数学分析教案(华东师大版)第十章定积分的应用

1、第十章 定积分的应用 教学要求：1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积 （ 2 时 ） 教学要求：1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2. 熟练地应用

2、本章给出的公式，计算平面区域的面积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学： 二、讲授新课： （一）直角坐标系下平面图形的面积 ： 1.简单图形： 型和型平面图形 .2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式. 对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图 形的几何特征简化计算. 例1       求由曲线 围成的平面图形的面积.例2       求由抛物线 与直线 所围平面图形的面积

3、. （二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有, 于是存在反函数 . 由此得曲边的显式方程.,亦即 .具体计算时常利用图形的几何特征 .例3 求由摆线 的一拱与轴所围平面图形的面积. 例4 极坐标下平面图形的面积 :推导由曲线 和射线所围“曲边扇形”的面积公式 .  (简介微元法 ，并用微元法推导公式 . 半径为, 顶角为的扇形面积为   . ) 例5 求由双纽线 所围平面图形的面积 . 解 或. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为的两条直线之间 ) . 以代方程不变, 图形关于轴对称 ; 以代, 方程不变,

4、图形关于轴对称 . 参阅P242 图10-6因此 .三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积 （ 2 时 ） 教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积（一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为. 推导出该立体之体积 .祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子  齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )例1 求由两个圆柱面 和 所围立体体积 .P244 例1 ( )例2 计算由椭球面 所围立体 (椭球 )的体积 . 1 P244例2 ( )（二）旋转体的体积:

5、定义旋转体并推导出体积公式. 例3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.例4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.例5 求由圆绕轴一周所得旋转体体积.( 1000)例6 轴正半轴.绕轴旋转.求所得旋转体体积.§ 3 曲线的弧长 ( 1 时 ) 教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长， （一） 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲  即用折线总长的极限定义弧长 . 可求长曲线 . （二） 弧长计算公式 : 光滑曲线的弧长.  设，又，和在区间 上连

6、续可导且. 则上以和为端点的弧段的弧长为.为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对,有, Ch 1 §1 Ex 第5题 (P4) . 其几何意义是: 在以点和为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边 .事实上，.为证求弧长公式, 在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理, 然后对式插项进行估计 .如果曲线方程为极坐标形式 连续可导, 则可写出其参数方程 . 于是.§ 4 旋转曲面的面积 ( 1 时 )  教学要求：旋转曲面的面积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积 用微元法推出旋转曲面的面积公式 :曲线方程为 时，；曲线方程为 时，.例12 P254255例12. § 5 定积分的物理应用举例 ( 2 时 ) 教学要