数列问题中数形结合思想的体现

1、数形结合思想在数列问题中的体现摘要：从课程目标出发，在数学教学中运用数形结合的形象特点，逐步训练学生的抽象思维，引导学生用对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化和发展，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观.关键词：数学教学；数形结合；对立统一；对于数列问题，人们习惯用代数的思维方式和方法解决.但是，如果将数形结合的数学思想渗透到数列问题中，运用数形结合的思想和方法看待和解决数列问题，往往会有事半功倍的效果.高中数学教材中对数列的本质有如下描述：数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应

2、函数的解析式.既然数列可以看作一列函数值，那么数列就可以用图象来表示，显然，数列的图象是一群孤立的点. 对于等差数列，因为其通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),即an是n的一次函数，所以，等差数列的图象是分布在直线y=dx+(a1-d)上的一群孤立的点，并且，当d>0时，y=dx+(a1-d)是增函数，当d<0时，y=dx+(a1-d)是减函数.利用这些观点解决某些数列问题，既快捷又直观. 例1在等差数列an中，a1>0，且3a8=5a13，则Sn中最大的是（ ）AS21 BS20 CS11 DS10分析：由3a8=5a13，得，又a1>0,a8>

3、;a13 ,数列 an递减，如图1，设AB=x，由相似三角形得，得x=7.5,所以an的图象所在直线与x 轴交点为（20.5，0），显然Sn中最大的是S20. anABCO 1 2 23.5 nO 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 nE图2ana8 a13O 8 13 x 20.5 nAB图1教学中运用数形结合的形象特点，使抽象的数学问题尽可能地形象化，逐步训练学生的抽象思维.例2已知数列an中，a1=15,3an+1=3an-2 ,则该数列中相邻两项的乘积为负的项是（ ）Aa21和a22 Ba22和a23 Ca23和a24 Da24和a25分析：由3an+

4、1=3an-2得，an+1-an=，所以公差d=，如图2，x=22.5,所以，an的图象所在直线与x轴的交点为（23.5,0）,故选C.ABCO r s r+s nanDE图3例3已知等差数列an中，第r项的值为s，第s项的值为r（r<s）,求第r+s项的值.分析：如图3，由已知，A（r,s）、B(s,r) （r<s）为an的图象上两点，所以，公差d=-1,DE=CA=r,所以ar+s=0.an图4例4若an是等差数列，首项a1>0，a2003+a2004>0, a2003 a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（ ）A4005 B4006

5、 C4007 D4008分析：由已知，a2003>- a2004>0,所以，an的图象所在直线与x轴的交点在（2003.5,2004）内，由图4易知，S4006>0, S4007<0,故选B.在数学教学中教师要有意识地沟通数与形之间的关系，帮助学生逐步树立起数形结合的观点，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具.5 6 7 8 9 nSnO图5不仅如此，对于等差数列来说，由于其前n项和Sn=na1+n(n-1)d=n2+(a1-)n,即Sn是n的二次函数，且缺常数项.所以Sn的图象是分布在抛物线y=x2+(a1-)x上的一群孤立的点，并且

6、当d>0时，抛物线开口向上，当d<0时，抛物线开口向下.同样，在这样的观点下，许多数列问题也可得到非常形象的解法.例5设an是等差数列，公差为d, Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7， S7>S8,则下列结论错误的是（ ）Ad<0 Ba7=0 CS9>S5 D. S6 与S7与均为Sn的最大值分析：由S5<S6，S6=S7， S7>S8,知Sn的图象所在抛物线开口向下，又由知d<0,如图5，显然a7=0, S9<S8=S5, S6 与S7与均为Sn的最大值.例6在等差数列an中，若Sm=n，Sn=m（n>m），求Sm+

7、n的值.OnSnABCD图6分析：由已知，A（m,n）、B(n,m)是Sn图象上的两点，显然，这两点关于直线y=x对称，所以，直线AB斜率为-1，从而，点C的坐标为（m+n,0）,点D的坐标为（m+n,-m-n）；设Sn所在抛物线为y=ax2+bx,因为A、B均在此抛物线上，am2+bm=n, an2+bn=m,nm,两式相减得，a(m+n)+b=-1,两边同乘以（m+n）得，a（m+n）2+b(m+n)=-(m+n),即点D在抛物线上，所以，Sm+n=-(m+n).客观世界是一个普遍联系的整体，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方式相互依赖着，相互制约着，相互作用着.数学自身的发展即揭示出：