椭圆各类题型分类汇总

1、椭圆经典例题分类汇总1 .椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为4(2,0),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆 的标准方程.例2已知椭圆pL = 1的离心率 = 1,求攵的值. k+8 92例3 已知方程工+_ = 一1表示椭圆，求k的取值范围.k-5 3-k例4 已知x2sina-)/cosc = 1 (0«241)表示焦点在y轴上的椭圆，求夕的取值范围.例5已知动圆P过定点A(-3,0),且在定圆B：(x-3)2 + y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心户的轨迹方程.2 .焦半径及焦三角的应用例1已知椭圆亍+? = 1,大、外为两焦点，问能否在椭圆上找一点",使团到左准

2、线/的距离卜则是附用与附周的等比中项若存在，贝“求出点的坐标；若不存在，请说明理由.例2已知椭圆方程二+:=1(">>0),长轴端点为A, A,焦点为 crF29 P是椭圆上一点，“P&=8, 4FiPF?=a .求：的面积(用4、b、。表示).3 .第二定义应用例1椭圆.+5=1的右焦点为尸，过点A(1，点用在椭圆上，当|AM| + 2|A"为最小值时，求点M的坐标.例2已知椭圆卡+今=1上一点0到右焦点工的距离为俗1),求尸 到左准线的距离.例3已知椭圆+ g = l内有一点耳、F?分别是椭圆的左、右焦点，点p是椭圆上一点.(1)求心+|尸用的最大值

3、、最小值及对应的点P坐标;(2)求四+为尸周的最小值及对应的点夕的坐标.24 .参数方程应用例1求椭圆二十)，2=1上的点到直线x y + 6 = 0的距离的最小值.例2C1)写出椭圆9+9 = 1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积.例3椭圆(a>>0)与x轴正向交于点A若这个椭圆上总存在点P,使OP _LAP(。为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.5 .相交情况下一弦长公式的应用例1已知椭圆4x2 + y? =1及直线y = x + 7.(1)当机为何值时，直线与椭圆有公共点(2)若直线被椭圆截得的弦长为浮，求直线的方程.例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭

4、圆，过它对的左 焦点”作倾斜解为巳的直线交椭圆于A, 8两点，求弦A3的长.6 .相交情况下一点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在入轴上的椭圆与直线x + y-l =。交于A、 8两点，M为A8中点，QW的斜率为，椭圆的短轴长为2,求椭圆的 方程.例2已知椭圆与+），2 = 1,求过点且被尸平分的弦所在的直线方程.例3已知椭圆二+)，2 = 1, (D求过点且被p平分的弦所在直 212 2)线的方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A(2,l)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点尸、Q ,。为原点，且有直线OP、OQ斜率满足L . L _L八OP 八。

5、0 一 T，求线段PQ中点M的轨迹方程.例4已知椭圆c：1 + ! = l,试确定?的取值范围，使得对于直线/： y = 4x + m , 椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.例5已知尸(4,2)是直线/被椭圆三+4=1所截得的线段的中点，求直 369线/的方程.椭圆经典例题分类汇总1,椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：(1 )当A(2,0)为长轴端点时，4 = 2, /? = 1,椭圆的标准方程为：+ = 1 ; 41(2)当A(2,0)为短轴端点时，/? = 2 , =4,椭圆的标

6、准方程为：+22 = i ； 416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.例2已知椭圆-+ £ = 1的离心率- I,求k的值. k + 8 92分析：分两种情况进行讨论.解：当椭圆的焦点在X轴上时，/=攵+ 8,=9,得H=攵一1 .由6 = 1,2得攵=4.当椭圆的焦点在y轴上时，/=9, =攵+ 8,得c2=l-k.由e = _L,得1 = 1,即攵=-*.2944二满足条件的女=4或攵=一*.说明：本题易出现漏解.排除错误的办法是：因为A+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在X轴上，也可能在y轴上.故必

7、 须进行讨论.例5 已知方程工+工=-1表示椭圆，求k的取值范围. k-5 3-k>-5<0,解：由13-攵<0, 得3<%v5,且W4.k 5 手 3 k,满足条件的k的取值范围是3 < k v 5 ,且k04.说明：本题易出现如下错解：由，"一5<“得3Vz<5,故k的取值范围 3 k < 0,是3<k<5.出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中>。>0这个条件，当4 = /?时，并不表示椭圆.例6 已知/sina-y2cosa = l （0<。4乃）表示焦点在y轴上的桶E,求a的取值范围.分析：依据已知

8、条件确定。的三角函数的大小关系.再根据三角函数 的单调性，求出夕的取值范围.解：方程可化为* = 1 .因为焦点在），轴上，所以sin a cosa>> 0 cosa sine?因止匕sin。> 0且tane v -1从而& e （一,二江）. 2 4说明：（1）由椭圆的标准方程知一1>0, >0,这是容易忽视的 sina cosa地方.由焦点在），轴上，知/=，/=_.（3）求。的取值范围cosasine时，应注意题目中的条件例5已知动圆P过定点A（-3,0）,且在定圆8：（x-3）2 + /= 64的内部与其相内切，求动圆圆心夕的轨迹方程.分析：关键是

9、根据题意，列出点P满足的关系式.弋解：如图所示，设动圆P和定圆8内切于点M,动点P到两定点，即定点a（一 3,0）和定圆圆心8（3,0）距离之和恰好等于定圆半径，即归4+归耳=卢/+卢4=怛”|=8 .，点P的轨迹是以A, B为两焦点,半长轴为4,半短轴长为0 =斥才=万的椭圆的方程：+ = 1.167说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的 标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用例I已知椭圆、入为两焦点，问能否在椭圆上找一点使例到左准线/的距离mm是M用与附片的等比中项若存在，则求出左准线/的方程是x = Y ,/ |MN| =

10、 4 + x/又由焦半径公式知:MF = a-ex =2-x , MF2 = a + ex = 2 +x1. 22|MAf=l"用冲讣（%+4）2=（2-912 + 9；整理得5工：+322+48 = 0.解之得内=4或再=£另一方面一 2<XK2.则与矛盾，所以满足条件的点例不存在.例2已知椭圆方程:+=1（>0）,长轴端点为A,4，焦点为 cr d片,P是椭圆上一点，/40&=0，AFxPF2=a.求：AFPF2的面积（用“、b、a表示）.分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a的两邻边，从而利用S、=L/AinC 求面积.1 2解：如图，设尸（X,）

11、，），由椭圆的对称性，不妨设P（x,），），由椭圆的对 称性，不妨设尸在第一象限.由余弦定理知： 比囚2=|尸6+|尸6一2|尸用伊居k05。= 462.由椭圆定义知：|P制+ |P引=2，则2得=b2 tan 2故S =3尸贝.|尸二必。 =- 2Z? sina 凹性 2111 1 212 1+costz3.第二定义应用例1椭圆二十二=1的右焦点为尸，过点A（l，e）,点M在椭圆上，当 16 12|AM + 2|MF为最小值时，求点"的坐标.分析：本题的关键是求出离心率e = 把2附可转化为例到右准线的距离，从而得最小值. 一般地，AM + -MF均可用此法.解：由已知：a = 4

12、, c = 2 .所以e = L右准线/： x = 8 .2过A作AQ_L/,垂足为0,交椭圆于故附0 = 2明目,显然 |am+2|m臼的最小值为wq,即“为所求点，因此加=有，且M在椭 圆上.故均=2宕,所以加（2后行）.说明：本题关键在于未知式|aM +21M目中的“2”的处理.事实 上，如图，e = ；,即附句是"到右准线的距离的一半，即图中的MQ, 问题转化为求椭圆上一点例，使"到A的距离与到右准线距离之和取 最小值.例2已知椭圆二十二=1上一点P到右焦点居的距离为人S>1）,求尸 4/r lr到左准线的距离.分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两

13、准线的距 离求解.解法一：由-+二=1,得 a = 2b , c = y/3b , e =.4b2 b22由椭圆定义,PF+PF = 2a=Ab,得|产用=4/2 T尸图=劭_”.由椭圆第二定义，%=e, 4为P到左准线的距离，即P到左准线的距离为2、仇.解法二：.叫=6,4为P到右准线的距离，e = £ =工，4a 2又椭圆两准线的距离为2=9人e 3c 3尸到左准线的距离为 2 2 /，= 2®. 33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.否 则就会产生误解.椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选 择，运用自如.一般地，如遇到动点到

14、两个定点的问题，用椭圆第一 定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义.例3已知椭圆口+ ? = 1内有一点月、F2分别是椭圆的左、 右焦点，点P是椭圆上一点.(1)求阳+|尸制的最大值、最小值及对应的点尸坐标；(2)求阳+ 3尸片的最小值及对应的点。的坐标.2分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法.二是数形结合，即几何方法.本 题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义, 转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.解:(1)如上图，2a = 6, F2(2,0) , AF2 = 42f设P是椭圆上任一点， 由|P司

15、+ 用=勿=6,P/>PF2-AF2, J1PH+归用耳夕用+ |P可一|A引= 2|A周=6-血，等号仅当归4 =卢玛卜日玛| 时成立，此时尸、A、入共线.第二得两交由|R4|W|P周+ |A周,|尸4+户用W|P用+|P闻+|A闻= 2a + |A周= 6+75 , 等号仅当忸4=|P图+|A国时成立，此时尸、A、F2共线.建立A、F2的直线方程x+y-2 = 0,解方程组<尸（2U&拒）、尸（2+"&、历）.1 7 147 14-7 147 14综上所述，P点与4重合时，|24|+|用取最小值6-&, P点与外重合时，PH + |P国取最大值

16、6 +、历.（2）如下图，设P是椭圆上任一点，作尸。垂直椭圆右准线，Q为垂足，由 =3, c = 2 , *, = ,由椭圆第二定义知!' 'J = e = , /.3陷 3pq = 1pf29 ：.p+-pf2 = p+p ,要使其和最小需有A、P、。共 乙乙线，即求A到右准线距离.右准线方程为工=2. 2到右准线距离为Z.此时尸点纵坐标与A点纵坐标相同为1, 2代入椭圆得满足条件的点P坐标（竺，1）.说明：求|尸川+!尸引的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相 （应准线作垂线段.巧用焦点半径|p勾与点准距|p互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用例1求椭圆二十），

17、2=1上的点到直线x-y + 6 = 0的距离的最小值.分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数 关系式，求出距离的最小值.解：椭圆的参数方程为卜= 6cos8,设椭圆上的点的坐标为 y = sin 0.Qlcosasine),则点到直线的距离为田 cos。-sine + 6 2sin 一8卜6"=72二 立.当sin £=-1时，4最小值=2血.I 3说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方 程.例2(1)写出椭圆二+£ = 1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最94大面积.分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未

18、 知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便 化归为三角问题.am /A fx = 3cos解：(G e R).y = 2sin0设椭圆内接矩形面积为s,由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设（3cose,2sin。）为矩形在第一象限的顶点，7T (0<0<-),则 S =4x3cosx2sin = 12sin2<12故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地, 与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便.例3 椭圆二十:=1 （。）与八轴正向交于点A,若这个椭E上总 a b-存在点P,使OP_LAP

19、（。为坐标原点），求其离心率e的取值范围.分析：TO、A为定点，尸为动点，可以尸点坐标作为参数，把 OPVAP,转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立 关于4、C的一个不等式，转化为关于。的不等式.为减少参数， 易考虑运用椭圆参数方程.解：设椭圆的参数方程是尸"Cose jO）, y = bsinO则椭圆上的点 P（acQsO, Z?sinO）, A（a , 0）,: OPLAP, bsinO bsn0 - . 1cicqsO acosO-a,2即(a2 - b2)cos2 0 - a2 cosO+b2 =0 ,解得 cos。= 1 或 cos® =cr -b

20、2V -1 <cos< 1* cos = 1 （舍去），-1 <T < 1 ,又犷=/一c2cr-lr/. 0 < - < 2 ,e > -, 又 0 v e v 1,< e v 1 c222说明：若已知椭圆离心率范围（苧,1）,求证在椭圆上总存在点产 2使。0AP .如何证明5.相交情况下一弦长公式的应用例1已知椭圆4/ + V =1及直线y = x + 7.(1)当加为何值时，直线与椭圆有公共点(2)若直线被椭圆截得的弦长为浮，求直线的方程.解：(1 )把直线方程y = x+z代入椭圆方程4x2 + y2=l得4x2 +(工 + /力=1 ,

21、即 5x2 +2mx+nr -1=0 . A =（2/）？ -4x5x（/+20 之0 , 解得(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为内，声,由(1)得* +x2 =2mm2-1根据弦长公式得、存.小界生胃1=争解得m = 0 .方程为y = x .说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的 方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式A；解决弦 长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系）， 可大大简化运算过程.例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左 焦点”作倾斜解为巳的直线交椭圆于A,

22、 8两点，求弦A8的长.分析：可以利用弦长公式|4国= ）（1 +攵2）（匹+巧）2-4内勺求 得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.|A8| = Jl + kx 引=4+/2）（须+）24演4-因为 4 = 6, b = 3 , 所以c = 373 .因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为（+£,左焦点小3瓜。），从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得:13x2 + 72+36x8 = 0 . i殳5,与 为方程两根,所以5答_ 36x8frxx2， k - J3 , 48AB = Jl + k，|xj-x2| = yl

23、(i + k2)(x+x2)2 -4xx2=:1（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为小5=1 ,设|A娟=7,怛制= 72,则|A国=12-7, BF2 = 2-n .在中,|阻2=.+归父-2|同我用cos?, 即(12-/7/)2 = / + 36 3 - 2 - /n 6-73 ;2同理在町居中，用余弦定理得=_,所以4-V3-4 + V3m + n =1348（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13/+72方x + 36x8 = 0求出方程的两根为，它们分别是A, 8的横坐标.再根据焦半径|A周=a + ex”怛制= a + % . 从而求出|Aq=

24、|A用+怛用6,相交情况下一点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在工轴上的椭圆与直线x + y-l =。交于A、 8两点，M为A8中点，的斜率为，椭圆的短轴长为2,求椭圆的 方程.解：由题意，设椭圆方程为X 2，了+厂=x+y-1=0 由”得(1 + 4)02-2小=0,X, +x2 _ 1 + cJ2 a1 + a2/. + y2= 为所求.4说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲 线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、 弦斜率问题.例2已知椭圆工+），2 = 1,求过点p L；且被。平分的弦所在的直线2 2 2 ；方程.分析一：已知一点求直线，关

25、键是求斜率，故设斜率为k,利用 条件求攵.解法一：设所求直线的斜率为k,则直线方程为y-；代入椭圆方程，并整理得( + 2k2)x2 -(2k2 -2k)x + k2 -k + = 0 .由韦达定理得内+/=2H-丁尸是弦中点，：.xl+x2=.故得k=L2所以所求直线方程为2x + 4y-3 = 0.分析二：设弦两端坐标为(外,为)、(x2, %)，列关于为、丫1、>,2 的方程组，从而求斜率：二匹.解法二：设过尸的直线与椭圆交于A«,%)、8(%刈)，则 12 2 >由题意得争才=1,<+)=1,X)+ Xy = 1,(3)Ji+%=1一得: 2将、代入得31=

26、一1，即直线的斜率为- 内一工2 22所求直线方程为2x + 4y-3 = 0.说明：(1)有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平 分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要 点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点 差法有关二次曲线问题也适用.例3已知椭圆二+ V = 1, (1)求过点且被P平分的弦所在直 212 2,线的方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点尸、Q,。为原点，且有直线”、。斜率满足求线

27、段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为yj, N（x?, >,2）,线段MN的中点R（x, y）, 则x：+2y：=2,一得工;+ 2y； = 2, /、/、/、，廿（区 + 占 X 再一9）+ 2（乃 + % Xy %）=。+ x2 = 2x,+ ）?2 = 2y，由题意知X尸X2，则上式两端同除以X1 -%，有&+/）2（M+%）"2' =。，为一占将代入得x + 2y&!& = 0.为一 超（D将1，）,=代入，得宜二匹=，故所求直线方程为： 22x - x222x + 4y

28、 - 3 = 0.将代入椭圆方程x2 +2）3 = 2得6y2 -6y- = 0 , zX = 36-4x6x，>0符合 44题意，2x + 4y-3 = 0为所求.（2 ） 将空匹=2代入得所求轨迹方程为： 王一超x + 4y = 0 .（椭圆内部分）（3 ）将上& =:二代入得所求轨迹方程为：玉 _ & x _ 2x2+2y2-2x-2y = 0 .（椭圆内部分）（4）由+得：片！ + （）,： +式）=2,，将平方并整理得4+对=4/一2中2，），一2,仍，将代入得：公：2内小+（4八29，2）=2 ,再将1% =内代入式得：2x2 -xx2 + 4y2 -2（-X

29、jX2 =2 ,2 2）即 x2+ = l. 2此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可 用其它方法解决.例4已知椭圆c：q +二=1,试确定/”的取值范围，使得对于直线I fit， 椭圆。上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上A, B两点关于直线/对称，则已知条件等价于:直线48，/ ；弦A3的中点M在/上.利用上述条件建立团的不等式即可求得?的取值范围.解：（法1）设椭圆上A（*，x）, 8（公，左）两点关于直线/对称，直线5 与/交于MQoQo）点./的斜率号=4 , /.设直线A8的方程为y = -x + n,由方程组 4=一:消去），得I 224- = 1,

30、4313x2 - Snx 4-16/?2 - 48 = 0。 /. xx + x,=. 于是 x。= - = ,- 13213112%F+F即点例的坐标为（,）.,点M在直线y = 4x+m上, 13 13/? = 4X + /?. 解得 =134将式代入式得13x2 + 26mx+169疗- 48 = 0；A , B是椭圆上的两点，A = (26机尸-4x13(169- 48) >0 .解得一出< 尸.1313（法 2）同解法 1 得出 / = - - m , / x0 = （- - m） = -in ,4134!3113y0 =Xq -in =x （/n）-m = -3m , 即 M 点坐标为（一加,-3m） 4444；4 , B为椭圆上的两点，Z. M点在椭圆的内部，.5 +应1,解得亚 加虫. 431313（法3）设AQ,y）, 8（电，力）是椭圆上关于/对称的两点,直线A8与/的 交点M的坐标为（曲,九）.2222A , 8在椭圆上，.工+'=1 ,+= 两式相减得43433（2 +x2Xx, -x2） + 4（y, + y2Xyj - y2） = 0,即 32%（%一片）+ 42丁0（/一力）=。，=-芯 4yo -又 二直线 AB±/ , ；. k mH =7 , /-二4 = -1,即%=34 o 4yo又"点在直线/上