平面向量压轴题13

1、最新高考向量专题（附经典解析）1.在4ABC中，已知 AB= 4, AC= 3, P是边 BC的垂直平分线上的一点，则解析:BC AP(AC AB) (AQ QP)(AC AB)一 一 -1.AQ (AC AB) -(ABAC)2.已知OA1, OB3,OA OB0,点C在AOB 内，AOC 30o.解析：(x,y)法二:OCOC3m,nR),则法一：建立坐标系，设m(1,0) n(0, .3)OCm, n3nOA mOB 3n3.在 ABC中，若OCC(x, y)则由 OC1nOB(m, nR)得而 AOC 300故 tan300R）两边同乘OA或OB得3n两式相除得-3nAB? AC AB

2、?CB 4,则边AB的长等于2、. 22解析：AB? AC AB?CB 4 AB(AC CB) 8 AB 84.已知点G是 ABC的重心，点P是GBC内一点，若，则的取值范围是(3，1)解析:2一AP AG GP AG 3GP'1 -(AB AC)1 = -(AB AC)31= -(1 mt) ABt(mGB nGC)(其中0 t 1, m n 1)1 1 tm -(AB CB) n -(AC BC)331，, 一(1 nt) AC ,则35.已知。为 ABC所在平面内一点，满足OC： .AB/,则点。是 ABC 的2123 3t (31)OA2 京2 OB2垂心解OA2罔2厨总2(O

3、A OB)(OAOB) (BCCA)(BC CA) 0BA 2OC 0,可知OC AB ,其余同理6.设点。是 ABC 的外心，AB=c, AC= b , b 122一 . f f 一一.，C 1则BC>AO的取值范围-4,2最新高考向量专题（附经典解析）解析:1 2 c21 c2 2b b2 00BC AO (AC AB) AO bRcoscRcosbR2 cR2 旨c2)2 I2 1b b (b 2)4-4,27.在4ABC和4AEF 中，CA 屈，若 AB AEB是EF的中点,AC AF 2 ,AB=EF=1,BC=6,则EF与BC的夹角的余弦值等于解析：（2007全国联赛类似38

4、.39 题)因为 AB AEACAFAB(AB BE) AC (AB BF)2 AB AB BEAC AB . 33AC AB AC BF 2。因为33 1 361 1=1 ， be2 .33 122AB1,BF1 BF (AC AB) 1 2,即 BF BC 2。设 EF 与 BC 的夹2角为 0,则有 | BF | | BC | cos 0 2 ,即 3cos 92,所以 cos 0 8.已知向量,',满足| | 1,|I 1,(值和最小值分别为n的最小值是解析：数形结合.CD,BD而 AC BC,ABm, n，则对任意,mCD2BC 1AB3以1:E2,即）。.若3寸每一确定的t

5、it的最大1,AC ,BC,ADBD,点D在以BC为直径的圆上运动，m n就是BC, 1BC - （ A, B,C共线时取等号）和9题相同.9.已知向量 a , b , c 满足 | a 户 1 , | a - b | = | b | , （a - c） （ b - c ） = 0,若对每一个确定的b, | c |的最大值和最小值分别为m n,则对于任意的向量b , m+ n的最小值为 解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见 810 .设e,e2是夹角为600的两个单位向量，已知OM e1,ON e2 , OP xOM yON ,.1若 PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则实数 x y取

6、值的集合为解析：画图解即可11 .如图放置的边长为 1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴上正半轴上滑动,则OB OC的最大值为解析:CDOA(OA AB)(OD DC) sin2 112.给定两个长度为1的平面向量OA和OB ,它们的夹角为为圆心的圆弧 AB上变动，若OCxOAyOB ,其中 x, y则x y的最大值是2 解析：一2 2OC x22y 2xyOA OBxy(x y)2(x y)2x y 2 3xy 1 3 (?)【研究】如果要得到 x, y满足的准确条件,则建系,OA (1,0),OB马则2OC (x1、22¥)1.3 、-y,y), 则满足(x22 2,y

7、 0【变题】给定两个长度为 1且互相垂直的平面向量OA 和 OB ,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC xOA yOB,其中x、y R,一 .2贝 U(x 1)2 .一 .y的最大值为2解析：建系，利用坐标法是可以得到x,y最准确的满足条件，如 OA (1,0),OB (0,1)22 一 一 一OC （x,y）,点C在以O为圆心的圆弧 AB上运动，故满足x y 1（x 0,y 0）13.在平行四边形 ABCD中，已知AB 2,AD 1, DAB 60，点M为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则AP ? DM的取值范围是解析：分两种情形，结合图形分析。（1 ）当P在BC上时，

8、AP1 21aB bp ,则AP DM ABDM BP DM 111re ,-BP ,1;同理，当在CD上1AP DM 21DM 214.在周长为16的PMN中，MN6 ,则PM PN的取值范围是7,16解析：PM PNabcos2 a ab 故abb)225,2abPM pN 32,222.2 0cb c a b 3632abab a(10a) (a5)225 25,当 a32 abPM pN7 ；同时a6 10 a 632 ab 16另法：本题可四出15.已知 |OA| 4,|I 6,f(t)|OA tOB7 ,或者用消元的方法5时取等号，故PM PN8,当 a 8时 ab 16,故 ab

9、W,得用椭圆方程然后设P坐标来解决xOyOB,且x 2y 1 , AOB是钝角|的最小值为2J3 ,则|OC I的最小值是6.1113716,解析：OC xOA yOB' C, A, B'共线，用几何图形解）咐 ioA tOBI的最小值为2J3根据几何意义即为A到OB的距离，易得 AOB 1200,要使|OC |最小,P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上则OC AB',利用面积法可求得16.如图，在正方形的任意一点，设向量E为AB的中点,AP,则解析：坐标法解,由AC (1,1),DE(1, 1), AP2AC DEaP最新高考向量专题(附经典解析)2sin 2 cos-

10、 cos 12 cos sin2d3sin 12cos sin2 sin 2 cos 31 sin人3 1,令2 cos sin2cos sin1 sin2 2sin cosf( )后寸 0，丸f'( )(2cossin /0，故最小值为.11f (0), 取小值为一2217.已知P为边长为1的等边 ABC所在平面内一点，且满足 CP CB 2CA,则PA PB=3解析：如图CPCB 2CABP2CA, PA PB =. 2 (PB BA) PB PB BA PB2 cos120018.已知向量 M= a a=(1,2)+ (3,4)R, N= a a =(-2,2)+(4,5) R

11、，则M N=(46,62)1 32 4 '解析：152 42 5 '19 .等腰直角三角形 ABC中, 点，点M、N分别为AB边和A 90 , AB J5, AD是BC边上的高，P为AD的中AC边上的点，且M、N关于直线 AD对称，当PM pN时,AMMB解析：PM PN (PA AM)(PA AN)20 .如图在三角形 ABC, E为斜边AB的中点,的最大值是Ctu AB, AB= 1, 227解析: !CA CD CA CE1213.21.2.4 . CD CA cos A CA sin A cos A -sin Acos A22222721 .已知A, B, C是平面上不

12、共线上三点，动点 P满足错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，则P的轨迹一定通过 错误！未找到引用源。 的 重心2 -解析：设重心为 G , OP OG (OA OB 2OC) GP (CA CB)CD333CG,故C,G,P三点共线22 .已知点O为 ABC的外心，且 AC 4, AB 2,则AO?BC 621八解析：AO BC AO(AC AB) 4Rcos CAO 2Rcos BAO 4R - 2R 6 RR23 .设D是 ABC边BC延长线上一点，记 AD aB (1 )AC，若关于x的方程2sin2x ( 1)sin x 1 0在0,2 )上恰有两解，则实数的取值范围是 4或2拒

13、12解析：令t sinx则2t (1)t 1 0在(1,1)上恰有一解，数形结合知f ( 1) f(1) 04或 2,或者 024万 1又 AD AB (1 )AC CD CB 024. O是锐角ABC所在平面内的一定点,动点p满足：OPAB-2AB Sin ABC0,，则动点P的轨迹一定通过ABC的 心 内心解析：设高为AD ,则AP25.已知错误！未找到引用源。,AB AC、1 口、二) 显然成立AB AC ADAD为坐标原点，OP x,y错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，OC3,4，记a,0中的最所以 4或2<2 1大值为M,当a取遍一切实数时，M的取

14、值范围是 7 2而,解析：不妨设PA PB ,即y x,此时MA在x轴上滑动，而到点max PA, PC ,当a取遍一切实数时，点的抛物线，其方程为（xy x于点P （7 2V,6,7 2网,显然此时 PA PC ,而A为PA x的垂足时M最小，即最小是7 2、6,M最小值呢？实际上就是当 P法2：对于某个固定的a ,到M的最大值显然可以趋向为ABC外心时，此时|PAPBpc| m的最小值，因为当P不是外心时,PA, PB, PC至少有一个会变大，这样 M就变大.解得外心坐标为a* 2 252a 14a2 25),2a 14要使得paPBPC I最小，则圆与坐标轴相切，此时-一25I2a 14

15、2-6,则x y的值2 一 1-AC 3(35sin C)GC 0,26.已知 ABC中，I为内心，AC 2,BC 3,AB 4,且力则角B的大小为60°解析：由重心性质知 56sin A 40sinB 35sinC 56a 40b 35c,下面用余弦定理即可求解28.平面内两个非零向量的夹角为135°,则的取值范围是(0, J2最新高考向量专题（附经典解析）解析：数形结合。(0,3 )429.在ABC 中,AB1, AC 2,。为 ABC外接圆的圆心，则 AO BC1利用正弦定理得，二sinsin 45解析:- 2AO (AC AB) 2(AO AD AO AE) 2(A

16、D2AE )30 . MBC内接于以 O为圆心的圆，且 3OA 4OB 5OC 0 .则 C解析：3OA 4Ob 5OC 09OA2 16OB2 240A OB 25OC2OA OB OC r AOB 90031 .在GABC中，AB= 8, BC= 7, AC=3,以A为圆心，r=2为半径作一个圆，设 PQ为圆A的任意一条直径，记 T= BP?CQ ,则T的最大值为 . 22解析：设BC, AQ的夹角为 ，注意到由余弦定理知CAB 60°,故 BP?CQ(BA AP)(CA AQ) BA CA BA AQ AP CA AP AQ 8 3 cos600 AQ(BACA)4 8AqbC

17、8 14cos6,2232.如图，在A ABC中，AD,333.已知点。为ABC内一点,3:2:1法一：延长OB,OC至B：C',使得OB' 2OB,OC' 3OC ,则。为 AB'C'重心，然后由面则 AOG BOC的面积之比等于2a 3c 6x 02b 6y 0b 3y S aoc : S abc 1:3一一 一._234.已知 A.B.C是 ABC的三个顶点，ABAB AC AB CB BC CA,则 ABC 为三角形.直角三角形 21解：注意到 AB AC AB CB AB，故BCCA 02235.平面上的向量PA,PB满足PA PB1 一 2一

18、4,且 PAPB 0,若向量 PC -PA - PB积计算；法二：建立坐标系，设 A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y),则PC的最大值为解析：两边平方后知 PC212(4 3PB )9169PC4 f 一 ， 一,即P, A重合时.3 一1一 一.36.已知在平面直角坐标系中，O(0,0), M (1-), N(0,1),Q(2,3)，动点P(x, y),满足0 OP OM 1,0OP ON 1.则OP OQ的最大值为解析：即已知 00x 2y 1y 求2x 3y最大值问题，线性规划问题 y 137、在 ABC 中, 的中点，若AM已知 AB 2, BC 3, ABC 60

19、, AHAB BC,贝U .BC 于 H , M 为 AH1解析：1AHAB BC ,两边同数乘 BC得 3 ;两边同数乘 AB得8632解方程组得最新高考向量专题(附经典解析)338.如图，在 ABC和 AEF中，B是EF的中点，ABCA CB 3,i若ABAE AC AF 7,则EF与BC的夹角的余弦值等于解析：39题类似,EFBC236,下面求EF BC (AFAE)(AC AB) (AB AEAC AF)EF(AB AF AEAC)7 AB (AB BF)(AB BE) AC=2 AB AB BF AB AC BF AC 74 BF CB ABAC=714 EF BC 2,解方程得 E

20、F BC 2 239.如图，在 ABC和 AEF中，B是 EF的中点，AB=EF=1, CA=CB=2 若 AB AE aC AF2,则EF与BC的夹角等于解析：一 解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。 3AB AE AC AF AB (AB BE) AC (AB BF)1 AB BE AC AB AC BFEF与BC的夹角wF与wC的夹角: BE BF, . AB AE AC AF 1 (AC AB) BF AC ABBC BF AC AB 2而在等腰 ABC中，作底边的高 CD,则在 Rt ACD中由已知边长可得cos CAB 2 1 ,设凛与EC的夹角为2 41 | cos | aC| | AB|cos CAB 2,最新高考向量专题（附经典解析）40.如图，已知RtABCD的一条直角边BC与等腰RtAABC的斜边则m解析:AB,AC分别得到4AD AB 4m, AD AC 4n 4(m n) AD CB (AC CD) CB41.在 ABC中，若I是其内一点，满足 a IA b IB c IC 0,求证：I为内心-*-* *-* * f-*AR AC证明：a IA b(IA AB) c(IA AC) 0 (a b c)IA bcGAB ") c ba b c - AB ACAB ACIA ，注意到 , 是单位向量，