材料科学基础第二章结晶学1

1、 现代使用的材料绝大部分是晶态现代使用的材料绝大部分是晶态（CrystallineCrystalline）材料。晶态材料包括）材料。晶态材料包括单晶单晶材料、多晶材料、微晶材料和液晶材料材料、多晶材料、微晶材料和液晶材料等。等。我们日常使用的各种金属材料大部分是多晶我们日常使用的各种金属材料大部分是多晶材料。材料。分支学科分支学科： 晶体几何学研究晶体晶体几何学研究晶体宏观形态几何规律宏观形态几何规律，主要是对，主要是对称规律。称规律。 晶体结构学研究晶体晶体结构学研究晶体内部结构几何规律内部结构几何规律及缺陷。及缺陷。 晶体生长学研究晶体晶体生长学研究晶体生长机理生长机理及其影响因素。及其影

2、响因素。 晶体物理学研究晶体晶体物理学研究晶体物理性质物理性质及其产生机理。及其产生机理。 晶体化学研究晶体晶体化学研究晶体成分与结构成分与结构的关系。的关系。 本章以晶体形态对称规律及晶体内部结构对本章以晶体形态对称规律及晶体内部结构对称规律为主，简介晶体的称规律为主，简介晶体的几何与结构。几何与结构。2.1 2.1 晶体的周期结构晶体的周期结构 2. 2. 结晶学基础结晶学基础2.2 2.2 晶体的宏观对称晶体的宏观对称2.3 2.3 晶体构造的几何理论晶体构造的几何理论2.4 2.4 晶体的定向和结晶符号晶体的定向和结晶符号2.5 2.5 晶体的理想形态晶体的理想形态2.6 2.6 晶体

3、的堆积晶体的堆积（对晶体的认识始于外部形态的观察（对晶体的认识始于外部形态的观察( (图片图片) ) 晶体的传统定义：外形具有规则多面体形晶体的传统定义：外形具有规则多面体形状的固体状的固体传统定义没有揭示传统定义没有揭示特特点点( (图图) )对晶体本质的揭示始于对晶体本质的揭示始于19121912年应用年应用X X射线对晶体构造几何进行研究射线对晶体构造几何进行研究严格的晶严格的晶体定义：体定义：或说是具有或说是具有格子构造格子构造的的固体）。固体）。晶体晶体格子构造格子构造（晶体结构的周期重复规律，这种规律是可（晶体结构的周期重复规律，这种规律是可以用格子状的图形以用格子状的图形空间格子

4、空间格子表示的。）表示的。）空间格子空间格子（表示晶体结构周期重复规律的简单几（表示晶体结构周期重复规律的简单几何图形。要画出空间格子，就一定要找何图形。要画出空间格子，就一定要找出出。）。）等同点等同点（两个条件：（两个条件：1 1、性质相同，、性质相同，2 2、周围环、周围环 境相同。）境相同。） 2.1 2.1 晶体的周期结构晶体的周期结构等同点等同点（两个条件：（两个条件：1 1、性质相同；、性质相同；2 2、周围环境相同）。、周围环境相同）。 首先在晶体结构中找出首先在晶体结构中找出，再将等同点按照一，再将等同点按照一定的规律连接起来就形成了定的规律连接起来就形成了。 具体的晶体结构

5、是具体的晶体结构是的，使得其的，使得其，而空间格子就是使其重复规律突出表现出，而空间格子就是使其重复规律突出表现出来。来。仅仅是一个体现晶体结构中的周期重复规律的仅仅是一个体现晶体结构中的周期重复规律的，比具体晶体结构要，比具体晶体结构要。空间格子与具体的晶体结构是什么关系？空间格子与具体的晶体结构是什么关系？ 可以认为具体的晶体结可以认为具体的晶体结构是有多套空间格子组成构是有多套空间格子组成的，见图。的，见图。 为什么要用空间格子为什么要用空间格子来表示晶体结构呢？来表示晶体结构呢？结点结点: : 行列行列: : 面网面网: : 面网的形状一定是平行四边形！为什么？面网的形状一定是平行四边

6、形！为什么？Attention!面网面网AAAA间距间距d d1 1面网面网BBBB间距间距d d2 2面网面网CCCC间距间距d d3 3面网面网DDDD间距间距d d4 4平行六面体平行六面体: : 结点在三维空间形成的最小重复单位结点在三维空间形成的最小重复单位 ( (引出引出: : a, b, c; , ,a, b, c; , ,称为轴长与轴角称为轴长与轴角, ,也称晶也称晶格参数）。格参数）。abc 平行六面体对应的实平行六面体对应的实际晶体中相应的范围叫际晶体中相应的范围叫晶胞晶胞。NaCl晶胞晶胞金红石晶胞金红石晶胞 我们以后将会看到，平行六面体的形状一共有我们以后将会看到，平行

7、六面体的形状一共有7 7种，对应有种，对应有7 7套晶格参数的形式，也对应套晶格参数的形式，也对应7 7个晶系。个晶系。平行六面体可具有各种不同的形状，各种形状的平行六面体可具有各种不同的形状，各种形状的平行六面体的轴长与轴角（晶格参数）怎么样？平行六面体的轴长与轴角（晶格参数）怎么样？- 单位时间内晶面在其法线方向所增长的厚度称单位时间内晶面在其法线方向所增长的厚度称 为为该晶面的生长速度。该晶面的生长速度。- 晶面的生长速度与其面网密度一般呈晶面的生长速度与其面网密度一般呈反比关系。反比关系。 布拉维法则：晶体通常被面网密度大的晶面所包围布拉维法则：晶体通常被面网密度大的晶面所包围。晶面的

8、面网密度与晶面生长的关系晶面的面网密度与晶面生长的关系 “歪晶歪晶”导致同导致同种矿物晶体形种矿物晶体形态变化无常，态变化无常，给形态研究带给形态研究带来困难。来困难。 尽管形态各不相同尽管形态各不相同, , 看似无规看似无规, , 但对应的晶面面但对应的晶面面角相等角相等, , 即发现即发现“面角守恒定律面角守恒定律”： 实际晶体形态（歪晶）：偏离理想晶体形态。实际晶体形态（歪晶）：偏离理想晶体形态。石英晶体石英晶体歪晶歪晶同种矿物的晶体，其对应晶面间角度守恒。同种矿物的晶体，其对应晶面间角度守恒。均一性均一性: :同一晶体的不同部分的物理化学性质完同一晶体的不同部分的物理化学性质完全相同。

9、全相同。自限性自限性: :晶体能够自发地生长成规则的几何多面晶体能够自发地生长成规则的几何多面体形态。体形态。由晶体的格子构由晶体的格子构造所造成的造所造成的各向异性：各向异性：同一晶体不同方向具有不同的物理同一晶体不同方向具有不同的物理性质。例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。性质。例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。Question均一性与各向异性有矛盾吗？均一性与各向异性有矛盾吗？对称性与向异性有什么联系？对称性与向异性有什么联系？最小内能性：最小内能性：晶体与同种物质的非晶体相比，内能晶体与同种物质的非晶体相比，内能最小。晶体具有固定的熔点。晶体比非晶体稳定。最小。晶体具有固定的熔点。晶体

10、比非晶体稳定。对称性：对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。例如下物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。例如下面的晶体形态是对称的：面的晶体形态是对称的：请大家将下面的平面晶体结请大家将下面的平面晶体结构的空间格子画出来。构的空间格子画出来。返回 高分辨率电镜（高分辨率电镜（High Resolution Electron High Resolution Electron Microscopy, HREMMicroscopy, HREM）直接观察晶体中原子的规则）直接观察晶体中原子的规则排列。排列。返回

11、返回返回对称的概念对称的概念对称性在日常生活中很常见。对称性在日常生活中很常见。 对称就是物体相同部分有规律的重复。对称就是物体相同部分有规律的重复。 2.2 2.2 晶体的宏观对称晶体的宏观对称晶体对称的特点晶体对称的特点 晶体的对称是由晶体的对称是由格子构造格子构造所决定的，晶体的对所决定的，晶体的对称受格子构造规律的限制。因此，晶体的对称称受格子构造规律的限制。因此，晶体的对称是是有限有限的，它遵循的，它遵循“晶体对称定律晶体对称定律”。 晶体的对称不仅体现在晶体的对称不仅体现在外形外形上，同时也体现在上，同时也体现在物理性质物理性质上。上。石墨石墨金刚石金刚石两者有两者有何不同？何不同

12、？ 1 1、晶体的宏观对称要素和对称操作、晶体的宏观对称要素和对称操作 晶体外形可能存在的对称要素和相应的对晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称操作如下：称操作如下： 对称面对称面 P ，操作为反映。对称面的国际符号操作为反映。对称面的国际符号是是m, , 可以有多个对称面存在，如可以有多个对称面存在，如3P、6P等。等。 该切该切面不面不是矩是矩形体形体的对的对称面称面该切面该切面是对称是对称面面对称轴对称轴Ln 操作为旋转操作为旋转 , ,国际符号是国际符号是n. .其中其中n 代代表轴次表轴次，意指旋转，意指旋转360度相同部分重复的次数。重度相同部分重复的次数。重复所旋转的最小角度为

13、复所旋转的最小角度为基转角基转角 ，关系为：，关系为：n = 360/ 。一次轴一次轴n1, 基转角：基转角：360, ,习惯符号：习惯符号：L1, ,国际符号为国际符号为1。二次轴二次轴n2, ,基转角：基转角：180, ,习惯符号：习惯符号：L2, ,国际符号为国际符号为2。三次轴三次轴 n3, ,基转角：基转角：120, ,习惯符号习惯符号: :L3, ,国际符号为国际符号为3。四次轴四次轴n4，基转角基转角: :90, ,习惯符号习惯符号: :L4，国际符号为，国际符号为4。六次轴六次轴n6，基转角：基转角：60,习惯符号：习惯符号：L6, ,国际符号为国际符号为6。晶体的对称定律：晶

14、体的对称定律：1 1、直观形象的理解、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间间隙地铺满整个空间, , 即不能成为晶体结构即不能成为晶体结构。 由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n n = 1 = 1，2 2，3 3，4 4，6 6这五种，不可能出现这五种，不可能出现n = n = 5 5， n n 6 6的情况。为什的情况。为什么呢？么呢？n2次称为高次轴

15、次称为高次轴反伸操作演示：反伸操作演示：1注意：凡是有对称中心注意：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平行、出现且两两反向平行、同形等大。同形等大。但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。旋转反伸轴（倒转轴）旋转反伸轴（倒转轴） Lin 操作为旋转操作为旋转+ +反伸反伸的复合操作。国际符号的复合操作。国际符号： Li 1= C Li 2= Pn Li 3= L3C Li 4四方四面体四方四面体 Li 6= L3P旋转反映轴（映转轴）旋转反映轴（映转轴） Lsn 操作为旋转操作为旋转+ +反映反映的复合操作。的复合操作。 从

16、上面的结果可以看出什么规律？从上面的结果可以看出什么规律？当对称要素共存时，也可导出新的对称要当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。素。对称要素组合是有规律的，其规律就是：对称要素组合是有规律的，其规律就是：必须遵循对称要素的组合定律必须遵循对称要素的组合定律。 2 2、对称要素的组合、对称要素的组合定理定理1 1：Ln P LnP C (n为偶数为偶数)逆定理逆定理1 1： Ln C LnP C (n为偶数为偶数)逆定理逆定理2 2： P C LnP C (n为偶数为偶数) 对称要素组合定理对称要素组合定理：例：例：P C L2P C L2C L2P C L2 P L2 C 这一定理说明了

17、这一定理说明了L L2 2、P P、C C三者三者中任两个可以产生第三者中任两个可以产生第三者。因为因为偶次轴包含偶次轴包含L L2 2 。例如例如: L4 L2 L44L2 逆定理逆定理： L L2 2与与L L2 2相交，在其交点且垂直两相交，在其交点且垂直两L L2 2会产生会产生L Ln n，其基，其基转角是两转角是两L L2 2夹角的两倍。并导出夹角的两倍。并导出n n个在垂直个在垂直L Ln n平面内的平面内的L L2 2。思考思考: : 两个两个L L2 2相交相交3030, , 交点处并垂直交点处并垂直L L2 2所在平面会产生什么对称轴所在平面会产生什么对称轴? ?定理定理2

18、：Ln L2 LnnL2 (L2与与L2的夹角是的夹角是Ln基转角的基转角的一半一半) （称为轴定理）称为轴定理） L3 L2 L33L2定理定理3：Ln P/ LnnP/（P与与P夹角为夹角为Ln基转角的一基转角的一半）；定理半）；定理3与定理与定理2对应对应 （称为面定理）（称为面定理） 逆定理逆定理：两个两个P P相交，相交，其交线必为一其交线必为一L Ln n，其，其基转角为基转角为P P夹角的两夹角的两倍，并导出倍，并导出n n个包含个包含L Ln n的的P P。 思考：思考：两个对称面相交两个对称面相交6060, ,交线处会产生什么对称轴交线处会产生什么对称轴? ?例如例如: L6

19、 P/ L66 P/定理定理4：Lin P/ =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/ （n为偶数）为偶数） Linn L2 nP/（n为奇数）为奇数）（称为倒转面定理）（称为倒转面定理） 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的晶体形态的对称型对称型或或点群点群。一般来说，当强调对。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。 为什么叫点群？为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操

20、作时作时有一点不动有一点不动，所以称为，所以称为点群点群。 根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有非常有限的，仅有3232个。个。 3 3、3232个对称型（点群）个对称型（点群）32个对称型见下表个对称型见下表 对称型的国际符号很简明对称型的国际符号很简明:1:1）它不将所有）它不将所有的对称要素都写出来的对称要素都写出来,2,2）并且可以表示出对称）并且可以表示出对称要素的方向性要素的方向性,3,3）但它不容易看懂。）但它不容易看懂。特点是特点是: :凡

21、凡是可以派生出来的对称要素都省略了。是可以派生出来的对称要素都省略了。 点群国际符号的表达只使用三类对称要素：点群国际符号的表达只使用三类对称要素：对称面、对称轴、旋转反伸轴。对称面、对称轴、旋转反伸轴。 4 4、对称型（点群）的国际符号、对称型（点群）的国际符号 对称轴以对称轴以 1，2，3，4，6表示表示; ;对称面以对称面以m表示表示, , 旋转反伸轴在轴次上方加旋转反伸轴在轴次上方加“”号表示号表示, ,若若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔开，如线隔开，如L2PC以以2/m表示，表示，L4PC以以4/m表示。表示。( (由此可以看出，

22、对称中心由此可以看出，对称中心C就不必再表示出来就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C) )。 具体的写法为具体的写法为: :设置设置三个序号位三个序号位( (最多只有三个最多只有三个),),每个每个序号位中规定了写什么方向上的序号位中规定了写什么方向上的对称要素对称要素( (序号位与方向序号位与方向对应，这是国际符号的最主要的特色对应，这是国际符号的最主要的特色),),对称意义完全相同对称意义完全相同的方向上的对称要素的方向上的对称要素, ,不管有多少不管有多少, ,只写一个就行了只写一个就行了（简化，（简化，这是国际符号的另一特色）。这是

23、国际符号的另一特色）。 不同晶系中不同晶系中, ,这三个序号位所代表的方向完全不同这三个序号位所代表的方向完全不同, ,所所以以, ,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同不同晶系的国际符号的写法也就完全不同, ,一定不要弄一定不要弄混淆。混淆。 每个晶系的国际符号写法见表每个晶系的国际符号写法见表2 29 9( (此表很重此表很重要，要熟记！要，要熟记！) )。表表 2-9: 对称型对称型3L3L2 2属于斜方晶系，它的国际符号规定的观察属于斜方晶系，它的国际符号规定的观察方向方向1 1X X轴方向，轴方向，2 2Y Y轴方向，轴方向，3 3Z Z轴方向。轴方向。1 1方向（方向（X X轴）上

24、存在的对称要素有一个轴）上存在的对称要素有一个2 2次对称轴次对称轴L L2 2，因此第一位，因此第一位写作写作2 2；2 2方向（方向（Y Y轴）上存在的对称要素有一个轴）上存在的对称要素有一个2 2次对称次对称轴轴L L2 2，因此第二位写作，因此第二位写作2 2；3 3方向（方向（Z Z轴）上存在的对称要轴）上存在的对称要素有一个素有一个2 2次对称轴次对称轴L L2 2，因此第三位写作，因此第三位写作2 2；于是对称型；于是对称型3L3L2 2的国际符号应写为的国际符号应写为222222。例例1 1：对称型：对称型3L2导出国际符号。导出国际符号。 对称型对称型L44L25PC属于四方

25、晶系，它的国际符号规定属于四方晶系，它的国际符号规定的观察方向是的观察方向是1 1Z Z轴方向，轴方向，2 2X X轴方向；轴方向；3 3X X与与Y Y的平的平分线方向。分线方向。1 1方向（方向（Z Z轴）上存在的对称要素有一个轴）上存在的对称要素有一个L L4 4和和垂直此垂直此L L4 4的对称面的对称面P,P,因此第一位写作因此第一位写作4/m4/m；2 2方向（方向（X X轴）轴）上存在的对称要素有一个上存在的对称要素有一个L L2 2和垂直此和垂直此L L2 2的对称面的对称面P P，因此，因此第二位写作第二位写作2/m2/m；3 3方向（方向（X X轴与轴与Y Y轴的平分线）上

26、的对称轴的平分线）上的对称要素有一个要素有一个L L2 2和垂直此和垂直此L L2 2的对称面的对称面P P，所以第三位写作，所以第三位写作2/m2/m；于是；于是L44L25PC的国际符号应写为的国际符号应写为 , ,进一步简进一步简化为化为 。4 2 2m m m4mmm例例2 2：对称型：对称型L44L25PC导出国际符号导出国际符号。例例3 3: :由国际符号由国际符号6/mmm6/mmm 导出点群。导出点群。 首位首位6 6表示六方晶系，其国际符表示六方晶系，其国际符号的三个观察方向为号的三个观察方向为 c c0 0、a a0 0、(2a(2a0 0+ b+ b0 0) )。 c c

27、0 0方向有一个方向有一个L L6 6 和垂直和垂直L L6 6 的的P P，有，有L L6 6P P L L6 6P PC C； a a0 0方向有一个平行方向有一个平行L L6 6 的的P P，有有L L6 6P P/ / L L6 66P6P/； 包含包含L L6 6的的P P与垂直与垂直L L6 6的的P P 的交线的交线必为垂直于必为垂直于L L6 6 的的L L2 2 （如图），（如图）， 于是有于是有 L L6 6L L2 2 L L6 66L6L2 2 ； 最后将所有对称要素组合得到最后将所有对称要素组合得到 点群点群L L6 66L6L2 27PC 7PC 。 第二小节作业题

28、第二小节作业题P67 习题2.2；2.14；2.15 对于每一种晶体结构而言，其结点对于每一种晶体结构而言，其结点( (等同点等同点) )的的分布是客观存在的，但平行六面体的选择（画格子）分布是客观存在的，但平行六面体的选择（画格子）是人为的。是人为的。 平行六面体的选择（即：画格子）平行六面体的选择（即：画格子） 2.3 2.3 晶体构造的几何理论晶体构造的几何理论 1 1）所选取的平行六面体应能反映结点分布整体所）所选取的平行六面体应能反映结点分布整体所固有的对称性；固有的对称性； 2 2）在上述前提下，所选取的平行六面体中棱与棱）在上述前提下，所选取的平行六面体中棱与棱之间的直角关系力求

29、最多；之间的直角关系力求最多； 3 3）在满足以上二条件的基础上，所选取的平行六）在满足以上二条件的基础上，所选取的平行六面体的结点数为面体的结点数为1 1。 这些原则是法国晶体学家布拉维（这些原则是法国晶体学家布拉维（A.BravaisA.Bravais）提出来的。提出来的。平行六面体的选择（画格子）原则如下：平行六面体的选择（画格子）原则如下：下面平面点阵图案中，请同学们画出其空间格下面平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：子：4 根据布拉维的这些原则，首先把旋转对称应用到根据布拉维的这些原则，首先把旋转对称应用到点阵上，讨论它对单胞点阵常数的限制，从而得到七点阵上，讨论它对单胞点阵常数

30、的限制，从而得到七种晶系（种晶系（Crystal SystemsCrystal Systems），但是，这七种晶系只是），但是，这七种晶系只是对晶体作的最粗略的分类。同一晶系的晶体，不管其对晶体作的最粗略的分类。同一晶系的晶体，不管其微观对称性的高低，它们相应的点阵的对称性是一样微观对称性的高低，它们相应的点阵的对称性是一样的。的。下面按对称操作导出七种晶系。下面按对称操作导出七种晶系。 1 1、七个晶系、七个晶系 除了除了1 1次恒等操作之外，次恒等操作之外，单胞再没有其它的旋转对称单胞再没有其它的旋转对称性，在这种情况下，单胞各性，在这种情况下，单胞各个轴都不具有对称性，轴之个轴都不具有对

31、称性，轴之间也无任何固定关系，所以间也无任何固定关系，所以单胞的几何形状没有特别的单胞的几何形状没有特别的限制，晶体常数间的关系为：限制，晶体常数间的关系为： 三斜晶系（三斜晶系（Triclinic SystemTriclinic System） 这种晶系的对称元素是二次旋转轴这种晶系的对称元素是二次旋转轴2 2或镜面或镜面m m。若若把对称轴放在单胞的把对称轴放在单胞的c c方向，称第一种定向；若把对方向，称第一种定向；若把对称轴放在单胞的称轴放在单胞的b b方向，称第二种定向。现按第一种方向，称第二种定向。现按第一种定向来看二次旋转轴加到单胞上所带来的限制。定向来看二次旋转轴加到单胞上所带

32、来的限制。单斜晶系（单斜晶系（Monoclinic SystemMonoclinic System）2 cosdanc式中式中n n为整数为整数如果如果n n=0=0，所选的轴就是真实晶系的，所选的轴就是真实晶系的a a轴。轴。若若n=1，则，则d=c。按单胞选轴原则，应选。按单胞选轴原则，应选ON作真实晶系的作真实晶系的a a而不而不是开始选的那个是开始选的那个“a”轴，因而轴，因而a和和c垂直。垂直。若若n=2，则，则d=2c，根据选择单胞的原则，也应选，根据选择单胞的原则，也应选OQ作真实的作真实的a轴轴。 当当n n为其它整数时，也可为其它整数时，也可按类似方法同样证明按类似方法同样证

33、明a a轴一定轴一定和和c c轴垂直。同理也可证明轴垂直。同理也可证明b b轴和轴和c c轴垂直。除此以外，单轴垂直。除此以外，单胞参数不受其它限制。晶体胞参数不受其它限制。晶体常数间的关系为：常数间的关系为：00a,90a,90bcbc第一定向第二定向正交晶系（斜方晶系，正交晶系（斜方晶系，Orthogonal SystemOrthogonal System） 在这种晶系中的对称元素在这种晶系中的对称元素有两个或两个以上的有两个或两个以上的2 2或轴或轴（即镜面）。前已说明，若晶（即镜面）。前已说明，若晶胞的一个棱是二次轴，则它一胞的一个棱是二次轴，则它一定和晶胞的另外两个轴垂直，定和晶胞的

34、另外两个轴垂直，现在有两个放在单胞两个轴上现在有两个放在单胞两个轴上的二次轴，很显然，必要求三的二次轴，很显然，必要求三个轴互相垂直。晶体常数间的个轴互相垂直。晶体常数间的关系为：关系为：四方晶系（正方晶系，四方晶系（正方晶系，Tetragonal SystemTetragonal System） 考察一个考察一个4 4或一个操作对单胞或一个操作对单胞的限制。把的限制。把4 4轴放在单胞的轴放在单胞的c c轴上，轴上，因为因为4 4隐含隐含2 2，从讨论单斜晶系知道，从讨论单斜晶系知道，这时的这时的a a和和b b轴一定垂直于轴一定垂直于c c轴。为轴。为了不产生多余的单胞轴，四次操作了不产生

35、多余的单胞轴，四次操作一定依次使一定依次使a a转动到转动到b b，b b转动到转动到- -a a，而而- -a a运动到运动到- -b b，这就要求，这就要求a a和和b b轴垂轴垂直，并且这两个轴单位的长度应相直，并且这两个轴单位的长度应相等等。0a,90bc 从直观看，一个立方系的单胞就是一个立方体。从直观看，一个立方系的单胞就是一个立方体。晶体常数间的关系为：晶体常数间的关系为：立方晶系（立方晶系（Cubic SystemCubic System）0a,90bc 本质上，决定立方系的主要对称元本质上，决定立方系的主要对称元素是四个在体对角线方向的三次轴。立素是四个在体对角线方向的三次轴

36、。立方系晶体中可以没有四次旋转对称，但方系晶体中可以没有四次旋转对称，但一定不能没有对角线的四个三次旋转对一定不能没有对角线的四个三次旋转对称。称。 这是一个属于立方系只有三次轴而这是一个属于立方系只有三次轴而没有四次轴形状的例子没有四次轴形状的例子。 它们间两两的夹角也相等它们间两两的夹角也相等, ,用用a、b、c构成一平行六面体，构成一平行六面体，即可以构成一个单胞即可以构成一个单胞。下面给出证明：下面给出证明： 一个三次轴一个三次轴OD和矢量和矢量a相交于相交于O点。因为点。因为OD为三次轴，所以必会导为三次轴，所以必会导出另外两个矢量出另外两个矢量b和和c。这三个矢量。这三个矢量a、b

37、、c的长度相等：的长度相等：a=b=c；它们与；它们与ODOD间的夹角相等：间的夹角相等：AODBODCOD AOCCOBBOA 若单胞的另一体对角线若单胞的另一体对角线CECE也是一个三次轴，则也是一个三次轴，则CFCF、COCO和和CGCG的的长度应相等，它们和三次轴长度应相等，它们和三次轴CECE间的夹角也应该相等，很易知间的夹角也应该相等，很易知道：道： ，即这是一个立方体。即这是一个立方体。090FCOCOA 由这两个三次轴，由这两个三次轴，必然导出另外两个体必然导出另外两个体对角线亦为三次轴。对角线亦为三次轴。 这种晶系具有单一的这种晶系具有单一的6 6，一般六次轴放在，一般六次轴

38、放在c c轴上。轴上。可以证明，六方系的单胞可以证明，六方系的单胞的晶体常数遵循如下关系的晶体常数遵循如下关系六方晶系（六方晶系（Hexagonal SystemHexagonal System）00,90 ,120abc 当具有单一的当具有单一的3 3轴时，对轴时，对称轴和单胞的一个轴（设称轴和单胞的一个轴（设a a轴）轴）夹角为某一角度夹角为某一角度a a，经，经3 3操作后操作后产生另外两个轴，它们和轴夹产生另外两个轴，它们和轴夹角亦为角亦为a a并且长度相等。这三并且长度相等。这三个轴构成的六面体就是一个菱个轴构成的六面体就是一个菱形单胞。菱形晶系晶体常数间形单胞。菱形晶系晶体常数间的

39、关系为的关系为菱形晶系（三方菱形晶系（三方 Rhombohedral SystemRhombohedral System）0,90abc七种晶系的对称性及点阵常数间的关系七种晶系的对称性及点阵常数间的关系七种晶系单位平行六面体形状七种晶系单位平行六面体形状 把平移对称加入，即在这七种单胞中的特殊把平移对称加入，即在这七种单胞中的特殊位置加入阵点，如果加入新的阵点后不破坏原来点位置加入阵点，如果加入新的阵点后不破坏原来点阵的对称性，而且又构成新的点阵，阵的对称性，而且又构成新的点阵，这就是一种新这就是一种新的布拉维格子。的布拉维格子。在在P P单胞中加入了新的阵点，它就单胞中加入了新的阵点，它就

40、变成了复式单胞。只有在变成了复式单胞。只有在P P单胞中的高对称位置上单胞中的高对称位置上加入新的阵点才有可能加入新的阵点才有可能不破坏原来点阵的对称性不破坏原来点阵的对称性，才有可能构成实际的新布拉维格子。构成新布拉维才有可能构成实际的新布拉维格子。构成新布拉维格子的过程实际上就是格子的过程实际上就是点阵的有心化（点阵的有心化（Centering Centering of Latticesof Lattices）过程。）过程。 2 2、 布拉维格子布拉维格子体心化体心化（Body CenteringBody Centering）：）： 把阵点加到体心。这样的点把阵点加到体心。这样的点阵用符号

41、阵用符号I I表示，这种点阵的单胞表示，这种点阵的单胞含有两个阵点，它们的位置分别含有两个阵点，它们的位置分别是是(0,0,0)(0,0,0)及及(1/2,1/2,1/2)(1/2,1/2,1/2)。面心化面心化（Face CenteringFace Centering）：）： 把三个新的阵点加进把三个新的阵点加进P P单胞单胞每个面的中心每个面的中心, , 这样的点阵用符这样的点阵用符号号F F表示。这种点阵的单胞含有表示。这种点阵的单胞含有四个阵点，它们的位置分别是四个阵点，它们的位置分别是(0,0,0)(0,0,0)，(0,1/2,1/2)(0,1/2,1/2)，(1/2,0,1/2)(

42、1/2,0,1/2)，(1/2,1/2,0)(1/2,1/2,0)。底心化底心化（单面心化，（单面心化，Base Base Centering, One-Face CenteringCentering, One-Face Centering）只在单胞的一对面（三对面中的）只在单胞的一对面（三对面中的一对）的中心上附加新阵点，这种一对）的中心上附加新阵点，这种点阵的单胞含有两个阵点加到点阵的单胞含有两个阵点加到abab面面上，用符号上，用符号C C表示，加到表示，加到bcbc面上，面上，用符号用符号A A表示，加到表示，加到caca面上，用符面上，用符号号B B表示。表示。三斜系三斜系 这种晶系

43、除了这种晶系除了1 1外，无其它点对称性，其单胞的点外，无其它点对称性，其单胞的点阵常数无任何限制。阵常数无任何限制。任何方式的有心化，最终也只构成三斜系点阵，只不过它的任何方式的有心化，最终也只构成三斜系点阵，只不过它的单胞的棱长、棱夹角及单胞体积改变罢了。所以，三斜晶系单胞的棱长、棱夹角及单胞体积改变罢了。所以，三斜晶系只有一种布拉维格子，只有一种布拉维格子，P P点阵点阵。单斜系单斜系 采用第一种定向讨论，以采用第一种定向讨论，以c c轴作为唯一的轴作为唯一的2 2轴。轴。可以是底心单胞可以是底心单胞仍然是仍然是P P单胞单胞同底心同底心同底心同底心 单斜系单斜系只有只有P P单胞单胞和

44、不在与单胞和不在与单胞棱垂直的面上有心化的棱垂直的面上有心化的底心单胞底心单胞。0,90abc正交系正交系 在单斜系中，如果在和在单斜系中，如果在和C轴垂直的面上有心化不可能构成轴垂直的面上有心化不可能构成新的点阵，因为它仍然可以简化成新的点阵，因为它仍然可以简化成P P点阵。但是，在正交系，点阵。但是，在正交系，由于有由于有=90的限制，而的限制，而并不等于并不等于90，故在和，故在和C轴轴垂直的面上有心化后不能简化为垂直的面上有心化后不能简化为P P点阵，所以在任何面上的有点阵，所以在任何面上的有心化都是新的点阵。心化都是新的点阵。 根据同样的理由，正交系的体心根据同样的理由，正交系的体心

45、和面心有心化都不能简化为底心点阵和面心有心化都不能简化为底心点阵，它们都是新的点阵。，它们都是新的点阵。 正交系中，除了正交系中，除了P P单胞外，无论底单胞外，无论底心有心化、体心有心化和面心有心化心有心化、体心有心化和面心有心化都构成新的点阵。都构成新的点阵。0,90abc四方系四方系可以简化为更小可以简化为更小的的P P单胞单胞如连成一个如连成一个P P单胞则破单胞则破坏原来的对称性，所以坏原来的对称性，所以I I单胞是真实的单胞单胞是真实的单胞。同体心同体心0,90abc立方系立方系 在单胞任何一个面的单面心化都破坏体对角线的三次轴的在单胞任何一个面的单面心化都破坏体对角线的三次轴的旋

46、转对称性。所以，立方系不可能有底心点阵。体心化和全面旋转对称性。所以，立方系不可能有底心点阵。体心化和全面心化并不破坏三次心化并不破坏三次轴轴对称性，并且确实是一种新的点阵。对称性，并且确实是一种新的点阵。 虽然可以取虽然可以取P P单胞，但他没有立方系的对称性，故仍取复单胞，但他没有立方系的对称性，故仍取复式单胞作为这些点阵的单胞。式单胞作为这些点阵的单胞。0,90abc六方系和菱方系六方系和菱方系 由于这两种晶系联系密切，放在一起讨论。这两种晶系都由于这两种晶系联系密切，放在一起讨论。这两种晶系都不可能有任何一种形式的底心、体心和全面心化，因为在这些不可能有任何一种形式的底心、体心和全面心

47、化，因为在这些位置放进阵点都会破坏晶系原有的旋转对称性。位置放进阵点都会破坏晶系原有的旋转对称性。 现在讨论它们的特殊有心化问题。现在讨论它们的特殊有心化问题。 加进阵点后，每一加进阵点后，每一个点都具有相同的环境，因个点都具有相同的环境，因而这仍然是一个点阵，但这而这仍然是一个点阵，但这时已失去时已失去6 6对称性，而仍有对称性，而仍有3 3对称性。这种新点阵就是对称性。这种新点阵就是菱菱形晶系形晶系。各种晶系可能具有的布拉维格子各种晶系可能具有的布拉维格子( (共共1414种种) )十十四四种种布布拉拉维维格格子子对称元素：平移轴，方向对称元素：平移轴，方向是晶列方向。是晶列方向。 对称操

48、作：平移对称操作：平移进行平移操作时，图形沿进行平移操作时，图形沿平移轴移动一定距离，可使平移轴移动一定距离，可使相等部分重合，晶体结构中相等部分重合，晶体结构中任一行列都是平移轴。任一行列都是平移轴。 3 3、 晶体的微观对称要素晶体的微观对称要素1 1、平移轴（平移）、平移轴（平移）对称元素是螺旋轴对称元素是螺旋轴对称操作是旋转对称操作是旋转+ +轴向轴向平移平移螺旋轴是一条假想直螺旋轴是一条假想直线，晶体中任一部分先线，晶体中任一部分先绕轴旋转一定角度后，绕轴旋转一定角度后，再沿轴平移一定距离，再沿轴平移一定距离，使相等部分重复。使相等部分重复。2 2、螺旋轴（旋转、螺旋轴（旋转+ +平

49、移）平移）平移平移螺旋轴的国际符号一般写成螺旋轴的国际符号一般写成n ns s。n n为轴次，为轴次，s s为小为小于于n n的自然数。若沿螺旋轴方向的结点间距标记为的自然数。若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T T，则质点平移的距离，则质点平移的距离t t应为应为（s/ns/n）T T（右旋右旋），），其中其中t t称为螺距。称为螺距。螺旋轴按基转角，螺旋轴也可分为螺旋轴按基转角，螺旋轴也可分为2 2、3 3、4 4、6 6次次螺旋轴根据其轴次和螺距可分为螺旋轴根据其轴次和螺距可分为共共1111种。种。（a a）左旋 （b b）右旋螺旋轴根据旋转方向螺旋轴根据旋转方向分为左旋（顺时针）、分为左旋

50、（顺时针）、右旋（逆时针）和中性右旋（逆时针）和中性（左、右旋均可）。（左、右旋均可）。对称轴可视为移距对称轴可视为移距t=0t=0的螺旋轴。的螺旋轴。2次螺旋轴：旋转次螺旋轴：旋转180，再平移。，再平移。21 ：旋转旋转180，平平移距离移距离t=（1/2）T。不分左右旋。不分左右旋。3次螺旋轴：旋转次螺旋轴：旋转120，再平移。再平移。31：右螺旋：右螺旋，逆时针旋转，逆时针旋转120 ，向上平移距离，向上平移距离t=（1/3）T； 32 ：左螺旋左螺旋，顺时针旋转，顺时针旋转120，向上平，向上平移距离移距离t=（1/3）T。( (右旋，逆时针右旋，逆时针120 , ,（2/3）T)（a a）对称轴，（b b）螺旋轴 （a a）对称轴3 3， （b b）右旋3 31 1 （c c）左旋3 32 24次螺旋轴：旋转次螺旋轴：旋转90，再，再平移。平移。41：右螺旋，逆时针右螺旋，逆时针旋转旋转90，向上平移距离，向上平移距离= =（1/4）T。42：中性螺旋中性螺旋，平移距离，平移距离= =（2/4）T，不分左右旋，为，不分左右旋，为双 轨 旋 转 ， 在 两 个 晶 胞双 轨 旋 转 ， 在 两 个 晶 胞（2T2T）的周期内复原。）的周期内复原。43：左螺旋，顺时针左螺旋，顺时针旋转旋转9090，向上平移距离（，向上平