焦点专题3导数与函数综合问题(上)

1、焦点专题3导数与函数综合问题(上)【根底盘点】1、判断函数单调性四法：“和、积函数型观察法：(i)“增函数增函数为 ，如；(ii)“正的增函数×正的增函数为 ，如；“复合函数型箭头分析法：在中，令，有，当，时，为 函数，当，时，为 函数，当，时，为 函数等，如的递减区间为 .“抽象函数型定义法：(i)当时，知为 函数，如“对于任意的实数，满足，且当时，求证为增函数；(ii)当时，知为 函数，如“对于任意的正实数，满足，且当时，求证为减函数；xyOPQ1Q2y=f(x)“具体函数型导数法：(i)为 函数，(ii)为 函数.2、导数的几何意义:如图,曲线在点 处切线的斜率 ;切线方程为

2、.3、用导数求函数的单调区间:解不等式可得函数 的单调递 区间;解不等式可得函数的单调递 区间.4、知单调区间求参数的范围:函数在区间上为增函数 在区间上恒成立; 函数在区间上为减函数 在区间上恒成立(且);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围.5、导数与函数单调性的关系:(1)试求函数的单调区间,并说明单调区间端点值的取舍原那么为 ;(2)试举一例子说明“函数在区间上为增函数 在区间上恒成立,例子 .6、常用求导公式: , , , , , , , .7、求导运算: , , , .【例题精选】【例1】(1)讨论函数的单调性，并画出其图象.【题情捉摸】(1)函数的定义域为 ，需在此定义域讨论该函

3、数的单调性；(2)的单调性与的取值密切相关，当时，可用 法得到其单调性，当时，也可用 法得到其单调性，当时，可用 法研究其单调性，再根据每种情况下的单调性可画出其图象.(2)函数在区间上为增函数,求实数的取值范围.【题情捉摸】(1)在上为增函数 恒成立; (2)得 在上恒成立,于是得的取值范围.【例2】(1)函数的递增区间为 .【题情捉摸】(1)计算得 ;(2)令 0,解得 .(2)函数,试讨论的单调性.【题情捉摸】(1)注意到的定义域为 ,算得 ; (2)由于,故只需抓住 ,讨论它在上的正、负即可.【真题回忆】1、(2021广东理改)设，函数，试讨论函数的单调性.【名模精选】2、(2021惠

4、州二模文)曲线在处的切线方程为A. B. C. D. 3、(2021广州二模理)函数,假设且, 那么以下不等式中正确的选项是 A. B. C. D.4、(2021广州一模文)函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点.(1)求的值； (2)求的取值范围；(3)试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由.5、(2021广州二模文)函数(R)的一个极值点为.方程的两个实根为, 函数在区间上是单调的.(1)求的值;(2)求的取值范围.【参考答案】【例1】(1)解：可得函数的定义域为，当时，函数在上为增函数；当时，函数在上为增函数；当时，令，得，当或时，单调递增，当或

5、时，单调递减，这时在上为增函数；在上为减函数；xyO图cxyO图b由上面的单调性知，当时，的图象如图，当时，的图象如图，当时，的图象如图，xyO图a(2)(2)解:得恒成立,当在上为增函数时,有,即恒成立,.填【例2】(1)解:由或.故填.(2)解:(1)函数的定义域为, ,令,其对称轴为.(i)当,即时,在上恒成立,即有,在上为增函数;(ii)当,且,即时,有恒成立,在上为增函数;(iii)当,那么时,所以是增函数;(iv)当时,方程有两不等实根,且均为正数,当或时,是增函数,当时,是减函数;综上:当时,在是增函数;当时,在,是增函数,在是减函数.1、解：， (1)当时，假设，在上为增函数，

6、假设，令，得，解得，令，得，令，得，这时在上为减函数，在上为增函数；(2)当时，假设，在上为增函数，假设，在上为减函数，(3)当时，假设，令，解得，(舍去)，令，得，解得，令，得或，又，知函数在上是增函数，在上是减函数； 假设，在上是减函数； 综上所述，当时，在，上为增函数，在上为减函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，在上是增函数，在，上是减函数.23BD4.(1)解：，. 在上是减函数，在上是增函数，当时，取到极小值，即. .(2)解：由(1)知， 1是函数的一个零点，即，.的两个根分别为，. 在上是增函数，且函数在上有三个零点，即.于是.故的取值范围为.(3)解：由(2)知，且. 要讨论直线与函数图像的交点个数情况，即求方程组解的个数情况.由，得.即.即.或. 由方程，(*)得.，假设，即，解得.此时方程(*)无实数解. 假设，即，解得.此时方程(*)有一个实数解.假设，即，解得.此时方程(*)有两个实数解，分别为，.且当时，. 综上所述，当时，直线与函数的图像有一个交点.当或时，直线与函数的图像有二个交点.当且时，直线与函数的图像有三个交点. 5.解:(1),.的一个极值点为,.得.(2)由(1)得,当时, ;当时, ;当时, ;函数在上单调递增, 在上单调递减,在上