广东金融学院金融工程课件 第三章 远期与期货定价

1、阮坚Email：Teleibo： 阮坚2 金融系 阮坚3基础基础知识知识一一、利率、利率有关有关问题问题（一一）单利）单利4对利息不再计算利息，计算公式是对利息不再计算利息，计算公式是：式中，式中，I为利息额，为利息额，A为本金现值，为本金现值，r为每期利率，为每期利率，n为为计息期数计息期数，F为本利和（终值）为本利和（终值）1IA n rFAnr 金融系 阮坚5( (1+r)n也称为复利终值系数。也称为复利终值系数。复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额A 以以利率利率r 投资了投资了n 期，投

2、资的终值是：期，投资的终值是：（二）复利（二）复利1nFAr例例 假设某投资者将假设某投资者将10001000元存入银行，存期元存入银行，存期5 5年，年利率年，年利率1010，按年，按年复利计息，复利计息，5 5年后的终值是年后的终值是10001000(1+10(1+10) )5 51610.511610.51元。元。金融系 阮坚6（三）连续复利（三）连续复利一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若R为年利率，为年利率，则式则式说明一年复利一次的计算，其中说明一年复利一次的计算，其中A为投资额（本金现值）为投资额（本金现值）。设一年

3、内计设一年内计m次复利，年利率为次复利，年利率为R，投资期限为，投资期限为n年，则终值为：年，则终值为：我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分为为2期、期、4期等。此时，表示出的年利率为期等。此时，表示出的年利率为名义利率名义利率（每年（每年复利复利m次次的年利率）。的年利率）。1nFAR1mnRFAm11mREARm有效利率有效利率金融系 阮坚7lim1mnRnmRAAem如果将计息次数如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，我们称之为连续复利

4、我们称之为连续复利(continuous compounding)：若若A=100, R0.10, n1，以连续复利计终值为：以连续复利计终值为：100e0.1110.52元。元。（与（与m365比较）。比较）。金融系 阮坚8设本金设本金A100元，年利率元，年利率n10%，则年末终值如下表所示，则年末终值如下表所示复利频率复利频率100元在一年末的终值元在一年末的终值每年（每年（m=1）110.00每半年（每半年（m2）110.25每季度（每季度（m=4）110.38每月（每月（m12）110.47每周（每周（m52）110.51每天（每天（m365）110.52连续复利连续复利110.52

5、因此因此，年利率，年利率10%（名义）保持不变，名义）保持不变，提高计复利的频率使提高计复利的频率使100100元的年元的年末终值增大。末终值增大。当当m365时，终值时，终值F110.52元。元。 通常认为连续复利与每天计复利定价通常认为连续复利与每天计复利定价金融系 阮坚9（四）利率之间的转换（四）利率之间的转换11ln/mRmmccemRmRmRmnmnRmRAAec)1 ( 在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相同时，连续复利的计息利率最小。同时，连续复利的计息利率最小。如果如果Rc是连续复利的利率，是连

6、续复利的利率， Rm为与之等价每年计为与之等价每年计m次复利的利率（以次复利的利率（以年利率表示），则有：年利率表示），则有：所以所以10根据题意已知，根据题意已知，m=2，Rm0.10，Rc2ln（1+0.1/2）0.09758，即连续复利的年息应为即连续复利的年息应为9.758例：例： 某特定金额的年息为某特定金额的年息为10%10%，每半年复利一次（半年计息一次），每半年复利一次（半年计息一次），求一个等价的连续复利的利率。求一个等价的连续复利的利率。例：例： 假设某债务人借款的利息为年息假设某债务人借款的利息为年息8 8，按连续复利计息。而实际，按连续复利计息。而实际上利息是一年支付一

7、次。则一年计一次息（上利息是一年支付一次。则一年计一次息（m1）的等价年利率为：）的等价年利率为：0833. 0108. 0 eRm即年利率为即年利率为8.338.33，这说明，对于，这说明，对于10001000元的借款，该债务人在年底要元的借款，该债务人在年底要支付支付83.383.3元的利息。元的利息。 金融系 阮坚二、现值与贴现二、现值与贴现rnrnFAeAFe11现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴现率。现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴现率。（一）现值（一）现值按贴现率按贴现率r 计算，计算，n 期后得到的金额期后得到的金额F F 的现值计算公式为的现值计算公式

8、为：nrFA)1/( nr)1/(1被称作被称作现值系数现值系数。（二）连续复利现值（二）连续复利现值在连续复利现值的情况下，按贴现率在连续复利现值的情况下，按贴现率r 计算，计算，n 年（期）后得到年（期）后得到F 元的元的现值计算公式为：现值计算公式为：金融系 阮坚金融系 阮坚121. 远期价格与期货价格远期价值、远期价格与期货价格 交割价格交割价格（Delivery Price） 远期价值远期价值（Forward Value）远期合约本身的价值 多头多头或空头购买或出售合约本身给他们带来的或空头购买或出售合约本身给他们带来的价价值值 签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的

9、预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。 远期合约签订后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。 13金融系 阮坚 远期价格远期价格（Forward Price）：）： 使得远期价值为零的交割价格（理论交割价格） 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零 ，实际上隐含了套利空间。 在远期合约签订以后，交割价格已经确定，远期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割价格。金融系 阮坚14 期货期货价格价格（Fu

10、tures Prices） 为使得期货合约价值为零的理论交割价格。 对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投资者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价的变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此期货合约价值在每日收盘后都归零。 金融系 阮坚15远期价格与期货价格的关系当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，其他条件相同的远期价格和期货价格相等。当标的资产价格与利率呈很强的正相关关系时，期货价格高于远期价格 利率上升，标的资产价格上升时，期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率将所获利润进行再投

11、资。 利率下跌，标的资产价格下跌时， 期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。 相比之下，远期合约的多头将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。当标的资产价格与利率呈很强的负相关关系时，远期价格高于期货价格金融系 阮坚16 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效 期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异。 远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的，其差别

12、主要体现在交易机制和交易费用的差异上，在很多情况下常常可以忽略，或进行调整。 因此在大多情况下，我们可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。 金融系 阮坚17金融系 阮坚182. 远期合约定价基本假设没有交易费用和税收市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金远期合约没有违约风险允许现货卖空行为当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，其理论价格就是无套利机会下的均衡价格。期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人无需成本就可取得远期和期货的多头和空头地位。 这些假设的含义是： 市场价格就是无套利机会时的价格。金融系 阮坚19主要符号 T：

13、远期和期货合约的到期时刻，单位为年。 t： 当前时刻，单位为年。T - t 代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期的剩余时间。 S： 远期（期货）标的资产在时间t 时的价格。 ST： 远期（期货）标的资产在时间T 时的价格（在t 时刻此为未知变量）。 K： 远期合约中的交割价格。 f： 远期合约多头在t 时刻的价值，即t 时刻的远期价值。 F： t 时刻的理论远期价格和理论期货价格. r： T 时刻到期的以连续复利计算的t 时刻的无风险利率（年利率）。金融系 阮坚20思考题 假设黄金现货价格为1000美元，市场普遍认为1年后黄金现货价格会涨到2000美元，请问：1年期黄金期货目前的价格应为1

14、000美元左右还是2000美元左右？ 现货价格+持有成本金融系 阮坚21什么是套利？套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒任何损失风险且无需投资者自有资金的情况下有可能赚取利润的交易策略（或行为）。严格套利的三大特征：无风险/复制/零投资在套利无法获取无风险超额收益的状态下，市场达到无套利均衡，此时得到的价格即为无套利价格。无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区别于经济学“供给需求分析”的一个重要特征。金融系 阮坚22无套利定价原理(APT, Arbitrage pricing theory)无套利定价法的基本思路为无套利定价法的基本思路为：构建两种投资组合

15、，构建两种投资组合，让其让其终值相等，则其现值一定相等终值相等，则其现值一定相等；否则就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。套利的理论基础在于经济学中所谓“一价定律”，即忽略交易费用的差异，同一商品只能有一个价格。 金融系 阮坚23类型典型代表1.无收益资产(1

16、)贴现债券(2)不支付股利的股票2.支付已知现金收益资产(1)付息债券(2)支付已知现金红利的股票(3)贵金属3.支付已知收益率资产(1)货币：收益率为无风险利率，利率远期或外汇远期(2)股票指数资产的分类金融系 阮坚24无收益资产的远期价值I 无收益资产是指在远期到期前不产生现金流的资产，如贴现债券。 构建组合： 组合A ： 一份远期合约多头加上一笔数额为 的现金（无风险投资） 组合B ： 一单位标的资产。金融系 阮坚25)(tTrKe金融系 阮坚26无收益资产的远期价值II 远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产，因此必须相等。金融系 阮坚27SKeftTr)()(tTrKeSf 两

17、种理解： 无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。 一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和 无风险负债组成。)(tTrKe现货-远期平价定理 远期价格： F 就是使合约价值f 为零的交割价格K 。 无收益资产的现货-远期平价定理：对于无收益资产而言，金融系 阮坚28)(tTrSeFTtSer(T-t)S反证法 运用无套利原理对无收益资产的现货-远期平价定理的反证 金融系 阮坚29?)(tTrSeK?)(tTrSeK案例3.1 I 6 个月期的无风险年利率为4.17% 。市场上正在交易一份标的证券为一年期零息债、剩余期限为6 个月的远期合约多头，其交割

18、价格为970 元，该债券的现价为960 元。请问对于该远期合约的多头和空头来说，远期价值分别是多少？金融系 阮坚30案例3.1 II 根据题意，有 S = 960; K = 970; r = 4.17%; T t = 0:5 该远期合约多头的远期价值f 为： 该远期合约空头的远期价值为 f = 10.02 元金融系 阮坚31()4.17% 0.596097010.02 r T tfSKee 32 例：期限为3个月的股票远期合约的价格为39美元。3个月后到期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。问：是否存在套利机会，如何套利？ 已知： 判断： 期货价格被低估 套利：0时刻T时刻

19、1.卖空现货：402.按年利率r进行期限为T投资：-403.购买远期合约：01.投资得本利和 ：40.502.交割远期合约，支付：-393.再用期货交割中所得的证券冲抵原来的现货空头部位。合计：0合计：40.50-39=$1.500.05 3/124040.5039r(T t)See0.05 3/121.012578e远期价格的期限结构 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。 案例3.3 金融系 阮坚33)(tTrSeF)*(*tTrSeF)()*(*tTrtTrFeF已知现金收益的资产 已知现金收益的资产 在到期前会产生完全可预测的现金流的资产 例子 正现金收益的资产：附息债

20、和支付已知现金红利的股票收益的资产：黄金、白银（支付存储成本） 令已知现金收益的现值为I ，对黄金、白银来说， I 为负值。金融系 阮坚34支付已知现金收益资产的远期价值I 构建组合： 组合组合A ： 一份远期合约多头加上一笔数额为 的现金。 组合组合B ： 一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日、本金为I 的负债。 远期合约到期时，两组合都等于一单位标的资产： 金融系 阮坚35)(tTrKeISKeftTr)()(tTrKeISf支付已知现金收益资产的远期价值II 两种理解： 支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价

21、格现值之差。 一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和 单位无风险负债构成。 由于使用的是I 的现值，所以支付一次和多次现金收益的处理方法相同。金融系 阮坚36)(tTrKeI)(tTrKeISf支付已知现金收益资产的现货远期平价公式 根据F 的定义，可从上式求得： 公式的理解：金融系 阮坚37)()(tTreISFTt(S-I)er(T-t)SII1I2由于使用的是由于使用的是 I 的现值，所以的现值，所以支付一次和多支付一次和多次现金收益的次现金收益的处理方法相同。处理方法相同。案例3.5 假设黄金现货价为每盎司733 美元，其存储成本为每年每盎司2 美元，一年后支付，

22、美元一年期无风险利率为4% 。 那么一年期黄金期货的理论价格为 其中， ，故金融系 阮坚381%4)()733()(eIeISFtTr1%42eI4% 1(733 1.92)764.91/Fe美元 盎司支付已知收益率的资产 支付已知收益率的资产 在远期到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产 支付已知收益率资产的远期合约 外汇远期和期货：外汇发行国的无风险利率 股指期货：市场平均红利率或零，取决于股指计算方式 远期利率协议：本国的无风险利率金融系 阮坚39支付已知收益率的资产I 建立组合： 组合A ： 一份远期合约多头加上一笔数额为 的现金； 组合B ： 单位证券并且所有收入都 再投

23、资于该证券，其中q 为该资产 按连续复利计算的已知收益率。 两种组合现值相等： 金融系 阮坚40)(tTrKe)(tTqe)()(tTqtTrSeKef)()(tTrtTqKeSef支付已知收益率的资产II 两种理解： 支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于 单位证券的现值与交割价现值之差。 一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由 单位标的资产和 单位无风险负债构成。金融系 阮坚41)(tTqe)(tTqe)(tTrKe支付已知收益率的资产III 因此支付已知收益率资产的远期价格为金融系 阮坚42)(tTqrSeF案例3.6 2007 年9 月20 日，美元3 个月期无风险年利率为3.7

24、7% ，S&P500 指数预期红利收益率为1.66% 。当S&P500 指数为1518.75 点时，2007 年12 月到期的S&P500 指数期货SPZ7 相应的理论价格应为多少？ 由于S&P500 指数期货总在到期月的第三个星期五到期，故此剩余期限为3 个月，SPZ7 理论价格应为金融系 阮坚4378.152675.151825. 0%)%66. 1%77. 3()(eSeFtTqr投资性资产的远期定价：小结价格为S，到期日为 T 的某个投资资产合约小结T 年期间的无风险利率为 r资产无收益有已知收益,现值为 I已知红利收益率为 q远期/期货价格交割价格为K的远期合约多头的价值)()(tT

25、reIS)(tTrSe)(tTqrSe)(tTrKeS)(tTrKeIS)()(tTrtTqKeSe金融系 阮坚44金融系 阮坚453. 远期与期货价格的一般结论（了解）金融系 阮坚46 计算远期价格，总是将标的资产中远期多头到期时无法获得的确定性收益删除，对标的资产价格的剩余部分以风险利率计算终值，得到理论的远期价格。r T tr T tr q T tFSeFSI eFSe持有成本I 持有成本（Cost of Carry）= 保存成本+ 利息成本 标的资产在合约期限内的收益金融系 阮坚47持有成本II金融系 阮坚48持有成本III 远期和期货定价中的持有成本（ c ）概念：金融系 阮坚49)(tTcSeF)()(tTrtTrcKeSef非完美市场上的定价公式I 存在交易成本： 假定每一笔交易的费率为Y ，那么不存在套利机会的远期价格就不再是确定的值，而是一个区间