第四章可测函数

1、1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可测函数是勒贝格积分的基本对象。测函数是勒贝格积分的基本对象。记号记号：一个定义在：一个定义在 上的实函数上的实函数 确定了确定了E的一组的一组子集子集这里这里 取遍一切有限实数，反之，取遍一切有限实数，反之， 本身也由本身也由E的这组的这组子集而完全确定。子集而完全确定。 nRE )(xf|,( )E fax xE f xaa)(xf类似地，有,E faE afb,E fa,E fa1 可测函数及其性质（4） 都可测。都可测。（3）

2、都可测。都可测。（2） 都可测。都可测。设设 是定义在可测集是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数上的实函数，对于任何有限实数 1、可测函数定义设设 是定义在可测集是定义在可测集 的实函数，如果对于任何有限实的实函数，如果对于任何有限实数数 ， 都是可测集，则称都是可测集，则称 为定义在为定义在E上的上的可测函数可测函数。nRE )(xfa)(xfE fa不是一个函数值，而是一个集合 在在E上可测上可测)(xf（1） 都可测。都可测。)(xf, ()a b ab可测函数等价定义E faE afbE faE fa推论推论：设设 在在E上可测，则上可测，则 总可测，不论总可测，不论 是有是有

3、限实数或限实数或 a)(xfE fa即：可测集E上的常值函数是可测函数。例题 2：勒贝格零测集上所定义的函数必是可测函数。问题：连续函数是可测函数吗？2、点集上的连续函数定义 定义在定义在 上的实函数上的实函数 ，如果，如果 有限，而且对有限，而且对于于 的任一邻域的任一邻域V，存在，存在 的某邻域的某邻域U，使得，使得 ，即，即只要只要 且且 时，便有时，便有 ，则，则 在在 连续连续。nRE )(xf00()yf x( )f x( )f xV0 x0yf UEVxExU0 xE如果如果 在在E中每一点都连续，则称中每一点都连续，则称 在在E E上连续上连续。( )f x)(xf例题 1：区

4、间a,b上的连续函数与单调函数都是是可测函数。注：这个定义并不要求E是可测集；当E是某个区间时，它与数学分析中连续的概念相一致。定理 2：可测集可测集 上的连续函数是可测函数上的连续函数是可测函数。nRE 定理 3： （1）设设 是可测集是可测集E上的可测函数，而上的可测函数，而 为为E的可测子集，则的可测子集，则 看作定义在看作定义在 上的函数时，它是上的函数时，它是 上的可测函数；上的可测函数；)(xf1E1EE1E)(xf（2）设设 定义在有限个可测集定义在有限个可测集 的并集的并集 上，上，且且 在每个在每个 上都可测，则上都可测，则 在在E上也可测。上也可测。)(xf(1,2,.,

5、)iE is1siiEE)(xf)(xfiE3、可测函数基本性质注：并不是可测集的所有子集都是可测的。引理 ：设设 与与 为为 E上的可测函数，则上的可测函数，则 与与 都是可测集都是可测集。)(xf( )g xE fgE fg定理 4：设设 与与 为为在在E上可测，则函数上可测，则函数 集中在零测集上）可测集集中在零测集上）可测集。)(xf( )g x|( )|,f x( )( ),f xg x1( ),f x( )( ),( ( )0f x g xg x 定理 5：设设 是是E上一列（或有限个）可测函数，则上一列（或有限个）可测函数，则 与与 都在都在E上可测。上可测。( )nfx( )i

6、nf( )nnxfx( )sup( )nnxfx定理 6：设设 是是E上一列可测函数，则上一列可测函数，则 也在也在E上可测，特别当上可测，特别当 存在时，存在时，它也在可测。它也在可测。( )nfx( )lim( )nnG xfx( )lim( )nnF xfx( )lim( )nnF xfx可测函数列的极限4、简单函数及其性质（1）定义：设设 的定义域的定义域E可分为有限个互不相交的可测集可分为有限个互不相交的可测集 即即 ，使，使 在每个在每个 上都等于某常数上都等于某常数 ，则称，则称 为为简单函数简单函数。)(xf1,.,sEE)(xf1siiEEiEc)(xf例如：在区间0，1上的

7、狄利克雷函数是可测的非连续函数。结论：任何简单函数都是可测的。定理 7：设设 在在E上可测，则上可测，则 总可以表示成一列简单函总可以表示成一列简单函数数 的极限函数的极限函数 ，而且还可办到，而且还可办到)(xf（2）简单函数与可测函数的关系)(xf( )nx( )lim( )nnf xx12( )( )xx（3）可得可测函数等价定义函数函数 在在E上可测的充要条件是上可测的充要条件是 总可以表示成一列简单总可以表示成一列简单函数函数 的极限函数，其中的极限函数，其中)(xf)(xf12( )( )xxn5、几乎处处成立注：1简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。2简单函

8、数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数可能为 ，然而简单函数一定是可测函数。设设 是一个与集合是一个与集合E的点的点 有关的命题，如果存在有关的命题，如果存在E的子集的子集M，适合，适合 ，使得，使得 在在EM上恒成立，即上恒成立，即EE 成成立立=零测度集，则我们称零测度集，则我们称 在在E上几乎处处成立，上几乎处处成立， 或说或说 a.e.于于E成立。成立。x0mM 即：如果一个命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立，是命题不成立的点总包含在某个零测集当中，则说命题S在E上几乎处处成立。例题 3 （1） 与 在E上几乎处处相等，指：0mM fg)(xf( )g x（2）

9、在E上几乎处处有限，指：|0mMf )(xf（3）著名的勒贝格微分定理：若 是a,b上的单调函数，则 在a,b上几乎处处可导。)(xf)(xf（4）0,1上的狄利克雷函数 a.e.于 0,1( )0D x 性质：（1） a.e.于E 且 a.e.于E ，则 或 a.e.于E ， 且 a.e.于E .121212（2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函数，则g也是E上的可测函数。 设设 是定义于是定义于E上的函数列上的函数列1、收敛、几乎处处收敛、一致收敛 收敛：若存在若存在E上的函数上的函数 ，对于，对于 ， 则称函数列则称函数列 在在E上上收敛收敛， 为为 的极限

10、函数的极限函数。 nffxE nfflim( )( ),nnfxf x nf 几乎处处收敛：若存在若存在 ， ， 在在 上收敛上收敛于于 ，则称，则称 在在E上上几乎处处收敛几乎处处收敛于于 ，记为，记为f nf nff10mE 1EE1E E. .nff aeE于一致收敛：若对于若对于 ，存在自然数，存在自然数N，对，对 及及 都有都有 ，则称函数列，则称函数列 在在E上上一致收敛一致收敛于于 。, n mNxE( )( )nmfxfx nff02、几乎一致收敛（叶果洛夫定理） 设设 ， 是是E上可测函数列，上可测函数列， 是是E上几乎处处有限上几乎处处有限的函数，的函数， 在在E上几乎处处

11、收敛于上几乎处处收敛于 ，则对任意，则对任意 ，存，存在子集在子集 ，使，使 在在 上一致收敛，且上一致收敛，且则称则称 在在E上几乎一致收敛于上几乎一致收敛于 ，记为，记为mE f nf0f nfEE nfE()m E Ef nf. .nff auE于注：1”一致收敛”强于“收敛”， “收敛”强于“几乎处处收敛”2叶果洛夫定理得逆命题就是若 ，则3叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系，根据这个定理，对于任意几乎处处收敛的可测函数列，都可在E的一个子集 上当作一致收敛的函数列来处理。. .nff auE于. .nff aeE于E(0,()m E E鲁金定理 设设 是是E上几

12、乎处处有限的可测函数，则对任意上几乎处处有限的可测函数，则对任意 ，存，存在闭子集在闭子集 ，使，使 在在 上是连续函数，且上是连续函数，且简言之，在简言之，在E上上a.e.有限的可测函数是有限的可测函数是“基本上连续基本上连续”的函的函数数。( )f xFEF()m E F注： （1）可测集上的连续函数一定是可测函数，反之，一般的可测函数可以说是基本上连续的函数，该定理揭示了可测函数与连续函数的关系。（2）若 在E上可测， ，在E上除去一个测度小于 的子集后，函数连续，这样就将可测函数问题转化为连续函数问题。0( )f x0( )f x1、依测度收敛 设设 是是 上的一列上的一列a.e.有限

13、的可测函数，若有有限的可测函数，若有E上上a.e.有限的可测函数有限的可测函数 ，满足下列关系：，满足下列关系： nf( )f xnER 对任意对任意 有有 ，则称函数列，则称函数列 依依测度收敛于测度收敛于 ，记为，记为 lim|0nnmEff0( )f x nf( )( ),nfxf x0,即,:NnN ,nmEff 则0, ( )( ),nfxf x文字描述：如果事先给定一个误差 ，不论这个 有多么小，使得 的点 虽然可能很多，但这些点的全体的测度随着 无限增大而趋向于0。0nffxn2、勒贝格收敛定理（1）设）设E可测，可测，（2） 是是E上上a.e.有限的可测函数列；有限的可测函数列；（3） 是是E上上a.e.收敛于收敛于 ，且，且 a.e