2020年高考数学总复习变化率与导数、导数的计算课时演练新人教A版

1、课时作业变化率与导数、导数的计算、选择题(2011湖南高考)曲线y=sinsin x 1.x+ cos x_ 2在 '、兀M( , 0)处的切线的斜率为(A.1B.2C.解析：ycos x sin x+ cosx sin x cosxsin x1 + sin 2 xVFI-2sin x+ cos x1 + sin -1 T=2.答案：B2B.- 3D.2. (2012临沂质检)已知直线ax- by2 = 0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直, 则b为()1 A.-3C.解析：由y=x3,得y' = 3x2,即该曲线在点P(1,1)的切线的斜率为3.由3xb=1,得a

2、1b3.答案：D3.(2012安徽“江南十校”联考)已知函数f(x)的导函数为f ' (x),且满足f(x)=2xf '+ x2,则 f ' (1)=()A . - 1B. - 2C. 1D. 2解析：f ' (x) =2f ' (1) + 2x,令 x= 1,得 f ' (1) = 2f ' (1) + 2, f ' (1) = 2.答案：B4. （2011大纲全国高考）曲线y = e-2x+1在点（°,2）处的切线与直线 y=°和y=x围成的三角形的面积为（1A. 31B.22C.3D. 1解析：由题意得:

3、一2x /=e ( 2x)y' =(e 2x+1)'=-2e 2x,则在点(0,2)处的切线斜率为k=- 2e°=-2,y = - 2x+ 2.y= 2x+ 2联立y=x,得 q|，3) ，与y=。和y= x围成三角形的面积为:S obc= 2QEB< _= 2 x 1 x 3=13.答案：A 一 , ,* 一一1 .5 .下列图象中有一个是函数f (x) =-x + ax + ( a - 1)x+ 1( a R, aw。)的导函数f (x)3B.3D.的图象，则f（ -1） = （）.其图象为最右侧的一个.由 f ' (0) = a21 = 0,得 a

4、=± 1.由导函数f' (x)的图象可知，a<0,故 a=-1, f(-1)=-1 + 1 = -1. 33答案：B6 .已知f(x)=aln x+1x2(a>0),若对任意两个不等的正实数X1、X2f X1 f X2x；>2恒成立，则a的取值范围是(A. (0,1B. (1 , +8)C. (0,1)D. 1 , +oo)a .a解析：由题息得f ( x) =-+ x>2-Ja,当且仅当 = x, x .xff x1 f x2(即 x = ga时取等号，所以 x?Tx>f' (x)min=2/a>2, a > 1.答案：D二

5、、填空题都有则 f (5)7 .(金榜预测)如图所示，函数y=f (x)的图象在点P处的切线方程是 y=x + 8, ， f，(5) =.解析：,一切线与y=f(x)交于点P(5 , y。)，y0= 5+8=3.由导数的几何意义知 f ' (5) = 1.答案：3 -1已知8 .在平面直角坐标系 xOy中，点P在曲线C: y = x3- 10x+ 3上，且在第二象限内, 曲线C在点P处的切线的斜率为 2,则点P的坐标为.解析：y=x3l0x+3,，y' =3x210.由题意，设切点 P的横坐标为X0,且X0< 0,即 3x2 10=2,X0= 4,X0= 2,y°

6、;= x0 10X0+ 3=15.故点P的坐标为(一2,15).答案：(2,15)三、解答题9 .(理用)已知f(x)是二次函数，f' (x)是它的导函数，且对任意的 xCR, f' (x) = f(x + 1) +x2恒成立.(1)求f (x)的解析式；(2)设t>0,曲线C： y = f (x)在点P(t , f(t)处的切线为l, l与坐标轴围成的三角形面 积为S(t).求S(t)的最小值.解析：(1)设 f (x) = ax2r+bx+c(其中 aw。)，贝U f ' (x) = 2ax+ b,f (x+ 1) = a(x + 1)2+ b(x+1) +c

7、=ax2+ (2 a+ b) x+ a+ b + c.由已知得，2ax+ b=(a+ 1)x2+(2a+b)x+a+b+c,a+ 1 = 02a + b= 2a,解得 a= - 1, b= 0, c= 1,a+ b+c= b .f (x) = - x2+1.(2)由(1)得，P点坐标为(t, 1t2),切线l的斜率k=f ' (t)= 2t.，切线 l 的方程为 y (1 t ) = - 2t (x t),即 y=-2tx +t2+1.从而可知l与X轴的交点为 7胃，0), l与y轴的交点为B(0, t2+1),t2+ 1 2 -S(t) = -4t-(其中 t>0). /、 t

8、1 x。 x。+1 y = 1+iJ3t + i x01(t)=4t-Tr当 0<t<-时，S' (t)<0, S(t)是减函数;当1tqe时,s,(t)>。，&t)是增函数. 3 .S(t)min=S(坐)=哈9.(文用)设函数f(x)=ax+工(a, bCZ),曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程 x十b为 y = 3.(1)求y=f (x-)的解析式；(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.解：(1)f' (x) = a-2,x+ b于是解得2a+12Tb=312+

9、b2= 0a= 1b= 1由 a, be Z,故 f (x) =x+1x- 1由 f ' ( x0) = 1 1x31知，过此点的切线方程为1、V 22( X Xo).x0 I,.1X0+1、，,X0+ 1令X = 1得y =7,切线与直线x=1的交点为(1,-).X0- 1X0- 1令 y = x 得 y = 2X0 1,切线与直线 y =的交点为(2X0 1,2 X0 1).直线x= 1与直线y=X的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为 1| X°-7 1| |2 X011|2 Xo - 1=1| -2-71|2 X0-2| =2.2X1”1.所围三角形的面积为定值2

10、.10.(理用)已知函数 f(X)= aX3+3X263X11, g(X)= 3x2+6x+12,和直线 mi y=kX + 9,又 f' ( 1)=0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y = f(x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线？如果 存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：(1) f ' (x) = 3ax2+6x6a, f' (-1)=0,即 3a 66a = 0,a= - 2.(2) :直线 m恒过定点(0,9),先求直线 m是曲线y= g(x)的切线，设切点为(X0,3x0+-6x° + 12),g' (x。

11、)= 6x0+ 6,2，切线方程为 y (3X0+ 6X0+ 12) = (6 x0+ 6)( X-X0),将点(0,9)代入，得x°=±1,当X0= 1时，切线方程为y=9；当X0= 1时，切线方程为 y= 12x+9.由 f ' (x) =0得一6*2+6*+12=0,即有 x=- 1 或 x=2,当x = 1时，y=f(x)的切线方程为 y=18；当x = 2时，y = f(x)的切线方程为y=9.公切线是y = 9.2又有 f，(X) = 12 得6x+6x+12=12, .» = 0 或 x=1.当x = 0时，y = f(x)的切线方程为 y=

12、12x11；当x=1时，y = f(x)的切线方程为 y=12x10,公切线不是 y=12x+9.综上所述公切线是y=9,此时k = 0.10.(文用)设抛物线C： y=-x2+2x-4,通过原点 O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.解：(1)设点P的坐标为(xi, yi),则yi= kxi.2 . 9yi= xi+2xi 4.29代入得 x2+(k-2-)xi + 4=0. P 为切点，A = (k-2)2-i6=0, i7 i得 k= 2或 k=2.当 k=%i, xi = 2, yi = - i7.i当 k = 2时,x