (2-51)四静态最小二乘估计的改进 210,llTlaaaaU u uaBRzhu 210,llTlrrrrU u ubBRzhu 第74页，共151页。 支路潮流状态估计法是早期一种较成功的支路潮流状态估计法是早期一种较成功的算法。用这种算法进行状态估计算法。用这种算法进行状态估计仅需支路潮仅需支路潮流测量量，流测量量，在状态估计计算时在状态估计计算时将将支路功率支路功率转换转换成成支路两端电

59、压差支路两端电压差的量，最后得到与基本加权的量，最后得到与基本加权最小二乘估计相类似的迭代修正公式。最小二乘估计相类似的迭代修正公式。 由于这种方法只用支路测量量，所以也称由于这种方法只用支路测量量，所以也称“唯支路法唯支路法”。又由于这种方法需用支路测。又由于这种方法需用支路测量量转变成支路两端电压差的量，所以又量量转变成支路两端电压差的量，所以又称称“量测量变换法量测量变换法”。五支路潮流状态估计法第75页，共151页。 一一 数学模型数学模型 支路潮流测量量支路潮流测量量 ，表示连接节点，表示连接节点 、的、的支路支路 上测量到的复功率。若应用加权最小上测量到的复功率。若应用加权最小二乘

60、的算式，其目标函数为二乘的算式，其目标函数为 测量量向量测量量向量 是支路复潮流，以是支路复潮流，以 表示；表示； 测量函数向量测量函数向量 用用 表示，它是状态向量表示，它是状态向量- -节点复电压节点复电压 的函数。的函数。五支路潮流状态估计法ijkzMkS )()()()(1T122xhzRxhzxxmiiiihzJCS h xUMS第76页，共151页。 这样，状态估计目标函数为这样，状态估计目标函数为 (2-65)(2-65) 式中，式中， 是是 维实数对角矩阵。维实数对角矩阵。 若该支路若该支路 两端的节点电压为两端的节点电压为 ，则该支，则该支路两端的电压差为路两端的电压差为 (