第2章 共轴球面系统

1、第第 2章章 球面和球面系统球面和球面系统 主要内容：主要内容：l符号规则；l光线经过单个折射球面的光路计算公式；l单个折射球面成像放大率及拉赫不变量；l共轴球面系统的转面公式、放大率和拉赫公式；l球面反射镜的物像位置关系公式及成像放大率。第第 2章章 球面和球面系统球面和球面系统l重点重点: :符号规则；近轴光线经单个折射球面的物像关系公式；共轴球面系统的转面公式、拉赫公式和放大率。l难点：难点：近轴光线的物像位置关系公式；单个折射球面的拉赫不变量；共轴球面系统的转面公式、拉赫公式和放大率。入射光线入射光线出射光线出射光线物体物体光学系统光学系统像像规律规律2.1光线经单个折射球面的折射光学

2、系统的成像实际上成像实际上是是物体各点发出的光线经光学系统逐面折、折、反射的结果反射的结果；实际光学系统中，光线和球面的位置可能是多种多样的，为使推导出的公式在各种情况下都适用，对参数符号做了规定。物点物点像点像点单个折单个折射球面射球面主要内容主要内容: :l符号规则l光线经单个折射球面的实际光路计算公式l光线经单个折射球面的近轴光路计算公式l近轴物像位置关系公式l单个折射球面的成像放大率一、概念一、概念1.子午平面子午平面：包含光轴的平面。2.截距截距：物方截距物方光线与光轴的交点到顶点的距离；像方截距像方光线与光轴的交点到顶点的距离。3.孔径角孔径角：物方孔径角物方光线与光轴的夹角；像方

3、孔径角像方光线与光轴的夹角。分界面有左右，球面有凹凸，光轴有上方下分界面有左右，球面有凹凸，光轴有上方下方，如何区别？方，如何区别？二、符号规则二、符号规则1.1.光线传播方向光线传播方向：规定光线从左向右传播为正。2.2.线段线段：l沿轴线段沿轴线段:以顶点O O为基准，左负右正；l垂轴线段垂轴线段:( (h h) )以光轴为准，上正下负；l间隔间隔d d：以前一个面为基准，左负右正。ABCOABrL-L-UUII3.3.角度：角度：l光轴与光线光轴与光线组成角度：光轴光轴以锐角方向转到光线，顺时针为正，逆时针为负；l光线与法线光线与法线组成角度：光线光线以锐角方向转到法线，顺时针为正，逆时

4、针为负；l光轴与法线光轴与法线组成角度( () )：光轴光轴以锐角方向转向法线，顺时针为正，逆时针为负。注：优先性：光轴、光线、法线。注：优先性：光轴、光线、法线。ABCOABrL-L-UUII三、实际光线光路计算公式三、实际光线光路计算公式1.1.由入射光线求出射光线：由入射光线求出射光线：已知r，n，n，L，U,求L，U。 利用正弦定理、折射定律和外角定理外角定理可得)sinsin1 (sinsinsinsinUIrLIIUUInnIUrrLIABCOABrL-L-UUIIl结论结论：出射光线的位置坐标L是入射孔径角U的函数，不同U的入射光线经球面折射后不交于一点，成像不完善成像不完善。2

5、.平行光束平行光束:它发出的光束是平行于光轴的平行光束，即L=-，U=0，此时光线的入射角可用下式计算：rhI/sinIIUhOAC 四、近轴光路的计算公式四、近轴光路的计算公式1. 概念概念：l近轴光线近轴光线：与光轴很靠近的光线，角度的正弦值、正切值可以用角度的弧度值代替.l近轴区近轴区：近轴光线所在的区域。其中有关的量用小写字母表示：l近轴区没有明确界限近轴区没有明确界限，由允许的相对误差大小确定.相对误差大小：0.1%各角度小于5luiilu,2.近轴光线的光路计算公式近轴光线的光路计算公式：有限远物成像有限远物成像光线平行于光轴光线平行于光轴( (无限远物）：无限远物）：光线的入射角

6、用光线的入射高度表示为：)sinsin1 (sinsinsinsinUIrLIIUUInnIUrrLIuirrliiuuinniurrlirhi/3.成像性质成像性质：轴上点成像轴上点成像：由近轴光线光路计算公式可知，当角度u扩大或减小K倍，i, i ,u均扩大或缩小K倍。l结论：结论：当入射光线的u改变时，l值不变，即由同一物点发出的近轴光线，经单个折射球面折射后交于同一点，成完善像成完善像。uirruki krrli kkikuukkinni kkurrlki不变变，lu轴外点近轴光线成像轴外点近轴光线成像：对于单个折射球面，如果点离主光轴很近，则点发出的近轴光线相对于主光轴主光轴来说也是

7、近轴光线也是近轴光线，经球面折射后交于一点。l 结论：结论：位于近轴区的轴外物点，位于近轴区的轴外物点，利用近轴光线成像时，符合点对点的理想成像关系符合点对点的理想成像关系。l4.4.物像位置关系公式（物像位置关系公式（l与与l) ) l像的位置只与物点的位置和折射球面的结构及物像像的位置只与物点的位置和折射球面的结构及物像方介质折射率有关。方介质折射率有关。uirrliiuuinniurrlirlirurlriu) 1() 1(rlrirlrir颠倒相除) 1 (rnnlnln5.5.近轴光线经折射球面计算的其他形式近轴光线经折射球面计算的其他形式近轴光线满足：推导出下面的公式hullu)

8、3()2()11()11() 1 (hrnnnuunQlrnlrnrnnlnln物像位置的关系阿贝不变量公式物、像方孔径角的关系例题例题例题1：有一折射球面，其结构参数如下： r = 20mm, n=1, n=1.5163,物距为l =-60mm,求像距的值。主要内容：l垂轴平面物体以细光束经折射球面成像l单个折射球面的近轴光线成像放大率l三种放大率的关系l拉赫不变量2.22.2单个折射球面的成像放大率单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量及拉赫不变量2.22.2单个折射球面的成像放大率单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量及拉赫不变量一、垂轴平面物体以细光束成像一、垂轴平面物体以细光束成像lAA

9、是是A A的完善像点的完善像点，l以C为球心，CA和CA为半径做两球面，根据物像之间等光程性，可知 面是面是 面的细光束面的细光束像像。l根据物像位置关系公式知，B B点的像在点的像在 面左侧面左侧.结论：结论：如果物是垂轴平面物体，则它经过单个折射球面折射后，它的细光束像不再是平面，而是一个比 面更弯曲的曲面，成像不完善成像不完善像面弯曲像面弯曲。l如果在轴上点轴上点A附近附近从球面上取一小块面积 并把它的细光束像记为 ，当面积足够小时当面积足够小时可近似认为物和像均为在两球面的切平面上。可近似认为物和像均为在两球面的切平面上。结论结论：当物体以细光束成像时，只有位当物体以细光束成像时，只有

10、位于近轴区的物体才能成完善像。于近轴区的物体才能成完善像。dssd 二、单个折射球面成像的放大率及二、单个折射球面成像的放大率及拉赫不变量拉赫不变量 像的大小、正倒、虚实？1. 1. 垂直放大率垂直放大率（横向放大率）定义：是指像高与物高之比。物体物体位置位置物像位置物像位置关系公式关系公式像的像的位置位置yy / 表达式表达式l根据三角形相似，得l横向放大率为：l结论: 垂轴放大率与物体的大小无关，只与物体所在的位置有关，相同的物平面，垂直放大率相同相同的物平面，垂直放大率相同。rlrlyy )1(lnlnyy Qlrnlrn)11()11(lnl nrlrl讨论：（1 1）若0，即y与y同

11、号（成正立像），l与l同号（物象同侧，虚实相反）。unnulnl nyy（2 2）若0，即y与y异号（成倒立像），l与l异号（物象异侧，虚实相同）。讨论： 缩小像放大像, 1, 1 unnulnl nyy物成实像同号，实物成虚像，虚和同号，物体成正像和侧同号，物像位于球面同和uuyyll 0 物成虚像异号，实物成实像，虚异号，物体成倒像侧异号，物像位于球面两和uuyyll 0 2.2.轴向放大率轴向放大率定义：物体的像移动微小距离与物体移动微小距离之比。表达式：dll d rnnlnln两边微分) 4(22lnl ndll dnn2)(lnlnnn)5(2nn结论结论： 若物为正方体，像不再是

12、正方体，只有 的一对共轭面相似； 对折射球面而言， 恒为正值，即物像移动物像移动方向相同方向相同； 轴向放大率公式只在只在d dl 很小时适用很小时适用。 1 Why？适用范围适用范围l物点由A1移动到A2点，物方截距l2-l1,像方截距l2-l1，则轴向放大率(利用物像关系公式利用物像关系公式）为： 平均沿轴放大率l结论：只有当dl很小时，才能满足211212 nnllll222nnlnl ndll d3.角放大率定义定义：在近轴区，一对共轭光线与光轴夹角的比值称为角放大率，即像方孔径角与物方孔径角之比。表达式表达式：利用近轴光线成立条件结论结论：角放大率只与共轭点的位置有关角放大率只与共轭

13、点的位置有关,与光线与光线的孔径角无关。的孔径角无关。uuhullu) 7(lluu结论结论：垂轴放大率和角放大率乘积只与球面两垂轴放大率和角放大率乘积只与球面两侧介质折射率之比有关。侧介质折射率之比有关。4. 三种放大率之间的关系2nn1nnlnlnyylluunn5.拉赫不变量 v利用这一性质，在物方参数固定后，通过改变u来控制y的大小，也就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。v如果考察边缘场点发出的边缘光线如果考察边缘场点发出的边缘光线, ,它表征该光它表征该光学系统的成像能力。学系统的成像能力。vJ J 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的表征了这个光学系统的性能，即能以多高的

14、物、多大孔径角的光线入射成像。物、多大孔径角的光线入射成像。vJ J值大，值大，表明系统能对物体成像的范围大成像的范围大，成像成像的孔径角大，的孔径角大，传输光能多传输光能多。同时，孔径角还与光学系统分辨微细结构的能力有关。vJ 值大的光学系统具有更高的性能。 Juynnyu阿贝不变量阿贝不变量：表征界面对某物点发出光线的偏折能力.Qlrnlrn)11()11(主要内容：主要内容：l共轴球面系统的概念l转面公式l共轴球面系统的三种放大率、拉赫不变量2.3 2.3 共轴球面系统共轴球面系统2.3 2.3 共轴球面系统共轴球面系统已知:l各球面的曲率半径r1,r2,rkl各球面顶点之间的间隔d1,

15、d2,dkl折射率n1,n2,nk已知已知:r1和r2和d, n1, n1和n2, n2。问如何求物体AB(l1,u1,y1)经整个系统后的成像位置(l2,u2,y2)？ 一、过渡公式一、过渡公式对于由k个球面组成的共轴球面系统，相邻两球面之间满足如下关系： 这就是共轴球面系统的转面公式近轴光线在折射面投射高度投射高度h h的过渡公式的过渡公式：)4(,)3(,)2(,) 1 (,11223112123121231212312kkkkkkkkkdlldlldllyyyyyyuuuuuunnnnnn)5(111kkkkudhh对于（1）、（2）和（4）式同样适用于远轴光线：11223112123

16、1212312=6=kkkkkkkdLL,dLL,dLL)(UU,UU,UUnn,nn ,nn二、拉赫不变量二、拉赫不变量将单个折射球面的拉赫不变量公式应用于共轴球面系统的每一个折射面，则有l结论：拉赫不变量不仅对一个折射球面的两个不仅对一个折射球面的两个空间是不变量空间是不变量，对整个光学系统的每一个面的对整个光学系统的每一个面的每一个空间都是不变量每一个空间都是不变量。kkkkkkuynuynuynuynuynuyn=222222111111123121231212312=kkkkkkyy,yy ,yyuu,uu ,uunn,nn ,nn)7(222111Juynuynuynuynkkkk

17、kk三、放大率三、放大率1.1.垂轴放大率垂轴放大率：定义：系统垂轴放大率与各折射面垂轴放大率关系：表达式：1yyk)8(211322111kkkkkyyyyyyyyyy) 9 (2121122221111kkkkkkkll lnll lnlnlnlnlnlnln 11111lnln Juynuynkkk111)10(111kkkununyy与单个折射球面与单个折射球面的垂轴放大率的垂轴放大率形式相同！形式相同！2.2.沿轴放大率沿轴放大率定义：系统沿轴放大率与各折射面轴向放大率关系：表达式：1dll dk)11(2122111kkkkdll ddll ddll ddll d)(lllnlll

18、nlnlnlnlnlnlndll ddll ddll ddll dkkkkkkkkkk11=222212222112222222221121122111沿轴放大率与垂轴放大率关系沿轴放大率与垂轴放大率关系：21111 nn)(nnnnnnnnnnkkkkkk12=21222211222222111与单个折射球面与单个折射球面沿轴放大率沿轴放大率形式相同！形式相同！3.3.角放大率角放大率定义：定义：系统角放大率与单个折射面角放大率关系：系统角放大率与单个折射面角放大率关系：1uuk)(uuuuuuuuuu,uu,uukkkkkkk13=211322111112所以由于表达式：表达式：系统的角放

19、大率与垂轴放大率关系：系统的角放大率与垂轴放大率关系：)(nnnnnnnn,nnkkkk141=111=1=12221111111所以已知)13(11211322111kkkkkkll lll luuuuuuuuuu 与单个折射球面角放大率形式相同！与单个折射球面角放大率形式相同！4.4.三种放大率之间的关系三种放大率之间的关系l结论：整个系统各放大率计算公式与单个折射球结论：整个系统各放大率计算公式与单个折射球面的放大率完全相同，这说明单个折射球面的成面的放大率完全相同，这说明单个折射球面的成像具有普遍意义。像具有普遍意义。例题：有一个光学零件，其结构参数为： ）(答案：成像在无限远其共轭像

20、在何处?线时,在第二个面上刻有十字为多少?时,当问：1.5,n30mm,d,r10mm,r2111ll)12(21nnk)14(11knn)15(2.42.4球面反射镜球面反射镜主要内容：主要内容：l物象位置关系公式l成像放大率l成像特性分析2.42.4球面反射镜球面反射镜一、球面反射镜的物像位置关系公式二、成像放大率 rnnlnlnrll211nnlnln2nn1nnnnll21三、成像特性沿轴放大率恒为负值。当物体经过偶数次反射时，轴向放大率为正值。拉赫不变量为三种放大率之间的关系物成虚像同号，实物成实像，虚和异号，物体成倒像和侧同号，物像位于球面同和uullyy0物成实像异号，实物成虚像，虚和同号，物体成正像和侧异号，物像位于球面两和uuyyll 0uyyuJ ll21-=四、物体位于球面反射镜的球心：结论： 物体经球面反射后所成像仍位于球心处成像仍位于球心处； 物像大小相同物像大小相同，但方向相反； 物向左移，像向右移物向左移，像向右移。 入射光线和出射光线平行入射光线和出射光线平行。例题：在马路的十字路口有一个凸球面反射镜，r=1m,有一人身高为1.6m,在凸球面镜前11m处，试求这个人经过此球面镜后所成像的大小和正倒？lrl1,