第二十五章量子力学基础

1、第25章 量子力学基础玻尔的氢原子理论在解释比氢原子复杂的原子光谱时与实验玻尔的氢原子理论在解释比氢原子复杂的原子光谱时与实验结果有显著的偏差。同时它也不能计算谱线强度和能级间跃结果有显著的偏差。同时它也不能计算谱线强度和能级间跃迁的几率问题，它也无法说明为什么氢原子中核与电子间的迁的几率问题，它也无法说明为什么氢原子中核与电子间的库仑相互作用是有效的，而加速电子处于定态时发射电磁波库仑相互作用是有效的，而加速电子处于定态时发射电磁波的能力却消失了。的能力却消失了。对原子光谱的进一步研究应建立在更为严格的量子物理学的对原子光谱的进一步研究应建立在更为严格的量子物理学的基础上。基础上。本章主要内

2、容：本章主要内容：1、实物粒子的波粒二象性；、实物粒子的波粒二象性；2、不确定关系；、不确定关系；3、波函数、薛定谔方程及其应用。、波函数、薛定谔方程及其应用。25-1 德布罗意假设、 实物粒子的波粒二象性1、德布罗意假设：、德布罗意假设：1924年德布罗意（法国）从对称性出发，将光的波粒二象年德布罗意（法国）从对称性出发，将光的波粒二象性推广到了所有的实物粒子，认为实物粒子也具有波动性，性推广到了所有的实物粒子，认为实物粒子也具有波动性，称为称为德布罗意波德布罗意波或或物质波物质波。实物粒子的能量：实物粒子的能量：实物粒子的动量：实物粒子的动量： hmcE2 hmvp 以上两式称为以上两式称

3、为 德布罗意公式德布罗意公式 或或 德布罗意假设德布罗意假设。实物粒子波动性的实验证据实物粒子波动性的实验证据(1) 戴维孙戴维孙革末（美国）通过电子在晶体表面的散射实革末（美国）通过电子在晶体表面的散射实验得到了与验得到了与X射线衍射相似的电子衍射图象。（射线衍射相似的电子衍射图象。（1927年）年）电子在单晶金上的衍射图象电子在单晶金上的衍射图象 电子在金电子在金钒多晶上的衍射图象钒多晶上的衍射图象(2) 汤姆孙（英国）通过电子在多晶膜上的透射得到了环汤姆孙（英国）通过电子在多晶膜上的透射得到了环状的电子衍射图象。（状的电子衍射图象。（1927年）年）光的圆孔衍射图象光的圆孔衍射图象 电子

4、穿过金箔的衍射图象电子穿过金箔的衍射图象(3) 约恩孙从电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验证约恩孙从电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验证实了实了电子也具有波动性电子也具有波动性。约恩孙电子电子双缝、四缝衍射图象约恩孙电子电子双缝、四缝衍射图象以后的实验还证实了以后的实验还证实了中子、质子以及原子等都具有波动性中子、质子以及原子等都具有波动性。由于普朗克常量如此的小（由于普朗克常量如此的小（1034），使宏观粒子波动），使宏观粒子波动性（物质波）的频率如此的高、波长如此的短。所以宏性（物质波）的频率如此的高、波长如此的短。所以宏观粒子的波动性显现不出来，但微观粒子的波动性却相观粒子的波动性显

5、现不出来，但微观粒子的波动性却相当显著。当显著。ph,hE 由德布罗意公式，实物粒子波动性的频率和波长分别为：由德布罗意公式，实物粒子波动性的频率和波长分别为：一实物粒子的质量一实物粒子的质量m=1109kg，速率，速率v=1106m/s。求该粒子的德布罗意波长。求该粒子的德布罗意波长。m1063. 6)101)(101(1063. 6mvhph196934 例题例题1： （例（例25-1）求电子经求电子经U1 = 100 V 和和 U2 = 10000 V 电压加速后的德电压加速后的德布罗意波长。布罗意波长。不考虑相对论效应时：不考虑相对论效应时：例题例题2： )V10000U(sm1096

6、. 5v)V100U(sm1093. 5vmeU2veUmv212721612电子的德布罗意波长：电子的德布罗意波长： nm23. 1nm3 .12emU2hmvh21 U2=104V时，时，v=0.2c。若考虑相对论效应，则。若考虑相对论效应，则2有有3%的误差。的误差。求氢原子中基态电子的德布罗意波长。求氢原子中基态电子的德布罗意波长。低能时可不计相对论效应，所以氢原子中基态电低能时可不计相对论效应，所以氢原子中基态电子的动能为：子的动能为：k22kmE2pm2pmv21E 例题例题3： （例（例25-2）k2kEmc2hcmE2hph MeV511. 0mc,nmeV1240hc2 )n

7、m(E226. 1E10511. 021240kk6 求氢原子中基态电子的德布罗意波长。求氢原子中基态电子的德布罗意波长。氢原子处于基态时的轨道半径氢原子处于基态时的轨道半径 r = 0.529 = 0.0529 nm。例题例题3： （例（例25-2）eV6 .13r8eE02k )nm(0529. 02)nm(332. 0)nm(6 .13226. 1 可见，氢原子处于基态时的德布罗意波长正好等于氢原子可见，氢原子处于基态时的德布罗意波长正好等于氢原子第一玻尔轨道的周长！第一玻尔轨道的周长！由德布罗意假设可得到玻尔氢原子模型中的量子化条件：由德布罗意假设可得到玻尔氢原子模型中的量子化条件：要

8、使绕核运动的电子处于稳定状态，则与该电子相应的波必要使绕核运动的电子处于稳定状态，则与该电子相应的波必须是一个驻波。当电子绕核一周后，这个波的相位不变，即须是一个驻波。当电子绕核一周后，这个波的相位不变，即电子绕核运动的周长必须是其相应波长的整数倍，即：电子绕核运动的周长必须是其相应波长的整数倍，即：mvhnphnnr2 或：或：,3 ,2 , 1nn2hnmvr 这就是玻尔理论中的角动量量子化条件。这就是玻尔理论中的角动量量子化条件。可见：可见：德布罗意波的驻波条件就是玻尔氢原子理论的角动德布罗意波的驻波条件就是玻尔氢原子理论的角动量量子化条件量量子化条件。n = 3利用电子的波动性可制成分

9、辨率极高的电子显微镜。利用电子的波动性可制成分辨率极高的电子显微镜。光学显微镜与电子显微镜成像比较光学显微镜与电子显微镜成像比较光学显微镜的最大放大倍数只有光学显微镜的最大放大倍数只有1000倍左右，最大分辨距离约为倍左右，最大分辨距离约为0.2m；而电子显微镜当加速电势差达到；而电子显微镜当加速电势差达到10万伏特时，电子波的波万伏特时，电子波的波长只有长只有0.004m，比可见光短，比可见光短10万倍左右，所以电子显微镜能分辨万倍左右，所以电子显微镜能分辨单个原子的尺寸。单个原子的尺寸。2、德布罗意波（物质波）的统计解释）：、德布罗意波（物质波）的统计解释）：S发出的光波经双缝发出的光波经

10、双缝S 1、S2后，因干涉后，因干涉和衍射形成明暗相间的条纹。条纹的明和衍射形成明暗相间的条纹。条纹的明暗表示光强的分布。暗表示光强的分布。1926年，玻恩（德国）指出年，玻恩（德国）指出德布罗意波是概率波德布罗意波是概率波。光的双缝干涉的二象性解释：光的双缝干涉的二象性解释：波动理论：波动理论：光子理论：光子理论：单色光的每一光子带有相同的能量，屏单色光的每一光子带有相同的能量，屏上光强代表光子数量的多少。即明暗条上光强代表光子数量的多少。即明暗条纹的分布表示到达屏上光子数的分布。纹的分布表示到达屏上光子数的分布。ss1s2ss1s2设想光源设想光源S很弱，以致它一个一个间断地发出光子。因每

11、很弱，以致它一个一个间断地发出光子。因每一个光子都是一个集中单元，它只可能从双缝中的一条通一个光子都是一个集中单元，它只可能从双缝中的一条通过。对单个光子而言，它落在屏幕上的哪一点是不确定的过。对单个光子而言，它落在屏幕上的哪一点是不确定的（见图（见图25-5），但大量光子到达屏幕上的位置符合一定的），但大量光子到达屏幕上的位置符合一定的概率统计规律。而这一概率分布与由波动理论中干涉、衍概率统计规律。而这一概率分布与由波动理论中干涉、衍射所确定的光强分布一致。射所确定的光强分布一致。因此，因此，从光子概念出发，光是概率波从光子概念出发，光是概率波。ss1s2光子和电子穿过双缝时的衍射实验结果光

12、子和电子穿过双缝时的衍射实验结果由于微观粒子也具有波粒二象性，所以由于微观粒子也具有波粒二象性，所以与微观粒子相对与微观粒子相对应的德布罗意波（物质波）也应该是概率波应的德布罗意波（物质波）也应该是概率波。即：。即：电子逐个穿过双缝时的衍射实验结果电子逐个穿过双缝时的衍射实验结果单个粒子在空间的位置是不确定的，但大量粒子在空间单个粒子在空间的位置是不确定的，但大量粒子在空间的位置分布应该是由物质波的强度所确定的概率分布。的位置分布应该是由物质波的强度所确定的概率分布。物质波强度大的地方，粒子出现的概率也大。物质波强度大的地方，粒子出现的概率也大。25-2 不 确 定 关 系牛顿力学认为：质点沿

13、确定的轨道运动，任意时刻质点牛顿力学认为：质点沿确定的轨道运动，任意时刻质点具有确定的位置和动量。而质点的运动状态由其位置和具有确定的位置和动量。而质点的运动状态由其位置和动量决定。动量决定。量子力学认为：粒子具有波动性，其位置由概率波描述，量子力学认为：粒子具有波动性，其位置由概率波描述，而概率波只能给出粒子在各处出现的概率，而概率波只能给出粒子在各处出现的概率，因而粒子在因而粒子在任意时刻不具有确定的位置和动量任意时刻不具有确定的位置和动量。1927年海森堡（德国）根据量子力学证明微观粒子位置的年海森堡（德国）根据量子力学证明微观粒子位置的不确定量和动量的不确定量之间的关系为：不确定量和动

14、量的不确定量之间的关系为：上式称为海森堡坐标和动量的上式称为海森堡坐标和动量的不确定关系不确定关系。其意义是：。其意义是：微微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。2pz2py2pxzyx sJ100546. 12h34 利用电子的单缝衍射对不确定关系的简单证明：利用电子的单缝衍射对不确定关系的简单证明：设一束动量为设一束动量为p 的电子垂直入射在宽的电子垂直入射在宽为为x的单缝上。的单缝上。对一个电子而言，无法确定其通过缝对一个电子而言，无法确定其通过缝时的具体位置，即其时的具体位置，即其 x 方向的位置不方向的位置不确定量为确定量为x。电子通过单缝后，因

15、衍射作用，其动电子通过单缝后，因衍射作用，其动量的量的 x 分量分量 px0。若忽略次极大，则：若忽略次极大，则：1xsinpp0 1 为半角宽度：为半角宽度： 1sinxxxpxp1所以，电子在所以，电子在 x 方向的动量不确定量为：方向的动量不确定量为：若考虑次极大，则：若考虑次极大，则：即：即：1xsinpp0 更为精确的理论证明：更为精确的理论证明： 1sinxxhxhxpsinpp1x hpxx hpxx 24hpxx xxpxp1不确定关系揭示了一条重要的物理规律：不确定关系揭示了一条重要的物理规律：当：当：x时，时，px0，如：光的直线传播原理。，如：光的直线传播原理。注：由于注

16、：由于h是一个极小的物理量，所以对宏观粒子，不确是一个极小的物理量，所以对宏观粒子，不确定关系是察觉不到的。定关系是察觉不到的。粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和确定的动量。粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和确定的动量。当：当：x0时，时，px，这说明单缝越窄则衍射越明显。，这说明单缝越窄则衍射越明显。设子弹质量设子弹质量m=0.01kg，枪口直径，枪口直径0.5cm，由不确定，由不确定关系估算子弹射出枪口时的横向速度。关系估算子弹射出枪口时的横向速度。按题意，设按题意，设x = 0.5 cm。 4h2vmxpxxx 例题例题4：由不确定关系：由不确定关系：sm1005. 1xm4hv30

17、 x 可见：可见：vx 远小于子弹的飞行速度（几百米远小于子弹的飞行速度（几百米/秒），所以秒），所以由不确定关系引起的子弹横向速度不会影响其由不确定关系引起的子弹横向速度不会影响其“经典式经典式”的运动。的运动。显象管中的加速电压为显象管中的加速电压为9kV，电子枪的枪口直径为，电子枪的枪口直径为0.1mm，求电子射出枪口后的最小横向速度。，求电子射出枪口后的最小横向速度。sm100 . 6meU2v,eUmv2172 例题例题5： （例（例25-3）以非相对论形式讨论，则电子出枪口时的动能和速度为：以非相对论形式讨论，则电子出枪口时的动能和速度为：而电子出枪口时横向速度的不确定量为：而电子

18、出枪口时横向速度的不确定量为：sm6 . 0 xm4hv 可见，这一横向速度不会影响图象的清晰度。可见，这一横向速度不会影响图象的清晰度。求氢原子中电子速度的不确定量。求氢原子中电子速度的不确定量。m101x10 例题例题6： （例（例25-4）取电子的位置不确定量为氢原子大小的数量级，即：取电子的位置不确定量为氢原子大小的数量级，即：则由不确定关系，其速度的不确定量为：则由不确定关系，其速度的不确定量为：sm108 . 5xm4hv5 而玻尔模型中电子的轨道运动速度约为而玻尔模型中电子的轨道运动速度约为1106 m/ /s。可。可见见v与与v差不多处于同一数量级，因此在原子内部讨论差不多处于

19、同一数量级，因此在原子内部讨论电子的轨道运动已经毫无意义。电子的轨道运动已经毫无意义。不确定关系的另一重要形式为能量和时间的不确定关系：不确定关系的另一重要形式为能量和时间的不确定关系：由于处于激发态的原子都是不稳定的，其平均寿命由于处于激发态的原子都是不稳定的，其平均寿命t 约约为为108s数量级。由能量与时间的不确定关系可见，原子数量级。由能量与时间的不确定关系可见，原子激发态的能量也具有一个不确定量激发态的能量也具有一个不确定量E，即，即任何激发态任何激发态都具有一定的能级宽度都具有一定的能级宽度。实验也证实了能级宽度的存在，。实验也证实了能级宽度的存在，即单色光的谱线有一定的宽度。即单

20、色光的谱线有一定的宽度。24htE (1) 设电子在某激发态的平均寿命为设电子在某激发态的平均寿命为t =1108 s，求该激发态，求该激发态的能级宽度。的能级宽度。(2)设电子从某激发态向基态跃迁时产生的辐射波设电子从某激发态向基态跃迁时产生的辐射波长为长为400nm，并测得该谱线宽度为，并测得该谱线宽度为 1105 nm，求电子处于该，求电子处于该激发态的平均寿命。激发态的平均寿命。eV103 . 3t4hE8 例题例题7： （例（例25-5）(1) 由能量和时间的不确定关系：由能量和时间的不确定关系： hchE 所以，该激发态的平均寿命为：所以，该激发态的平均寿命为：(2) 由由对氢原子

21、光谱，当对氢原子光谱，当n不是很大时，这一能级宽度是很小的。不是很大时，这一能级宽度是很小的。所以氢原子谱线系中的各分立谱线是相当细的。所以氢原子谱线系中的各分立谱线是相当细的。得：得： 2hcE s1042. 0c41hc4hE2t822 25-3 波函数、薛定谔方程1、波函数、波函数 物质波的数学表达式：物质波的数学表达式：概率波的数学表达式称为概率波的数学表达式称为波函数波函数：其指数形式为：其指数形式为：)t , z , y,x( 沿沿x方向传播的单色平面光波的波函数为：方向传播的单色平面光波的波函数为：)xt(2cosA)t ,x(y )xt(2iAe)t ,x(y 沿沿x方向运动的

22、方向运动的自由粒子自由粒子的波函数为：的波函数为：)xt(2i0e)t ,x( 或：或：)pxtE(i0e)t ,x( hphE由物质波的统计意义：由物质波的统计意义：物质波的强度物质波的强度=粒子在空间各点处出粒子在空间各点处出现的概率现的概率。所以，某时刻、某点附近。所以，某时刻、某点附近dv体积内粒子出现的体积内粒子出现的概率为：概率为：dxdydzdvdv2 其其中中： 上式中，上式中， 为为空间某点附近单位体积内出现空间某点附近单位体积内出现粒子的概率粒子的概率，称为，称为概率密度概率密度。20*2 而粒子出现在整个空间内的概率应等于而粒子出现在整个空间内的概率应等于1，即：，即：1

23、dv2 整个空间整个空间称为波函数的称为波函数的归一化条件归一化条件。另外，波函数还应该满足如下的标准条件：另外，波函数还应该满足如下的标准条件：(1) 单值：单值：任意时刻，一个粒子只能出现在一个地方。任意时刻，一个粒子只能出现在一个地方。(2) 有限：有限：粒子出现在空间某处的概率不可能大于粒子出现在空间某处的概率不可能大于1。(3) 连续。连续。粒子运动过程中概率密度不可能发生突变。粒子运动过程中概率密度不可能发生突变。2、薛定谔方程：、薛定谔方程：质量为质量为m、动量为、动量为p、能量为、能量为E的一维自由粒子的波函数：的一维自由粒子的波函数：tEi)pxtE(i0e)x(e)t ,x

24、( 其中：其中：xpi0e)x( 与时间与时间t无关，称为无关，称为定态波函数定态波函数。上式对上式对x求二阶导数，得：求二阶导数，得：)x(pe)phi(dxd22xpi0222 非相对论情况下：非相对论情况下：k2mE2p 所以：所以：0)x(mE2dxd2k22 称为称为一维自由粒子的一维自由粒子的定态薛定谔方程定态薛定谔方程。若粒子在不随时间变化的势场若粒子在不随时间变化的势场U中运动，则其能量为：中运动，则其能量为：UEEUEEkk 或或此时此时一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程为：为：推广到三维空间，则有：推广到三维空间，则有：0)UE(m222 式中：式中： 为拉普拉斯算符。为

25、拉普拉斯算符。2222222zyx 以下三节讨论定态薛定谔方程在一些简单势场中的应用。以下三节讨论定态薛定谔方程在一些简单势场中的应用。0)x()UE(m2dxd222 24-4 一维无限深势阱经典理论：经典理论：一维无限深势阱的势能函数为：一维无限深势阱的势能函数为： ax,0 xax00)x(U因粒子不可能跃出势阱，所以：因粒子不可能跃出势阱，所以：当当 x0 和和 xa 时，时，(x) = 0 。(1) 粒子在势阱内的能量可以取任意值（连续）；粒子在势阱内的能量可以取任意值（连续）；(2) 粒子在势阱内各处出现的概率是相等的。粒子在势阱内各处出现的概率是相等的。 )x(U0)x(U U(

26、x)0ax )x(U量子理论：量子理论：0Em2xdd222 势阱内势阱内U=0，定态薛定谔方程为：，定态薛定谔方程为： )x(U0)x(U U(x)0ax )x(U令：令：Em2k22 则：则：0kxdd222 方程的解：方程的解：kxsinBkxcosA)x( 由边界条件：由边界条件： )x(U0)x(U U(x)0ax )x(U,.3 ,2 , 1n,anknka 或或 x = 0 时，时，(0) = 0 得：得：A = 0 x = a 时，时，(a) = 0 得：得：ax0 xansinB)x( 再由波函数的归一化条件：再由波函数的归一化条件：1aB21dx)xan2cos1(2Bxd

27、xansinBdx)x(2a0a0222a02 即：即：a2B 结论：结论：(1) 一维无限深势阱中粒子的波函数为：一维无限深势阱中粒子的波函数为：(2) 粒子在势阱内各处出现的概率密度为：粒子在势阱内各处出现的概率密度为：(3) 粒子可能具有的能量值为：粒子可能具有的能量值为：)ax0(xansina2)x( )ax0(xansina2)x(22 ,.)2 , 1n(nEnma2m2kE21222222n 2221ma2E 称为称为基态能量基态能量或或零点能零点能。可见：可见：一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的。一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的。4E19E116E125E1E1n=1n

28、=2n=3n=4n=50axEn|n |2讨论：讨论：(1) 一维无限深势阱中的粒子在势阱中一维无限深势阱中的粒子在势阱中各处出现的概率密度是不同的，并随量各处出现的概率密度是不同的，并随量子数而变。子数而变。(2) 量子数量子数n增大时，势阱内概率密度的增大时，势阱内概率密度的峰值增多。当峰值增多。当n时，相邻峰值无限接时，相邻峰值无限接近，此时，可以认为势阱内概率密度处近，此时，可以认为势阱内概率密度处处相等。处相等。可见：可见：大能量粒子在势阱内的运动回到经典力学的情况。大能量粒子在势阱内的运动回到经典力学的情况。(3) 对大能量的粒子，量子数对大能量的粒子，量子数n很大，但很大，但0n

29、1n2nn)1n(EEE2222nn1n 4E19E116E125E1E1n=1n=2n=3n=4n=50axEn|n |2将波函数将波函数=xeax2代入势场为代入势场为U(x)=kx2/ /2的一维定的一维定态薛定谔方程，求态薛定谔方程，求：(1) 常数常数 a = ? (2) 能量能量E = ?例题例题8：(习题习题25-8 )0 x)mka4(x)Em2a6(3222 0)kx21E(m2xdd2222 22ax222ax2eax4)ax21(ax2xdd,e )ax21(xdd 代入薛定谔方程：代入薛定谔方程：得：得：即：即： 222mka4Em2a6解得：解得： h23h223mk

30、23Ehmk2mka一粒子沿一粒子沿x方向运动，波函数方向运动，波函数例题例题9：(习题习题25-9 )x1(1x1C2222 1CxarctgCdxx1Cdx)x(22222 ix1C)x( (1)由归一化条件求由归一化条件求C ；(2)概率密度与概率密度与x有何关系？有何关系？(3)什么地方出现粒子的概率最大？什么地方出现粒子的概率最大？(1) 1C 22222x1C)ix(1C* 注注：(2) 概率密度：概率密度： (3) 当当 x = 0 时，时，| | |2 最大。最大。所以粒子出现在所以粒子出现在 x = 0 处的概率最大。处的概率最大。在一维无限深势阱中，求当粒子处于在一维无限深

31、势阱中，求当粒子处于1和和2时，时，发现粒子概率最大的位置。发现粒子概率最大的位置。例题例题10：(习题习题25-10 )波函数：波函数：)ax0(xansina2n (1) 时时，即即当当.)3 ,2 , 1k(2)1k2(xa,xasina21 )1k2(2ax 或或的条件。的条件。满足满足但仅有但仅有ax02ax 有有极极大大值值。时时或或2.,a25,a23,a21x （见（见P.207图图25-7）在一维无限深势阱中，求当粒子处于在一维无限深势阱中，求当粒子处于1和和2时，时，发现粒子概率最大的位置。发现粒子概率最大的位置。例题例题10：(习题习题25-10 )波函数：波函数：)ax

32、0(xansina2n (2) 时时，即即当当,.)2 , 1 ,0k(2)1k2(xa2,xa2sina22 )1k2(4ax 或或的条件。的条件。满足满足但仅有但仅有ax04a3,4ax 有有极极大大值值。时时或或2.,a45,a43,a41x （见（见P.207图图25-7）一粒子处于宽为一粒子处于宽为a的无限深势阱的基态的无限深势阱的基态(n=1)，求在，求在(1) x = a/ /2 ；(2) x = 3a/ /4；(3) x = a 处处x = 0.01 a间隔内找到该粒子的概率。间隔内找到该粒子的概率。例题例题11：(习题习题25-13 )一维无限深势阱中粒子的概率密度：一维无限

33、深势阱中粒子的概率密度：)ax0(xansina2)x(22 当当 n = 1 时：时：xasina2221 0P001. 0a01. 0a1Pa121a202. 0a01. 0a2Pa2321221121 概概率率概概率率概概率率 在宽为在宽为a 的一维无限深势阱中，当的一维无限深势阱中，当n =1, 2, 3 和和时，时，从阱壁起到从阱壁起到a/ /3 以内粒子出现的概率有多大？以内粒子出现的概率有多大？例题例题12：(习题习题25-14 )3n2sinn2131dx)xan2cos1(21a2dxaxnsina2P3a023a0n 概率密度：概率密度：)ax0(xansina2)x(22

34、 概率：概率：40. 034sin4131P,20. 032sin2131P21 31P,31P3 24-5 一维势垒与隧道效应此时定态薛定谔方程：此时定态薛定谔方程：一维势垒的势能函数：一维势垒的势能函数：令：令： 0 xU0 x0)x(U0)0 x(0)UE(m2xdd)0 x(0Em2xdd0222222 得：得：2022221)UE(m2k,mE2k )0 x(0kxdd)0 x(0kxdd22222122 0)x(U U(x)0 x0U)x(U 方程的解：方程的解：经典理论：经典理论：粒子不可能在粒子不可能在 x 0 处出现。处出现。)0 x(0kxdd)0 x(0kxdd22222122 0)x(U U(x)0 x0U)x(U )0 x(Ce)x()0 x(BeAe)x(xk2xkixki1211 量子理论：量子理论：粒子可以穿入势能大于其总能量的区域。粒子可以穿入势能大于其总能量的区域。这种量子效应称为这种量子效应称为隧道穿透效应隧道穿透效应。隧道扫描显微镜（隧道扫描显微镜（STM）：）：1982年，葛年，葛宾尼宾尼(Gerd Binning)和海和海罗雷尔罗雷尔(Henrich Rohrer)共同研共同研制成功了扫描隧道显微镜制成功了扫描隧道显