数值计算实验指导书

1、数值计算方法（一）实验指导书一、 基本情况·课程名称：数值计算方法（一）· 课程编号：01024002, 01025002, 01825059, 01826059· 课程学时：授课 50学时， 上机实验 20学时· 适用专业：信息与计算科学、数学与应用数学、数学物理力学综合班等理科本科生· 使用教材：数值计算方法（一） 上海大学数学系编· 数值实验：1）Lagrange插值多项式2)Newton差商插值法 3）Aitken逐次线性插值法 4）等距节点情况下的Newton差分插值法 5）两点三次Hermite插值法6）Lagrange插

2、值余项的极小化法求近似最佳一致逼近多项式 7）Newton-cotes型求积公式8）Romberg算法9）Gauss型求积公式10)Remes算法(机动)· 实验环境：装有FORTRAN 4.0以上系统或C语言系统的微型计算机· 实验要求： 在上机实验时完成相应实验的算法的程序编制，并上机运行，学会应用这些算法于实际问题，以便对算法有更进一步的认识和理解。考察和体会数值计算中出现的一些问题和现象： 误差的估计,算法的稳定性、收敛性、收敛速度以及迭代初值对收敛的影响等。二、实验内容（一）实验一：Lagrange插值多项式1、 目的：学会Lagrange插值算法,并应用算法于实

3、际问题;观察Lagrange插值的龙格现象。2、 例题：1）取正弦函数; 2）取函数 3、 要求：要求用键盘输入,程序具有通用性.1)以0.32,0.34,0.36为节点,分别用线性插值和抛物插值求正弦函数 在0.3367处的近似值;线性插值场合,比较内插与外插.2）分别取节点数 的等距节点为插值点，构造 出 ，并画出其图形，与 的图形比较； 观察在 附近的现象，写出分析结果。4、公式：Lagrange插值多项式：，其中 （二）实验二：Newton差商插值法1、目的：学会Newton差商插值法,并应用算法于实际问题.2、例题：取函数 3、要求：已知用Newton差商插值法求4次Newton差商

4、插值多项式在2.15处的值,以此作为函数值的近似值 4、公式：Newton差商插值多项式： 其中、依次为一 阶、二阶、阶差商.（三）实验三：Aitken逐次线性插值法1、目的：学会Aitken逐次线性插值法,并应用算法于实际问题.2、例题：取双曲正弦函数 .3、要求：已知用Aitken逐次线性插值法求在0.23处的具有六位正确的有效数字的近似值 ,要求一旦达到指定的精度,计算便自动结束.4、 公式：Aitken逐次线性插值公式： 而（四）实验四：等距节点情况下的Newton差分插值法1、目的：学会等距节点情况下的Newton差分插值法,特别是Newton前插公式.并应用该算法于实际问题.2、例

5、题：取函数 1、 要求：已知用Newton前插公式求的近似值 .4、公式：Newton前插公式： 其中 而、依次为函数在处以为步长的一阶、二阶、阶向前差分.（五）实验五：两点三次Hermite插值法1、目的：学会两点三次Hermite插值法,并应用该算法于实际问题.2、例题：取函数3、要求：已知用两点三次Hermite插值公式求在2.45处的近似值 .4、公式：两点三次Hermite插值公式：（六）实验六：Lagrange插值余项的极小化法求近似最佳一致逼近多项式1、目的：学会用Lagrange插值余项的极小化法求近似最佳一致逼近多项式(即用次Tchebycheff多项式的零点为插值节点构作L

6、agrange插值多项式),并应用该算法于实际问题.2、例题：取函数3、要求：取,以 为节点, 构作Lagrange插值多项式,这就是函数的4次近似最佳一致逼近多项式.取等,插值来检验逼近效果.4、公式：同Lagrange插值法.（七）实验七：Newton-cotes型求积公式1、目的：学会Newton-cotes型求积公式,并应用该算法于实际问题.2、例题：取定积分3、要求：选择等分数,用复化Simpson求积公式求上述定积分的误差不超过的近似值,已知定积分的准确值为-12.0703463162、 公式：复化Simpson求积公式：其中 ,（八）实验八：Romberg算法1、目的：学会数值求

7、积的Romberg算法,并应用该算法于实际问题.2、例题：求定积分 3、要求：要求程序不断加密对积分区间的等分,自动地控制Romberg算法中的加速收敛过程,直到定积分近似值的误差不超过为止,输出求得的 定积分近似值.4、公式：数值求积的Romberg算法公式： 梯形求积公式： 复化梯形求积的递推化公式：加速收敛公式： 其中为定积分近似值,决定着Newton-cotes求积公式的阶数,例如为一阶Newton-cotes求积公式(即梯形求积公式),一般地,是阶Newton-cotes求积公式的计算结果;决定着等分数,是在等分情况下的阶复化Newton-cotes求积公式的计算结果,例如意为不复化

8、,对于梯形求积来说已经是复化的了.（九）实验九：Gauss型求积公式1、目的：学会Gauss型求积公式,并应用该算法于实际问题.2、例题：取定积分3、要求：把Gauss点的表格存入计算机,以Gauss-Legendre求积公式作为本实验的例子,要求程序可以跟据不同的阶数,自动地用阶Gauss-Legendre求积公式计算上述定积分的近似值.体会Gauss型求积公式是具有尽可能高的代数精度的数值求积公式.4、公式：Gauss-Legendre求积公式：其中是Gauss点,它们是次Legendre正交多项式的零点,求积系数可如下求得：其中为次Legendre正交多项式.（十）实验十：Remes算法(机动)1、目的：学会用Remes算法求近似最佳一致逼近多项式,并应用该算法于实际问题.2、例题：取函数3、要求：用Remes算法求在上的二次近似最佳一致逼近多项式.取初始近似偏差点为使三次Tchebycheff多项式轮流达到和的点,即 要求迭代进行到为止,其中 而是步近似最佳一致逼近多项式.4、公式：第1步：选取初始近似偏差点第2步：将近似偏差点代入线性方程组,求解4个未知数,即近似最佳一致逼近多项式的3个系数和近似最小偏差(注意:中包含因子,可能为负).第3步：利用第2步的结果,对近似偏差点作修正,新的近似偏差点使