第12讲bode最小相位系统和非最小相位系统

1、第12讲程向红最小相位系统和非最小相位系统伯特图求参数典型环节的极坐标图1第5章 线性系统的频域分析法Frequency-response analysis频域分析法频率特性及其表示法典型环节的频率特性稳定裕度和判据频率特性指标 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。 25.1.2 频率特性的表示法 (1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot)(2)极坐标图 (Polar plot)(3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)对数频率特性曲线)(log20jGdB)(L对数幅频特性相频特性()纵坐标均

2、按线性分度横坐标是角速率)()(jG10倍频程，用dec lg按分度 http:/ http:/ plot)，=幅相频率特性曲线，=幅相曲线 )(jG可用幅值)(jG和相角)(的向量表示。变化时，向量)(jG的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 当输入信号的频率0奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性 奈奎斯特曲线，简称奈氏图 45.2典型环节频率特性曲线的绘制5.2.1 增益KKLlog20)( 0)(幅频特性和相频特性曲线 请看下页55.2.2 积分与微分因子1jjjG1)()(log201log20)(dBjL90)

3、()(log20log20)(dBjLjjG)( 90)(nj )/1 (nj )( )(log20)(1log20)(dBnjLn n90)()(log20)(log20)(dBnjLn n 90)(这些幅频特性曲线将通过点1,0dB类推相差一个符号65.2.3 一阶因子1)1 (Tj一阶因子1)1 (Tj)( )(1 log2011log20)(2dBTTjL)()(Tarctg在低频时，即TT1, 1)(01log20)(1 log20)(2dBTL低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线TT1, 1)(log20)(1 log20)(2dBTTL图5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性

4、曲线及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。在高频时，即高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程的直线请看下页对数幅频特性相频特性75.2.4 二阶因子 12)/()/(21 nnjj2)()(211nnjj22222)2()1 (log20)()(211log20)(nnnnjjL在低频时，即当nndBnnlog40log2022低频渐近线为一条0分贝的水平线-20log1=0dB在高频时，即当高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线由于在n时dBn01log40log40所以高频渐近线与低频渐近线在n处相交。这个频率就是上述二阶因子的转

5、角频率。82222)2()1 (1)(nnjG令2222)2()1 ()(nng012)2(2)2)(1 (2)(222nnnngdtd)1 (4)21 ()(2222222nng(5-22)(5-23)(5-25)707. 02201212rM谐振频率谐振频率谐振峰值 谐振峰值 当707. 0时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振 221nrrM与关系曲线 请看0.70.8051015图5-15rM与关系曲线 rM/dB10开环系统的伯德图步骤如下 写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上 绘制开环对数幅频曲线的渐近线。

6、 低频段的斜率为decdB/20 渐近线由若干条分段直线所组成 在1处，KLlg20)( 每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率 111Tj因子的转折频率11T，当11T时， 分段直线斜率的变化量为decdB/20 21Tj因子的转折频率21T，当21T分段直线斜率的变化量为decdB/20 时，11高频渐近线，其斜率为decdBmn/)(20n为极点数，m为零点数 作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正 作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线 125.2.5最小相位系统与非最小相位系统Mi

7、nimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子13对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。 1111)(TjTjjG1120,11)(TTTjTjjGjT111T 11TjT1图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图14Bode DiagramFrequency (rad/sec

8、)Phase (deg)Magnitude (dB)-20-15-10-5010-210-1100101102-180-135-90-450非最小相位系统 最小相位系统 图5-19的相角特性 相同的幅值特性111TjTj111TjTj和15在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围 最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定这个结论对于非最小相位系统不成立。 反之亦然16最小相位系统，

9、相角在时变为decdBmn/)(90n为极点数，m为零点数。时的斜率都等于decdBmn/)(20因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在如果当对数幅值曲线的斜率为decdBmn/)(20并且相角等于decdBmn/)(90那么该系统就是最小相位系统。判断最小相位系统的另一种方法两个系统的对数幅值曲线在时相角时175.2.6 传递延迟(Transport lag) See p190通常在热力、液压和气动系统中存在传递延迟传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，高频时将造成严重的相位滞后 延迟环节的输入和输出的时域表达式为)()( 1)(tr

10、ttcsesRsCsG)()()(jejG)(1sincos)(jjG传递延迟的对数幅值等于0分贝(deg)3 .57)()(rad其幅值总是等于1传递延迟的相角为1810-1100101-600-500-400-300-200-1000图5-20传递延迟的相角特性曲线 195.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存

11、在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。 20静态位置误差常数的确定+ +- -R(s)E(s)C(s)(sG图5-21单位反馈控制系统假设系统的开环传递函数为 ) 1() 1)(1() 1() 1)(1()(2121sTsTsTssTsTsTKsGnm) 1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjTjTjTKjGnm)(jG在低频段等于pK，即pKjG)(lim02110-1100101-40-30-20-10010203020logK-20dB/dec-40dB/dec图5-22 某一0型系统对数幅值曲线) 12 . 0)

12、(1(15)(sssGcf3_dB=-30.4575749 cf1_dB=23.5218252cf2_dB=9.542425122图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。decdB/20的起始线段/或其延长线，与1的直线的交点具有的幅值为vKlog20静态速度误差常数的确定在1型系统中1,)(jKjGv斜率为证明vvKjKlog20log2011斜率为decdB/20其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于vK设交点上的频率为111jKv1vK的起始线段/或证明23100101102-40-30-20-100102030-20dB/dec-40dB/dec123224100101102-

13、40-30-20-100102030-20dB/dec-40dB/dec1232图5-23 某个1型系统对数幅值曲线) 1()(TssKsG转角频率为2 斜率为decdB/40与/或其延长线与0分贝线的交点为3 的直线T12 ，TK23 ，KKv1由此得到23212331在伯德图上2331loglogloglog3点恰好是2点与1点的中点 25静态加速度误差常数的确定斜率为decdB/40的起始线段/或其1的直线的交点具有的幅值为aKlog20 )( 对数坐标dBdecdB/40decdB/60decdB/2010aaK图5-24 某2型系统对数幅值曲线延长线，与1,)()(2jKjGaaaK

14、jKlog20)(log2012证明26)( 对数坐标dBdecdB/40decdB/60decdB/2010aaK图5-24 某2型系统对数幅值曲线斜率为decdB/40的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率为a在数值上等于aK的平方根 证明01log20)(log202aajKaaK275.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线)(jG可用幅值)(jG和相角)(的向量表示。当输入信号的频率由零变化到无穷大时，向量)(jG的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义

15、的 28-3-2-10123-5-4-3-2-1012Real AxisImag Axis图5-25 极坐标图)(ImjG)(RejG)(jG)(123ImRe0但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响 采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。295.3.1积分与微分因子11)(jjjG所以jjG1)(的极坐标图是负虚轴。jjG)(的极坐标图是正虚轴。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50图5-26 积分因子极坐标图9019

16、0jjG)(030Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-1012300.511.522.533.544.55图5-27 微分因子极坐标图0315.3.2一阶因子TjjG11)(01)0( jG 4521)1(TjGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1.5-1-0.500.511.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50图5-28 一阶因子jjG11)(极坐标图TarctgT2)(1101800)( jGT1)(jG32Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-

17、1012300.511.522.533.544.55图5-29 一阶因子jjG1)(极坐标图335.3.3二阶因子0,)()(211)(2nnjjjG01)0( jG1800)( jG)(jG的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0图5-30 二阶因子极坐标图34对于欠阻尼n时21)(jjGn相角90)(jG的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率n极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率r这

18、时)(jG可以用谐振频率r处的向量幅值，与0处向量幅值之比来确定。当Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0的峰值35过阻尼情况增加到远大于1时，)(jG的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。 当36Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-101 . 037Nyquist DiagramReal Axis

19、Imaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 038Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 039Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 04 . 040Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 04 . 0241对于2)()

20、(21)(nnjjjG )2()1 (22nnj极坐标图的低频部分为：01)0( jG极坐标图的高频部分为：180)( jGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-101230123456图5-31 二阶因子2)()(21nnjj极坐标图42Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-101230123456图5-31 二阶因子2)()(21nnjj极坐标图43例5-2 考虑下列二阶传递函数：) 1(1)(TsssG试画出这个传递函数的极坐标图。解：)1 (1)(TjjjGTarctgTTjjjG90)(1

21、1)1 (1)(2极坐标图的低频部分为：90)0( jG 极坐标图的高频部分为：1800)( jG44Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10图5-32 )1 (1Tjj极坐标图455.3.4 传递延迟465.3.5 极坐标图的一般形状475.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图Nichols ChartOpen-Loop Phase (deg)Open-Loop Gain (dB)-180-135-90-450-50-40-30-20-1001020图5-34 二阶因子对数幅-相图485.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)C(s)R(s)G(s)H(s)图3-35 闭环系统闭环传递函数