第05章__漩涡理论

1、1第五章 第五章：旋涡理论第五章：旋涡理论( (vortex theory) )本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学内容。本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学内容。 旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究存在旋涡运动的流场存在旋涡运动的流场旋涡场旋涡场: :0即流场中即流场中课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？ 为什么游泳时应避开旋涡区？为什么游泳时应避开旋涡区？ 21.1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）度速度环量）2.2.斯托克

2、斯定理斯托克斯定理3.3.汤姆逊定理汤姆逊定理4.4.海姆霍兹定理海姆霍兹定理5.5.毕奥沙伐尔定理毕奥沙伐尔定理6.6.兰金组合涡兰金组合涡 本章讨论内容：本章讨论内容：3 一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余的地方则为无旋区域。的地方则为无旋区域。 自然界中如龙卷风自然界中如龙卷风, ,桥墩后面规则的双排涡桥墩后面规则的双排涡列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。有旋运动：有旋运动：x x,y y,z z在流场中不全为零的流动在流

3、场中不全为零的流动5-1旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念4龙卷风龙卷风1 15龙卷风龙卷风2 26海上漩涡海上漩涡7飞机漩涡飞机漩涡8气旋气旋9气旋气旋10气旋气旋11园盘绕流尾流场中的旋涡园盘绕流尾流场中的旋涡园盘形阻园盘形阻12园球绕流尾流场中的旋涡园球绕流尾流场中的旋涡圆球形阻圆球形阻13园柱绕流尾流场中的旋涡园柱绕流尾流场中的旋涡圆圆柱柱绕绕流流（交交替替涡）涡）14有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡机机翼翼失失速速(有有攻攻角角)15 流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体重

4、的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动。的无旋运动。 旋涡运动理论广泛地应用于工程实际旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机翼、机翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、噪螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。声等问题密切相关。与压力差、质量力和粘性力等与压力差、质量力和粘性力等因素有关。因素有关。旋涡的产生：旋涡的产生：16旋涡场的几个基本概念：旋涡场的几个基本概念： 涡线上所有流体质点在涡线上所有流体质点在同瞬时的旋转角速度矢量同瞬时的旋转角速度矢量与此线相切。与此线相切。涡线涡线(vortex line)(vortex line)：一、涡线一、涡线, ,

5、涡管涡管, ,旋涡强度旋涡强度涡线微分方程：涡线微分方程：dsdxidyjdzk取涡线上一段微弧长取涡线上一段微弧长xyzijk该处的旋转角速度该处的旋转角速度123ds17 由涡线的定义（涡矢量与涡线相切：由涡线的定义（涡矢量与涡线相切：叉积为零叉积为零），得涡线微分方程式：），得涡线微分方程式：( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzx y z tx y z tx y z t(5-1)(5-1) 若已知若已知 ，积分上式可得涡线。积分上式可得涡线。与流线的积分一样，将与流线的积分一样，将看成参数。看成参数。取定取定值就得到该瞬时的涡线。值就得到该瞬时的涡线。

6、,xyz 18涡管涡管涡管涡管（ vortex tube vortex tube ）：）： 在旋涡场中任取一微小封闭曲线在旋涡场中任取一微小封闭曲线C C（不是（不是涡线），过涡线），过C C上每一点作涡线，这些涡线形成上每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称涡管。的管状曲面称涡管。 涡管中充满着作旋转运动的涡管中充满着作旋转运动的流体，称为流体，称为涡束涡束。截面积为无。截面积为无限小的涡束称为限小的涡束称为涡索（涡丝）涡索（涡丝）。涡丝涡丝（vortex filamentvortex filament）：）：19龙卷风龙卷风- -涡线涡线涡线涡线20则则 d dn nd=2d=2n nd

7、d (5-2)为为dd上的上的旋涡强度旋涡强度- -涡通量涡通量若若是涡管的截面，则称为是涡管的截面，则称为涡管强度涡管强度, ,或涡通量或涡通量。任取微分面积任取微分面积dd， 法线分量为法线分量为沿沿面积分得旋涡强度：面积分得旋涡强度：表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量nd dnJ(5-3)21二、速度环量（二、速度环量（velocity circulationvelocity circulation）某瞬时在流场中任取曲线某瞬时在流场中任取曲线ABAB ：速度矢在积分路径方向的分量沿该：速度矢在积分路径方向的分量沿该 路径的线积分。路径的线积

8、分。速度环量速度环量定义定义sABABVds（5 54 4）sV:v在在 向的投影向的投影d sVsVds微元弧微元弧dsA BBABAV ds22 速度环量是速度环量是标量标量，速度方向与积分，速度方向与积分ABAB曲线方曲线方向相同时（成锐角）为正向相同时（成锐角）为正, ,反之为负。反之为负。 线积分方向相反的速度环量相差一负号，即线积分方向相反的速度环量相差一负号，即ABABBABA （5 55)5)速度环量的其他表示形式：速度环量的其他表示形式：cos( ,)xyzABABABABV dsVV ds dsV dx V dy V dz23沿封闭周线沿封闭周线C C的速度环量的速度环量x

9、yzcscccdxV dyV dzV dsVdsVC CdssVV24速度环量的计算速度环量的计算对于无旋流场对于无旋流场:对于有旋场对于有旋场:ABxyzABABBBAAV dxV dyV dzdxdydzxyzd1) 1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量由公式由公式 计算计算ABxyzABABV dsVdx Vdy Vdz252. 2. 若已知速度场，求沿一条若已知速度场，求沿一条闭曲线闭曲线的速度环量的速度环量对于无旋场对于无旋场:对于有旋场对于有旋场:0cxyzcccV dxV dyV dzdxdydzxyzd 2csncV dsd （5 51

10、111）此式称为斯托克斯定理此式称为斯托克斯定理 26三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理沿任意闭曲线的速度环量等于沿任意闭曲线的速度环量等于该曲线为边界的曲面内的旋涡该曲线为边界的曲面内的旋涡强度强度, ,即即 cJ2csncVdsd （5 51111）或或斯托克斯定理：斯托克斯定理：环量与旋涡强度通过线积分环量与旋涡强度通过线积分与面积分联系起来了。与面积分联系起来了。CndJn d27证证 明明: :略略上述斯托克斯定理只适用于上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域单连通区域” C C 所包围的区域所包围的区域内全部是流内全部是流体，没有固体或空洞。体，没有固体或空洞。单连通区域：单连通区域：

11、2csncVdsd （5 51111）Jn d28C C的内部有空洞或者包的内部有空洞或者包含其他的物体含其他的物体。复连通域复连通域( (多连通域多连通域) )：ABAB线将线将切开，则沿周线切开，则沿周线ABBABB，A A，EAEA前进所围的区域前进所围的区域为单连通域。为单连通域。2ABB A EAnd用斯托克斯定理有用斯托克斯定理有: :CC ABD BAEAABCBAL 区域在走向的左侧区域在走向的左侧29C积分路线相反，抵消掉了。积分路线相反，抵消掉了。：沿外边界逆时针的环量：沿外边界逆时针的环量L L ：沿内边界顺时针的环量：沿内边界顺时针的环量ABBA 2CLnd 最后有最后

12、有(5-13)(5-13)这就是双连通域的斯托克斯定理。这就是双连通域的斯托克斯定理。30 反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处零，可得处处为零的结论。为零的结论。单连域内的无旋运动，流场中单连域内的无旋运动，流场中处处处处 为为零零，则沿任意封闭周线的速度环量为零，则沿任意封闭周线的速度环量为零 但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。2200cndd 推论一推论一31推论二推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流对于包含一固体在内

13、的双连通域，若流动无旋，则沿包含固体在内的任意两动无旋，则沿包含固体在内的任意两个封闭周线的环量彼此相等。个封闭周线的环量彼此相等。则则 有：有：2CLnd 即即即即 - (-与方向相反与方向相反)CBA32例例5-1 已知如下速度分布：已知如下速度分布：在在r5范围内，范围内，在在r5范围内，范围内，/5/5xyvyvx ，22225 /()5 /()xyvyxyvxxy ，试分别求出半径为试分别求出半径为 r=3，5和和10的三个圆周上的三个圆周上（都是逆时针方向）的（都是逆时针方向）的速度环量速度环量3，5和和10解：解：在在S1内，内，因为因为1125yxzvvxy33所以，当所以，当

14、 r 5时，以时，以 r为半径的圆上速度环量为为半径的圆上速度环量为2z10122d2255rrSsrdrr3=18/5， 5=10在在 S2内，内，经计算，有经计算，有102yxzvvxy10510式中，式中，5 是逆时针积分。是逆时针积分。34例例5-2 已知已知 220 xyzva yzvv，a为常数。求涡线方程、沿封闭曲线为常数。求涡线方程、沿封闭曲线222()0 xybz的速度环量，式中，的速度环量，式中，b为常数。为常数。解：解： (1)涡线涡线 由题设条件可得由题设条件可得2222102122122yzxxzyyxzvvyzvvazzxyzvvayxyyz 35将此结果代入涡线方

15、程将此结果代入涡线方程(5-1)，有，有ddd0 xyzzy积分得涡线的方程：积分得涡线的方程：1222()xCyzC涡线图涡线图(2) 速度环量速度环量根据斯托克斯公式根据斯托克斯公式zzz2d2d2dCSSSsss下上积分曲线积分曲线(上半圆上半圆)区域区域z/ 2a (下半圆下半圆)区域区域z/ 2a0C 所以：36（3 3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）正压流体（流体密度仅为压力的函数）假设：假设：（1）理想流体理想流体；（2）质量力有势；）质量力有势；由流体质点组成的任一封闭流体由流体质点组成的任一封闭流体周线的速度环量不随时间而变周线的速度环量不随时间而变. . 汤姆逊定理汤姆

16、逊定理: :（5 51414）即即0ddt5-2 汤姆逊定理汤姆逊定理37证明证明 设流场中所指定的某封闭流体周线为设流场中所指定的某封闭流体周线为C。在。在C上取一微分长度上取一微分长度ds，经经dt 时间后，时间后，C移到移到 C ，则，则ds相应地变为相应地变为ds，按照速度环量定义，若，按照速度环量定义，若对它求时间的导数，则：对它求时间的导数，则：dddddddddddCCCvvssvstttt上式第二项积分可写成上式第二项积分可写成2dddd()ddd1=d()022CCCCCssvsvvvttvd v v （）38对前式的第一项应用欧拉方程：对前式的第一项应用欧拉方程：d1dvf

17、ptd1d() ddCCvsfpst质量力有势质量力有势fU 正压流体，正压流体， 即即pp()；dpP=1=pP有：有：dd() dd()0dCCCvsUPsUPtd0dt所以可证所以可证构造函数构造函数39 速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。应力，不能传递旋转运动。汤姆逊定理和斯托克斯定理说明汤姆逊定理和斯托克斯定理说明（理想、正压、理想、正压、有势力场）有势力场）： 2) 推论推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡

18、和 速度环量的，就永远无旋涡和速度环量。速度环量的，就永远无旋涡和速度环量。 拉格朗日定理拉格朗日定理：在：在理想理想、正压、质量力有势的、正压、质量力有势的条件下，涡量不生不灭。条件下，涡量不生不灭。40注意注意: 贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性的存在，这极薄一层为有旋运动。的存在，这极薄一层为有旋运动。 又如绕流物体的流动，远前方流动对物体又如绕流物体的流动，远前方流动对物体无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，流动仍保持为无旋

19、运动。流动仍保持为无旋运动。 例如，从静止开始的波浪运动，由于流体例如，从静止开始的波浪运动，由于流体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运动是无旋运动。动是无旋运动。41- 海姆霍兹定理海姆霍兹定理海姆霍兹第一定理海姆霍兹第一定理 涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同） 海姆霍兹第一定理海姆霍兹第一定理说明涡管各截面上的旋说明涡管各截面上的旋涡强度都相同。涡强度都相同。nndddCSSSvl n s n sddSS n s n s根据斯托克斯定理，有根据斯托克斯定理，有所以所以42结论

20、：结论： (1) 涡管不能在流体中以尖端形式终涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始，否则止或开始，否则 时有时有。不可能的情况（2）对同一个涡管来说，在）对同一个涡管来说，在截面积越小的地方，流体旋截面积越小的地方，流体旋转的角速度越大。转的角速度越大。涡管存在的形式涡管存在的形式：43海姆霍兹第二定理海姆霍兹第二定理涡管保持定理涡管保持定理 正压、理想流体在有势质量力作用下，正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管永远由相同的流体质点所组成。证明：证明：涡管表面上取封闭流体周线涡管表面上取封闭流体周线C由斯托克斯定理知沿周线由斯托克斯定理知沿周线C C的的 =0

21、=0涡管涡管由汤姆逊定理该速度环量永远为零由汤姆逊定理该速度环量永远为零即即C C所围的区域永远没有涡线通过。所围的区域永远没有涡线通过。 即涡管永远由相同的流体质点所组成。即涡管永远由相同的流体质点所组成。但涡管的形状和位置可能随时间变化。但涡管的形状和位置可能随时间变化。44海姆霍兹第三定理海姆霍兹第三定理海姆霍兹第三定理海姆霍兹第三定理涡管旋涡强度不随时间而变涡管旋涡强度不随时间而变 正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管的旋涡强度不随时间而变。的旋涡强度不随时间而变。 由斯托克斯定理知由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡绕涡管的速度环量等于涡管的

22、旋涡强度管的旋涡强度，又由汤姆逊定理知该，又由汤姆逊定理知该速度环量不速度环量不随时间变随时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。无旋流场中若存在若干孤立的涡，那么无旋流场中若存在若干孤立的涡，那么涡核涡核以以内的有旋流和涡核以外的无旋流始终是分开的。内的有旋流和涡核以外的无旋流始终是分开的。45 第二、第三涡定理则要求运动是环量守恒第二、第三涡定理则要求运动是环量守恒的，也就是要求：流体是理想、正压、质量的，也就是要求：流体是理想、正压、质量力有势的。满足这三个条件，定理成立。力有势的。满足这三个条件，定理成立。 旋涡的改变至少有三种可能的诱发因素：旋涡的改

23、变至少有三种可能的诱发因素：(1)流体的粘性；流体的粘性；(2)非正压性；非正压性；(3)非有势质量力的作用非有势质量力的作用 第一涡定理是运动学方面的定理，只要流第一涡定理是运动学方面的定理，只要流体无粘性，该定理就能成立。体无粘性，该定理就能成立。465-4 毕奥一沙伐尔定理毕奥一沙伐尔定理问题问题 已知速度场可由式（已知速度场可由式（3-393-39）和（）和（3-403-40）求偏导来确定旋涡场。求偏导来确定旋涡场。已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节要讨论的问题要讨论的问题问题的前提：问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其流场中只存在一部分旋涡，

24、其 它区域全为无旋区。它区域全为无旋区。由旋涡引起的速度称为由旋涡引起的速度称为旋涡诱导速度场旋涡诱导速度场。涡索（丝）、线涡、点涡涡索（丝）、线涡、点涡47点涡点涡位于坐标原点的点涡强度为位于坐标原点的点涡强度为，根据斯托克，根据斯托克斯定理，有斯定理，有20ddd2SC n svlv rvr点涡周围的速度场（诱导速度）点涡周围的速度场（诱导速度）20rvrv48点涡也称为势涡，其诱导速度场中的流体点涡也称为势涡，其诱导速度场中的流体是无旋的。是无旋的。122vrr公转角速度公转角速度自转角速度自转角速度22dd2vrr 120总的旋转角速度总的旋转角速度49诱导速度公式诱导速度公式vr A

25、点有一个点涡，它在点有一个点涡，它在M点点产生的诱导速度产生的诱导速度vr3()ddrVvr3()ddrVvCr3dVrvCVr微元体积微元体积dV中的涡量产生的诱导速度中的涡量产生的诱导速度即即因此，诱导速度一般公式因此，诱导速度一般公式50ddVS lS 为涡索的截面积。为涡索的截面积。涡索的旋涡强度涡索的旋涡强度J=2S=d2d2dd VS lS l ldrd inlr ls3()ddrVvCr所以，前式所以，前式2in ddslvCr对于直涡索，有如下几何关系对于直涡索，有如下几何关系ddsinrl/ inrR sin ddsvCR 51AB在在M点产生的诱导速度：点产生的诱导速度：流

26、体力学中流体力学中毕奥毕奥沙伐尔公式沙伐尔公式的形式的形式coscosin dBAABCvsCRR 无限长直线涡的诱导速度无限长直线涡的诱导速度2vCR52由该速度与前面点涡由该速度与前面点涡的诱导速度相比较，的诱导速度相比较，得：得：14C将此常数代入将此常数代入(5-10)式，式，得到毕奥得到毕奥沙伐尔沙伐尔(Biot-Savrt)公式：公式：31d4VrvVr2sind4Vlvr对于涡索对于涡索对于有限长直线涡对于有限长直线涡(coscos)4ABvR对于半无限长直线涡对于半无限长直线涡(1cos)4BvR对于无限长直线涡对于无限长直线涡2vR53 为了求为了求涡丝涡丝诱导速度场，现将电

27、磁场中诱导速度场，现将电磁场中的毕奥的毕奥沙伐尔定理引用过来。沙伐尔定理引用过来。诱导速度场与电磁场的类比诱导速度场与电磁场的类比带电导线带电导线 涡丝涡丝(线线)电流强度电流强度 旋涡强度旋涡强度 诱导磁场强度诱导磁场强度 诱导速度场诱导速度场磁磁 场场诱导速度场诱导速度场dHdV涡丝诱导的速度场的计算涡丝诱导的速度场的计算:542sinrdsidH 电磁学中，电流强度为的导线，其微元电磁学中，电流强度为的导线，其微元导线导线dsds对场点所产生的磁场强度由对场点所产生的磁场强度由毕奥毕奥沙伐尔公式沙伐尔公式得得: :垂直于垂直于dsds和所在的平面，按右手法则确定。和所在的平面，按右手法则

28、确定。: ds离场点离场点P的矢径的矢径式中：式中：: 是是ds与的夹角与的夹角d dH H 的方向的方向: :55 流场中多条涡丝可组成一涡面流场中多条涡丝可组成一涡面, , 每条每条涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中速度场可以看成是涡丝诱导出来的。速度场可以看成是涡丝诱导出来的。 直线涡在自身轴及其延长线上各点直线涡在自身轴及其延长线上各点不产生诱导速度不产生诱导速度56例例5.15.1如图强度相等的两点涡的初始位置，试如图强度相等的两点涡的初始位置，试就就(a)(a)和和(b)(

29、b)两种情况决定此两点涡的运动。两种情况决定此两点涡的运动。解解: (a)(a)：0AxAdxvdt点：点：1224AyAdyvdtaa 由由BS定律定律- -570BxBdxvdtB点：点：1224ByBdyvdtaa 34,4BBxcytca 12,4AAxcytca 积分得积分得:,0,0,AABBxayxay 令时令时代入方程得代入方程得: 1= 2= 3=- - 4=- -58故，两点的运动方程为故，两点的运动方程为: :点：点：,4BBxayta 在在(a)(a)中，两点涡大小相等，中，两点涡大小相等，方向相反。方向相反。,4AAxayta 点：点： 两点涡相对位置保持不变，它们同

30、时沿两点涡相对位置保持不变，它们同时沿方向等速向下移动。方向等速向下移动。590AxAdxvdt点：点：4AyAdyvdta0BxBdxvdt4ByBdyvdtaB点：点： 开始点向上，点向下运动，形成围绕开始点向上，点向下运动，形成围绕坐标原点，沿半径为的圆周的等速转动。坐标原点，沿半径为的圆周的等速转动。转动的角速度为转动的角速度为:24 a情况情况 ( b )60旋涡中心点和点的运动方程为：旋涡中心点和点的运动方程为：2,4BBrata 对于：对于：2,4AArata对于：对于：61例例5-2 如图所示，一如图所示，一形涡，强度形涡，强度(环量环量)为为，试计算该涡所在平面对称轴上试计算

31、该涡所在平面对称轴上M点和点和O点两处的点两处的诱导速度。诱导速度。解：解： 各段涡在各段涡在M点的点的的诱导速度是的诱导速度是o12222/ 2/ 2cos9044( / 2)( / 2)llvbblblb在在OA段：段：62o22222cos014 ( / 2)4 ( / 2)( / 2)( / 2)bbvlllblb在在A段：段：2212( / 2)2()1Mlbvvvlb在在M点：点：202()Mbvvl在在O点：点：63例例5-3 设水平面（设水平面（oxy平面）内有一半径为平面）内有一半径为a，强度为，强度为 的圆环形涡线，试求：此圆环在对的圆环形涡线，试求：此圆环在对称轴线（称轴

32、线（z轴）上的诱导速度。轴）上的诱导速度。解：解：（1）取对称轴为）取对称轴为 z 轴，方向垂直向上，并取轴，方向垂直向上，并取涡环中心为坐标原点，如涡环中心为坐标原点，如图：图：在圆环涡线上取一微元涡在圆环涡线上取一微元涡线线 ，其对，其对z 轴上轴上M 点点的诱导速度为：的诱导速度为：34dsrdVr ds 64o33222sin90=444d4 ()dsrds rdsdVrrraaz ds r dv Md 65ds r dv Md d 22222223/222dddcos4 ()4 ()4 ()aaaadwazazazaz dVz 在在 轴轴的的投投影影为为：66所以，整个环形涡对所以，

33、整个环形涡对M 点的诱导速度为：点的诱导速度为：d s r d v Md d 675-6 兰金组合涡兰金组合涡 兰金组合涡兰金组合涡： 涡核是半径为的无限长圆柱形流体，涡核是半径为的无限长圆柱形流体，涡量涡量均匀分布均匀分布；涡核以外的流体按；涡核以外的流体按点涡点涡流场规律运流场规律运动。动。 即，受迫涡即，受迫涡+自由涡。自由涡。 这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。旋涡内部和

34、外部分开。68（1 1）旋涡内部：）旋涡内部：流体象刚体一样绕中心转动流体象刚体一样绕中心转动0,rVVr（r R）一、速度分布一、速度分布69式中：式中：2222.RRconst 外部流速与成反比。外部流速与成反比。70二、压力分布二、压力分布（1 1）旋涡外部：）旋涡外部：流动定常且流动定常且无旋无旋由拉格朗日积分式确定速度和压力的关由拉格朗日积分式确定速度和压力的关系。略去质量力有：系。略去质量力有：212pVC由边界条件由边界条件，02Vr该处该处0 0，则有，则有0 0 压力分布压力分布为：为：2012ppV（rR）711.1.愈靠近中心，速度值愈大，压力愈靠近中心，速度值愈大，压力

35、愈小。愈小。2.在旋涡边界上，在旋涡边界上，r r = =R R，V V V VR R，如相应，如相应 的压力为的压力为 P P 则则2012RRppV即在边缘即在边缘R R上，压力较无穷远处下降了上，压力较无穷远处下降了 212RV结论：结论：72（2 2）旋涡内部）旋涡内部: :定常定常有旋有旋流动流动由由伯努利方程伯努利方程有：有：212LpVC流线为同心圆族，不同流线上压力不同。流线为同心圆族，不同流线上压力不同。由由欧拉方程欧拉方程（给定边界条件，略去质量力）（给定边界条件，略去质量力）求解：求解：1xxxyVVpVVxyx 1yyxyVVpVVxyy 73因因 V Vx xyy，V

36、 Vy y，代入上式得：，代入上式得：21pxx21pyy将以上两式分别乘以将以上两式分别乘以d dx x 和和 d dy y， 再相加得：再相加得：2()ppxdxydydxdydpxy222()2xydpd或或积分得：积分得：22221()22xypcVc74在旋涡边缘上：在旋涡边缘上：201,2RRRrRVVpppV旋涡内部压力分布：旋涡内部压力分布：22012RppVV代入代入212pVc20RcpV得得 旋涡中心旋涡中心0,0rV旋涡中心的相对压力为旋涡中心的相对压力为20RppV 旋涡外部旋涡外部:速度越大压力越小速度越大压力越小旋涡内部旋涡内部:速度越小压力越小速度越小压力越小75液体中的兰金（液体中的兰金（RankineRankine）涡）涡: :具有自由表面流具有自由表面流场中的铅直方向的圆柱形涡。场中的铅直方向的圆柱形涡。压力分布：压力分布：2402222202+2RpgzrpprRgz() rR() rR重力的影响重力的影响令令 p = po可求得可求得 z ，即自由表面形状。，即自由表面形状。76r rR R R区域，水面凹陷与区域，水面凹陷与2 2成反比成反