数学导数空间角圆锥曲线复习

1、复习提纲2011-5-23一、空间的角的计算（利用空间向量的方法，常建立空间直角坐标系）1异面直线所成的角（1）设两异面直线所成的角为q，它们的方向向量为，则cosq|cos<,>|（2）范围：(0，2直线与平面所成的角（1）设直线l与平面a所成的角为q，l的方向向量为，平面a的法向量为，则sinq|cos<,>|（2）范围：0，注意：求平面的法向量若已存在，则只需证明该向量与平面内的两条交线垂直（即数量积等于0）；用待定系数法求法向量，列三元一次方程组（两条交线对应两个方程）3二面角（1）设二面角alb的平面角为q，平面a、b的法向量为、，则|cosq|cos<

2、,>|（2）范围：0，p二、导数及其应用1导数的概念（1）平均变化率：（2）瞬时变化率，当x无限趋近于0时，平均变化率就无限趋近于函数在x0点的瞬时变化率注意：当t0时，平均速度瞬时速度v，即瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；当t0时，平均加速度瞬时加速度a，即瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率（3）导数 当x0时，A，称f (x)在xx0处可导，并称常数A为函数f (x)在xx0处的导数，记作f (x0)或y|xx 若f (x)在开区间(a，b)内每一点都有导数， 则称f (x)在区间(a，b)内可导，对任一个x0(a，b)都对应一个f (x0)，这样构成(a，b)内一个新的函数，

3、称为f (x)在(a，b)内的导函数，简称导数，记作f (x)或y2导数的几何意义（1）函数yf (x)在点x0处的导数的几何意义：曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线的斜率，过切点的切线方程为yy0f (x0)(xx0)注意：“在某点的切线”和“过某点的切线”的含义不同，前者表示该点一定是切点（该点也一定在曲线上），而后者则未必（可能是切点也可能不是，可能在曲线上也可能不在）在曲线上的一点作曲线的切线，至多有一条（有可能不存在）；而曲线的切线与曲线的公共点可能不止一个（2）确定函数yf (x)在点xx0处导数的基本方法方法一：导数定义法求函数的增量yf (x0x)f (x0)；

4、求平均变化率；令x0，得A，即f (x0)方法二：导函数的函数值法求函数f (x)在开区间(a，b)内的导函数f (x)；将x0(a，b)代入3导数的计算（1）四则运算f (x)±g (x)f (x)±g (x)Cf (x)Cf (x)，其中C为常数f (x)·g (x)f (x)·g (x)f (x)·g (x)（2）简单初等函数的导数C0，C为常数； (xa)axa1，aQ 特别的，x 1，(x2)2x，(x3)3x2，()，()； (ax)ax lna（a0，且a1） 特别的，(ex)ex； (logax)logae（a0，且a1） 特别

5、的，(lnx)； (sinx)cosx，(cosx)sinx（3）复合函数的导数：yxyu·ux一般按以下三个步骤进行：适当选定中间变量，正确分解复合关系；分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系yf (u)，ug (x)（一般内层为一次函数）；然后将已知函数对中间变量求导（yu），中间变量对自变量求导（ux）；最后求yu·ux，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。（4）可

6、导的奇函数的导函数是偶函数；可导的偶函数的导函数是奇函数4函数的单调性与导数（1）若f (x)0，则f (x)为增函数；若f (x)0，则f (x)为减函数；若f (x)0恒成立，则f (x)为常数函数（类似有在某区间内的单调性判断）注意：可导函数yf (x)在某个区间内f (x)0是函数f (x)在该区间上为增函数的充分条件（2）若函数yf (x)在区间(a，b)上单调递增，则f (x)0，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）；若函数yf (x)在区间(a，b)上单调递减，则f (x)0，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）。导数求单调性可用于证明不等式（不等式一端化为0

7、）5函数的极值与导数（1）设函数f (x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f (x)f (x0)，就说是f (x0)函数f (x)的一个极大值，记作y极大值f (x0)；如果对x0附近所有的点，都有f (x)f (x0)，就说是f (x0)函数f (x)的一个极小值，记作y极小值f (x0)。极大值和极小值统称为极值，x0称为极（大/小）值点。（2）求函数yf (x)在某个区间上的极值的步骤：列表！首先考虑定义域，求导数f(x)；求方程f(x)0的根x0；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右的符号：“左正右负”f (x)在x0处取极大值，“左负右正”f (x)在x0处取极小值

8、注意：导数为零的点未必是极值点！x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f (x0)0；f (x0)0是x0为极值点的必要而不充分条件6函数的最大、小值与导数（1）函数f (x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数f (x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”（2）求函数yf (x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：求函数yf (x)在(a，b)内的极值（极大值或极小值）；将yf (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值注意：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数

9、为零点处的函数值即可；闭区间上的连续函数必有最值（二）圆锥曲线与方程：1椭圆：1. 椭圆方程的第一定义：2. 椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在x轴上：.ii. 中心在原点，焦点在轴上：.一般方程：.顶点：或. 对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.焦点：或.焦距：.准线：或. 离心率：.3. 焦半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出：，ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出：，归结起来为“左加右减”、“下加上减”.4. 通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程的离心率也是，我们

10、称此方程为共离心率的椭圆系方程.5. 若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.2双曲线：1. 双曲线的第一定义：2. 双曲线标准方程：.一般方程：.i. 焦点在x轴上： 顶点：. 焦点：. 准线方程. 渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：.准线方程：.渐近线方程：或，轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.离心率.准线距（两准线的距离）；通径.参数关系.3. 焦半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： 构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）4. 等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.5. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.6. 共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为,因此，如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.3抛物线：设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范围