22.3三角形的中位线

1、 如图，如图，E E、F F为为ABCABC中中ABAB、ACAC的中的中点，则点，则EFEF与与BCBC有怎样的关系？有怎样的关系？FECBA结论：结论：EFBCEFBC， 2EF = BC 2EF = BC三角形的中位线三角形的中位线学习目标学习目标 1.知道什么是中点四边形；知道什么是中点四边形； 2.能判断常见四边形的中点四边能判断常见四边形的中点四边形的形状；形的形状； 3.归纳中点四边形的形状的规律归纳中点四边形的形状的规律; 4.进一步熟悉中位线定理的应用。进一步熟悉中位线定理的应用。 例例： 如图，如图，E E、F F、G G、H H分别为四边分别为四边形形ABCDABCD的四

2、边的中点，顺次连接的四边的中点，顺次连接EFEF、FGFG、GHGH、HEHE得到四边形得到四边形EFGHEFGH，我们把我们把这种这种顺次连结四边形各边中点所得到顺次连结四边形各边中点所得到的新四边形称为的新四边形称为中点四边形。中点四边形。例例1 1 思考：顺次连结任意四边形四思考：顺次连结任意四边形四条边的中点，所得的四边形是什么四条边的中点，所得的四边形是什么四边形边形. .ABCDEFGH已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGHEFG

3、H是平行四边形是平行四边形。求证求证平行平行四四探究一：如果我们改变外围四边形的形状，当其变为特殊的四边形时，中点四边形的形状会有怎样的变化呢？ （1 1）当四边形）当四边形ABCDABCD变为变为平行四边形平行四边形时，中点四边形时，中点四边形EFGHEFGH是什么图形？是什么图形？几何画板演示（EFGH为平行四边形）为平行四边形） （2 2）当四边形）当四边形ABCDABCD变为变为菱形菱形时，中时，中点四边形点四边形EFGHEFGH是什么图形？是什么图形？几何画板演示（EFGH是矩形）是矩形） （3 3）当四边形）当四边形ABCDABCD变为变为矩形矩形时，中时，中点四边形点四边形EFG

4、HEFGH是什么图形？是什么图形？ 几何画板演示（EFGH是菱形）是菱形）HGFEDCBA （4 4）当四边形）当四边形ABCDABCD变为变为正方形正方形时，时，中点四边形中点四边形EFGHEFGH是什么图形？是什么图形？ 几何画板演示（EFGH是正方形）是正方形） 总结总结上面几题的结论，你有什么感受？上面几题的结论，你有什么感受？ 我思我思 我进步我进步原四边形原四边形对角线特征对角线特征中点四边形形状中点四边形形状任意四边形任意四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形相等相等垂直垂直相等且垂直相等且垂直平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形菱形菱形矩形矩形正方形正方形探

5、究二：如果我们想得到特殊的中点四边形，其外围四边形应具有怎样的特征呢？1 1、顺次连接怎样的四边形各边中点能得、顺次连接怎样的四边形各边中点能得到一个平行四边形。到一个平行四边形。提示：先从特殊条件最少的一般四边形提示：先从特殊条件最少的一般四边形探究开始。探究开始。结论：顺次连接任意四边形各边中点能结论：顺次连接任意四边形各边中点能得到一个平行四边形。得到一个平行四边形。2 2、顺次连接怎样的四边形各边中点能得、顺次连接怎样的四边形各边中点能得到菱形。到菱形。提示：外围四边形必须是矩形吗？能不提示：外围四边形必须是矩形吗？能不能在减少一些特殊要求？能在减少一些特殊要求？外围四边形没有任何要求

6、外围四边形没有任何要求得到的中点四边形是平行得到的中点四边形是平行四边形四边形外围四边形为矩形，得到外围四边形为矩形，得到的中点四边形是菱形。的中点四边形是菱形。在完成相关证明是我们关键在完成相关证明是我们关键利用了距形的什么性质。利用了距形的什么性质。所以要得到中点四边形是所以要得到中点四边形是菱形，外围四边形必须具菱形，外围四边形必须具备的条件是什么？备的条件是什么？对角线相等。对角线相等。3 3、顺次连接怎样的四边形各边中点能得、顺次连接怎样的四边形各边中点能得到距形。到距形。提示：外围四边形必须是菱形吗？能不提示：外围四边形必须是菱形吗？能不能在减少一些特殊要求？能在减少一些特殊要求？

7、结论：顺次连接结论：顺次连接对角线互相垂直对角线互相垂直的四边的四边形各边中点得到的是形各边中点得到的是4 4、顺次连接怎样的四边形各边中点能得、顺次连接怎样的四边形各边中点能得到正方形。到正方形。提示：外围四边形必须是正方形吗？能提示：外围四边形必须是正方形吗？能不能在减少一些特殊要求？不能在减少一些特殊要求？结论：顺次连接结论：顺次连接对角线相等且互相垂直对角线相等且互相垂直的四边形各边中点得到的是的四边形各边中点得到的是 判定下列各图形中，中点四边形判定下列各图形中，中点四边形 的形状？的形状？（菱形）（菱形）（矩形）（矩形）（正方形）（正方形）原四边形两条对角线原四边形两条对角线中点四

8、边形中点四边形 实际上，实际上，“中点四边形中点四边形”一定是平行四一定是平行四边形，它是不是特殊的平行四边形取决于它边形，它是不是特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关相平分无关. .归纳 互相垂直互相垂直矩形矩形相等相等菱形菱形互相垂直且相等互相垂直且相等正方形正方形既不互相垂直也不相等既不互相垂直也不相等平行四边形平行四边形 原四边形两对角线的数量关系决定了中点原四边形两对角线的数量关系决定了中点四边形的边，位置关系决定了中点四边形的角。四边形的边，位置关系决定了中点四边形的角。（1 1）若对角线相等，则中点四边形为

9、菱形；）若对角线相等，则中点四边形为菱形；（2 2）若对角线垂直，则中点四边形为矩形；）若对角线垂直，则中点四边形为矩形；（3 3）若对角线相等且垂直，则中点四边形为）若对角线相等且垂直，则中点四边形为正方形。正方形。 总结总结上面几题的结论，你能找出什么上面几题的结论，你能找出什么规律？中点四边形的形状由什么决定？规律？中点四边形的形状由什么决定？ 我思我思 我进步我进步原四边形原四边形对角线特征对角线特征中点四边形形状中点四边形形状任意四边形任意四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形相等相等垂直垂直相等且垂直相等且垂直平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形菱形菱形矩形矩形

10、正方形正方形应用应用1 1、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD，对角线对角线AC=BDAC=BD，ACBDACBD，E E、F F、G G、H H分别为各边分别为各边的四等分点，则四边形的四等分点，则四边形EFGHEFGH是是_. _. GFEHACBD应用应用2 2：如图，梯形：如图，梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，M M是是ADAD中点，中点，N N是是BCBC中点，中点，E E是是CDCD中点，中点，F F是是ABAB中点。中点。试说明试说明: :（1 1） 若若EF=MNEF=MN，则则BDACBDAC；（2 2） 若若AC=BDAC=BD，则则EFEF MNMN

11、；（3 3） 若若ACBDACBD，则则EF=MNEF=MN。ABCDFMNE（1 1）如图，当点）如图，当点O O在在ABCABC内内时，求证：四边形时，求证：四边形DEFGDEFG是平是平行四边形；行四边形；（2 2）当点）当点O O移到移到ABCABC外时，外时，上小题的结论是否仍成立？上小题的结论是否仍成立？（3 3）若四边形）若四边形DEFGDEFG为矩形，为矩形，则点则点O O所在位置应满足什么条所在位置应满足什么条件，试说明理由。件，试说明理由。（动画演示） 点点O O是是ABCABC所在平面内一动点，连结所在平面内一动点，连结OBOB、OCOC，并把并把ABAB、OB OB 、

12、 OC OC、CACA的中点的中点D D、E E、F F、G G顺次连结起来，设顺次连结起来，设DEFGDEFG能够成四边形。能够成四边形。 1 1、已知四边形、已知四边形ABCDABCD和对角线和对角线ACAC、BDBD，中中点四边形点四边形MNPQMNPQ，判断下列说法是否正确？判断下列说法是否正确？（1 1）若四边形）若四边形MNPQMNPQ为矩形，则原四边形为矩形，则原四边形 ABCDABCD是菱形。是菱形。（2 2）若四边形）若四边形MNPQMNPQ为菱形，则为菱形，则AC=BDAC=BD。（3 3）若）若ACBDACBD，则四边形则四边形MNPQMNPQ为矩形。为矩形。（4 4）若

13、四边形）若四边形MNPQMNPQ为矩形，则为矩形，则BAD=90BAD=90度。度。2 2、已知：如图，分别以、已知：如图，分别以BMBM、CMCM为边，向为边，向 BMCBMC形外做等边三角形形外做等边三角形ABMABM、CDMCDM，E E、F F、G G、H H分别为分别为ABAB、BCBC、CDCD、DADA中点。中点。 （1)1)猜测四边形猜测四边形EFGHEFGH的形状，的形状，（2)2)并证明你的猜想；并证明你的猜想；(3) (3) BMCBMC形状的改变是形状的改变是否对上述结论有影响。否对上述结论有影响。HGFEDAMCB挑战 自我 四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且A

14、CBD，顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1，又依次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2,依次类推，得到四边AnBnCnDn。B3C3D3A3B2C2D2A2C1D1B1DCBA1A(1)四边形A1B1C1D1是_ ，四边形A2B2C2D2是_ ，四边形A11B11C11D11是_ ；矩形矩形矩形矩形菱形菱形(2)四边形AnBnCnDn是什么形状呢？知知识识的的升升华华 原四边形与中点四边原四边形与中点四边 形两者的面积有什么关形两者的面积有什么关 系？你可能还记得一个系？你可能还记得一个 三角形的面积恰为其中三角形的面积恰为其中点三角形面积的四倍，那么这里是否也点三角形面积的四倍，那么这里是否也有同样的关系呢？有同样的关系呢？ 把你的想法与同学交流一下，并设把你的想法与同学交流一下，并设法用你学过的数学知识证实你们的想法。法用你学过的数学知识证实你们的想法。应用：如图，矩形应用：如图，矩形ABCDABCD的长为的长为4 4，宽为，宽为3 3，连续取三次中点后的最小四边形的面积连续取三次中点后的最小四边形的面积为多少？为多少？CABD草坪问题：我们学校有草坪问题：我们学校有一块不规则四边形的草一块不规则四边形的草坪，在