高二数学选修1-1_双曲线简单几何性质(整理修改)

1、小小 结结ax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率yxOA2B2A1B1.F1F2yB2A1A2 B1 xO.F2F1)0( 1babyax2 22 22 22 2bybaxa A1（- a，0），），A2（a，0）B1（0，-b），），

2、B2（0，b）) 10( eaceF1(-c,0) F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0),b(abyax00 1 2 22 22 22 2Ryaxax， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称A1（- a，0），），A2（a，0）) 1( eace渐进线渐进线无无xaby“共渐近线共渐近线”的双曲线的应用的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab 与共渐近线的双曲线系方程为， 为参数 ，0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；a0)，求点，求点M的轨迹的轨迹.cx2aacM解：解：设点设点M(x,y)到到l的距离为的距离为d，则，则|MFcda 即即2

3、22()xcycaaxc 化简得化简得(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 设设c2a2 =b2，22221xyab (a0,b0)故点故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线的双曲线.222()|axcyacx 22224222(2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a2b2即即就可化为就可化为:M点点M的轨迹也包括双的轨迹也包括双曲线的左支曲线的左支.一、第二定义一、第二定义 -直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组

4、（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交一、直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系一、直线与椭圆的位置关系一、直线与椭圆的位置关系：（2 2）弦长问题）弦长问题2121|xxkAB（3 3）弦中点问题）弦中点问题（4）经过焦点的弦的问题(利用定义)（1 1）直线与椭圆位置关系）直线与椭圆位置关系韦达定理或点差法0_二、直线与双曲线位置关系种类：二、直线与双曲线位置关系种类：XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(两个交点两个交点,一个交点一个交点)1) 位置关系种类位置关系种类XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(0个交点，一个交点，个交点，一个交点

5、，一个交点或两个交点一个交点或两个交点)2)2)位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点两个交点两个交点 一个交点一个交点 0 个交点个交点相交相交相相切切相相交交相离相离交点个数交点个数方程组解的个数方程组解的个数有没有问题有没有问题 ?1 0 个交点和两个交点的情况都正常个交点和两个交点的情况都正常, 那么那么 ,依然可以用判别式判断位置关系依然可以用判别式判断位置关系2一个交点却包括了两种位置关系一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交相切和相交 ( 特殊的相交特殊的相交

6、) , 那么是否意那么是否意味着判别式等于零时味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相即可能相切也可能相交交 ? 判断下列直线与双曲线之间的位置关系：判断下列直线与双曲线之间的位置关系：11169:,3:22yxcxl21169:,134:22yxcxyl相相 切切相相 交交试一下试一下:判别式情况如何判别式情况如何?一般情况的研究1:,:2222byaxcmxabyl显然显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就是相交也就是相交.把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程,看看看判别式如何看判别式如何?根本就没有判别式根本就没有判别式 ! 当直线与双

7、曲线的渐进线平行时当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直把直线方程代入双曲线方程线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所当然也就没有所谓的判别式了谓的判别式了 。 结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的位置关系位置关系 ！3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交

8、（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0,0,原点原点O O（0 0，0 0）在以）在以ABAB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB OAOB，即，即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,=0,即即x x1 1x x2 2+(ax+(ax1 1+1)(ax+1)(ax2 2+1)=0, +1)=0, (a(a2 2+1) x+1) x1 1x x2 2 +a(x +a(x1 1+x+x2 2 )+1=0, )+1=0,解得解得a=a=1.1. (1)当当a为何值时

9、，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点；1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a (2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称，对称， 若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，说明理由.3、设双曲线、设双曲线C： 与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 1317, 06

10、028912,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以4、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切圆与的内切圆与边边 的切点坐标。的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明：说明：双曲线上一点双曲线上一点P与双曲线的两个焦点与双曲线的两个焦点 构成构成的三角形称之为的三角形称之为焦点三角形焦点三角形，其中，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。定理。 12FF、12| |PFPF、12|FF221133131( ,),1213( 26 6),0 512yxA x yBC xyFyyAC在双曲线的一支上有不同的三点，（ ， ）且与点 （ ，） 的距离成等差数列。（）求；（ ）求证的垂直平分线必过定点.解：edAFA1|AAFde11BCBFdCFdee同理，成等差数列、CFBFAF.1231yy例6、成等