数学物理方法第一章2011(1)

1、1教材及指导书 一、教材：一、教材： 梁昆淼编，梁昆淼编，数学物理方法数学物理方法，第四版，高，第四版，高等教育出版社，等教育出版社，20102010年年1 1月月 二、主要的参考书：二、主要的参考书： 姚端正等姚端正等编著，编著，数学物理方法数学物理方法，第三版，第三版， 武汉大学出版社，武汉大学出版社，20102010年年3 3月月2数学物理方数学物理方法法复变函复变函数篇数篇数学物理数学物理方程篇方程篇特殊函特殊函数篇数篇3主要内容: 1 复变函数 2 复变函数的积分 3 幂级数展开 4 留数定理 5 傅立叶变换 6 拉普拉斯变换4 复变函数论复变函数论 微分微分 积分积分 柯西积分定理

2、柯西积分定理 柯西积分公式柯西积分公式 解析函数的无限次可微性 柯 西不 等式 圆域内圆域内泰勒泰勒级数级数 环域内的环域内的罗朗级数罗朗级数 留数定理留数定理 留数和定理留数和定理 辐角原理 莫勒纳定理 刘维尔定理 最大模原理 保角变换保角变换 平 均值 公式 三 类典 型实 积分 的计算 傅里叶积分傅里叶积分变换变换 拉拉普拉斯普拉斯积分积分变换变换 复变函数论复变函数论5复变函数论复变函数论（theory of complex functions）：）： 研究自变量是复数的函数的基本理论及应用的数学分支，研究自变量是复数的函数的基本理论及应用的数学分支，主要研究对象是解析函数。主要研究对

3、象是解析函数。复数函数发展简史复数函数发展简史 早在早在1616世纪，一元二次、一元三次代数方程求解时就引世纪，一元二次、一元三次代数方程求解时就引入了虚数的基本思想，给出了虚数的符号和运算法则。入了虚数的基本思想，给出了虚数的符号和运算法则。1 复数起源于代数方程求根复数起源于代数方程求根 意大利的卡丹诺意大利的卡丹诺（G.Cardano,1501-1576）在解三次方程在解三次方程时首先产生了负数开平方的思想。如时首先产生了负数开平方的思想。如40(515)(515)但，由于但，由于 在实数范围内无意义，在很长时间内，直到在实数范围内无意义，在很长时间内，直到1919世纪中叶，这类数仍然是

4、不合法的。世纪中叶，这类数仍然是不合法的。1 法国的笛卡尔法国的笛卡尔（R.Descartes,1596-1690）称其为虚数称其为虚数(“虚幻数虚幻数” imaginary number)62Bernoulli和和Leibniz的争论的争论 1712171217131713Bernoulli：负数的对数是实数负数的对数是实数d()d ln()lnxxxxxxLeibniz ：不可能有负数的对数不可能有负数的对数ddlnxxx只对正数成立只对正数成立3Euler 在在17471747年对这场争论作了中肯的分析年对这场争论作了中肯的分析ln(), lnxx差一常数差一常数1740年年，Euler

5、 给给Bernoulli的信中说的信中说：2cosyx11xxyee 和和是同一个微分方程的解，因此应该相等是同一个微分方程的解，因此应该相等1743年，发表了年，发表了Euler公式公式11111cos21sin21xxxxxeexee 7Euler 认为复数仅在想象中存在认为复数仅在想象中存在，1777年年，Euler采用采用 i 代表代表15十九世纪，有三位代表性人物：十九世纪，有三位代表性人物：柯西柯西(Cauchy，17891857)维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(Weierstrass，18151897)黎曼黎曼(Rieman，18261866)经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函

6、数论经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论4 复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把复数的年，他把复数的思想融入到对代数学基本定理的证明中。思想融入到对代数学基本定理的证明中。89目的与要求：掌握目的与要求：掌握复变函数的基本概念、极限和连续复变函数的基本概念、极限和连续的概念、的概念、掌握解析函数的概念、函数解掌握解析函数的概念、函数解析的充要条件、初等函数的定义析的充要条件、初等函数的定义教学重点：教学重点：极限和连续的概念、极限和连续的概念、解析函数的概念；解析函数的概念； 函函数

7、解析性的判别数解析性的判别教学难点：映射、教学难点：映射、解析函数的概念、解析函数的概念、 初等函数中的多初等函数中的多值函数及主值的概念值函数及主值的概念学习要求与内容提要10 1. 1. 虚单位虚单位对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :; 1)1(2 i1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算.1 :2在实数集中无解在实数集中无解方程方程实例实例 x.)2(四则运算四则运算样的法则进行样的法则进行可以与实数在一起按同可以与实数在一起按同i.,称为虚数单位称为虚数单位引入一个新数引入一个新数为了解方程的需要为了解方程的需要i112.2.复数的代数形式的定义复数的代数形式的定义: : .

8、 ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 i-虚单位虚单位满足满足：i2=- -1虚部虚部记做记做：Imz=x实部实部记做记做：Rez=x ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx 称称为为复数集为为复数集,|RyxiyxzzC .000 , 0 , 0特特别别iyx时时当当. , 为复数为复数称称对于对于iyxzRyx 复数的本质复数的本质：有序实数对：有序实数对 ( (x, y) ) z=x+iy12 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部分它们的实部和虚部分别相等别相等. . 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部

9、同时它的实部和虚部同时等于等于0.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数, ,可以比较它们的大可以比较它们的大小小, , 如果不全是实数如果不全是实数, , 就不能比较大小就不能比较大小, , 也就也就是说是说: :121212z =z,xxyy设：设：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2复数不能比较大小复数不能比较大小!133.3.共轭复数及其性质共轭复数及其性质: : 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . , 的zz共轭复数记为. , iyxziyxz 则则若若例例.的积与计算共轭复数yixzyixz解

10、解)(yixyix 22)(yix .22yx .22yxzz即：.,的积是实数的积是实数两个共轭复数两个共轭复数zz结论：结论：14共轭复数的性质共轭复数的性质;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式证明略以上各式证明略. .154.复数的几何表示. . , , , . ),( 面面面面叫叫复复平平这这种种用用来来表表示示复复数数的的平平轴轴叫叫虚虚轴轴或或纵纵轴轴轴轴通通常常把把横横轴轴叫叫实实轴轴或或用用来来表表示示复复数数的的平平面面可可以以一一个个建建立

11、立了了直直角角坐坐标标系系因因此此对对应应成成一一一一与与有有序序实实数数对对复复数数yxyxiyxz xyxyoiyxz 复数的向量表示法复数的向量表示法. ),( 表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数yxiyxz+=. 向量 表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数oziyxz 16（1 1）复数的模）复数的模( (或绝对值或绝对值) ) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z22z = =x + y .xyxyoiyxz P显然下列各式成立显然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz , 表示表示可以用复平面上的向量可以用

12、复平面上的向量复数复数OPiyxz 17（2 2）复数的辐角）复数的辐角说明说明辐角不确定辐角不确定. . . Arg , , , 0 zzOPzz记作记作的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在1,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z1 ).( 2Arg为为任意任意整数整数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地18辐角主值的定义辐角主值的定义: :.arg , Arg , )0( 000zzz

13、 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在, 0 x zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,)2arctan2(p p p p xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 z19利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍5.5.复数的三角表示和指数表

14、示复数的三角表示和指数表示20例例1 1证证21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz .(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 证明证明为两个任意复数为两个任意复数设设21 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因为因为两边同时开方得两边同时开方得.2121zzzz

15、1212.zzzz同理可证：22设设z1=x1+iy1和和 z2=x2+iy2是两个复数是两个复数加减运算z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 ) 复数加减法满足复数加减法满足平行四边形法则，或平行四边形法则，或三角形法则三角形法则z1 +(- z2)- z2222111,iyxziyxz6.复数的运算交换律、结合律、分配律成立交换律、结合律、分配律成立2121zzzz2121zzzz23乘法运算12121212211212121212()i() cos()isin() expi()z zx xy yx yx y 两个复数相乘两个复数相乘等于它们的模相乘，等于它们的模相乘，幅角相加幅

16、角相加除法运算1121212212222222221121221122i cos()isin() expi()zx xy yx yx yzxyxy 两个复数相除等两个复数相除等于它们的模相除，于它们的模相除，幅角相减幅角相减242 i2 2 cos()isin(), (0,1,2,1)knnnkkkennknw幂（n整数）innnez 根ninnez/逼近000,yyxxzz25思考题思考题复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？思考题答案思考题答案 0, 和和观察复数观察复数 i , 0 i由复数的定义可知由复数的定义可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 则则 ; , 01 矛

17、盾矛盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 则则 . , 01 矛盾矛盾同样有同样有 由此可见由此可见, , 在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.261.2 复变函数(一) 复变函数的定义 E z = x+ iy . , , E z, w = u+ iv , w z (), w = f(z).设设是是一一个个复复数数的的集集合合 如如果果有有一一个个确确定定的的法法则则存存在在 按按这这个个法法则则 对对于于集集合合中中的的每每一一个个复复数数就就有有一一个个或或几几个个复复数数与与之之对对应应 那那末末称称复复变变数数是是复复变变数数 的的函函数数 简简称称复复变变函函数

18、数记记作作. )( , 是单值的是单值的我们称函数我们称函数那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值两个以上两个以上的一个值对应着两个或的一个值对应着两个或如果如果zfwz27映射(函数)的概念. , , , , 的点集之间的对应关系的点集之间的对应关系上上必须看成是两个复平面必须看成是两个复平面的几何图形表示出来的几何图形表示出来因而无法用同一平面内因而无法用同一平面内之间的对应关系之间的对应关系和和由于它反映了两对变量由于它反映了两对变量对于复变函数对于复变函数yxvu1.映射的定义映射的定义:)

19、.()( * )( )( , , 或或变变换换的的映映射射函函数数值值集集合合平平面面上上的的一一个个点点集集变变到到定定义义集集合合平平面面上上的的一一个个点点集集是是把把在在几几何何上上就就可可以以看看作作那那末末函函数数值值的的平平面面上上的的点点表表示示函函数数而而用用另另一一个个平平面面的的值值平平面面上上的的点点表表示示自自变变量量如如果果用用GwGzzfwwwzz 28. ),( , * )( 的原象的原象称为称为而而映象映象的象的象称为称为那末那末中的点中的点映射成映射成被映射被映射中的点中的点如果如果wzzwwGzfwzG . )( 所构成的映射所构成的映射函数函数这个映射通

20、常简称为由这个映射通常简称为由zfw 29(二) 区域的概念 定义定义由不等式由不等式(为任意的正数为任意的正数) )所确定的平面点集所确定的平面点集( (以后平面点集以后平面点集均简称点集均简称点集) )，就是以，就是以z0为中心的为中心的邻域或邻域。而邻域或邻域。而称由不等式称由不等式0zz00zz 所确定的点集为所确定的点集为z0的去心的去心邻域或去心邻域邻域或去心邻域。0z实函数定义域实函数定义域复函数定义域复函数定义域推广30 定义定义设设E E为点集，为点集，z0为为E E中的一点。如果存在中的一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于的一个邻域，该邻域内的所有点都属于E

21、 E，则则称称z0为为E E的的内点内点；若点若点z0的某一个邻域内的点都不属于的某一个邻域内的点都不属于E E，则称则称点点z0为为E E的的外点外点。若在点若在点z0的任意一个邻域内，既有属的任意一个邻域内，既有属于于E E的点，也有不属于的点，也有不属于E E的点，则称点的点，则称点z0为为E E的的边界点边界点，点集点集E E的全部边界点称为的全部边界点称为E E的边界的边界。内点，外点，边界点内点，外点，边界点 开集开集 注意注意 区域的边界可能是区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所由几条曲线和一些孤立的点所组成的。组成的。定义定义 若点集若点集E E的点皆为内的点皆为内点，则

22、称点，则称E E为为开集开集Ez0开集31 定义定义点集点集E E称为一个区域，如果它满足称为一个区域，如果它满足： (1)E(1)E是一个开集是一个开集； (2)E(2)E是连通的，就是说是连通的，就是说E E中任何两点中任何两点z1和和z2都都可以用完全属于可以用完全属于E E的一条折线连接起来的一条折线连接起来。 通常称具有性质通常称具有性质(2)(2)的的集为连通的，所以一个区集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。域就是一个连通的开集。区域区域E E加上它的边界加上它的边界C(pC(p) )称为称为闭区域闭区域或或闭域闭域，记记为为E区域Ez1z2p32邻域邻域z复平面上圆复平面

23、上圆内点的集合内点的集合 内点内点z 和它的邻域都属于和它的邻域都属于 B， 则则 z 为为 B 的内点的内点外点外点z 和它的邻域都不属于和它的邻域都不属于 B， 则则 z 为为 B 的外点的外点境界点境界点 不是内点，也不是外点的点不是内点，也不是外点的点境界线境界线全体境界点的集合全体境界点的集合z区域区域内点组成的连通集内点组成的连通集合合闭区域闭区域区域和境界线的全体区域和境界线的全体区域区域rzz0区域概念总结区域概念总结33Rz |x yORx yORRz |x yROrRzr|10Im,|zRzx yR-ROxO y0Imz21argzxO y2134 单连通域与多连通域 设设

24、B为复平面上的一个区域为复平面上的一个区域，如果在其中作如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于而曲线内部总属于B ，则称则称B为为单连通区域单连通区域，否，否则称为则称为多连通区域多连通区域。BB单连通域多连通域35举例2|z1Re|zz用复数表示的平面点集用复数表示的平面点集2/1Rez22Reaz bzazRe,arg4arg0piziz111zz36(三）初等解析函数 , . (cossin )zxeeyiy 注注意意没没有有幂幂的的意意义义 只只是是一一个个符符号号代代表表1 1 指数函数指数函数.)sin(co

25、s.的指数函数的指数函数为为称称设设zyiyeeiyxzxz 定义定义;)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上处处解析平面上处处解析在在;)(2121zzzzeeec .2)(为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以iedzp p这里的这里的ex是实是实指数函数指数函数实的正实的正余弦函余弦函数数zxzzaeeeyeykkz( )|0, arg() e0 Arg()2,Zp p 性质：性质：37三角正弦与余弦函数三角正弦与余弦函数,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将将两式相加与相减两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy

26、现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况. 2 三角函数38三角函数.,2cos.,2sin余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数定义定义称为称为称为称为izizizizeezieez .cos,sin)1(是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数zz 性质性质.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz p p p p .sincos)3(zizeiz .2)2(为周期为周期以以正弦函数和余弦函数都正弦函数和余弦函数都39 , sin, cos. 2yyeeyyiyii 当当时时( (注意

27、：这是与实变函数完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的) )sinz的零点的零点(i.e. sinz=0的根的根)为为z=ncosz的零点的零点(i.e. cosz=0的根的根)为为z=(n+1/2)n=0,1, 2,n,2sin00izizizizeezeie 21 i zeznnZp p(4)(5)sinz,cosz在复数域内均是无界函数在复数域内均是无界函数40.cossintan正切函数正切函数定义定义称为称为zzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函数是奇函数 性质性质.tan)tan(:tan)2(zzz p p p p为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以 其

28、它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1ec zzs 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数41 3 双曲函数.,2ch.,2sh双曲余弦函数双曲余弦函数双曲正弦函数双曲正弦函数定义定义称为称为称为称为zzzzeezeez ;sh)sh(:sh)1(zzz 是奇函数是奇函数 性质性质;ch)ch(:chzzz 是偶函数是偶函数 ;2ch,sh)2(为周期的周期函数为周期的周期函数都是以都是以izzp p ;sh)(ch,ch)(shzzzz 且且平面上处处解析平面上处处解析在在,ch ,sh )3(zzz; 1shch

29、)4(22 zz.ch)cos(,sh)sin()5(zizziiz 424 4 幂函数幂函数:, 0,的幂函数的幂函数用下列等式定义用下列等式定义对于对于是任意复数是任意复数设设zz 定义定义).0(Ln zezwz . 0,0, zz时时补充规定补充规定是正实数时是正实数时当当;,lnLn., )1(ln的主值的主值称为幂函数称为幂函数时时取主值取主值当当是一个无穷多值函数是一个无穷多值函数一般说来一般说来 zezzzzz 性质性质.)()2(1 zz(3) 令令z=rei=r(cos +isin ), zn= rnein=rn(cos(n) +isin(n) )435 5 对数函数对数函

30、数.Ln , )( )0( zwzfwzzew 记为记为称为对数函数称为对数函数的函数的函数满足方程满足方程因此因此zizzwArglnLn ikzizp p 2argln)., 2, 1, 0( k所以所以支支的的数数称为对数函称为对数函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值zzzizzp p p p )., 2, 1, 0(2lnLn p p kikzz44. . , , , , 的一个分支的一个分支称为称为可确定一个单值函数可确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zkLn;Ln )1(是一个无穷多值的函数是一个无穷多值的函数z性质性质;LnLnLn,LnLnLn,

31、0, 0)2(2121212121zzzzzzzzzz 则则设设且且处解析处解析处处实轴外实轴外在平面上除去原点和负在平面上除去原点和负,ln, )3(z.1)(lnzz 45(四）、函数的极限1.函数极限的定义函数极限的定义:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称有有时时使得当使得当相应地必有一正数相应地必有一正数对于任意给定的对于任意给定的存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或记作

32、记作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中zz 462. 极限计算的定理极限计算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要条件是的充要条件是那末那末设设证证 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根据极限的定义根据极限的定义 , )()(0 00时时当当 iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.47 , )()(0 2020时时或当或当 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),

33、(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020时时那么当那么当 yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有48 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0时时故当故当 zz,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以证毕证毕说明说明. ),( ),( , ),(),()( 的极限问题的极限问题和和函数函数转化为求两个二元实变转化为求两个二元实变的极限问题的极限问题该定理将求复变函数该定理将求复变函数yxvyxuyxivy

34、xuzf 49定理二定理二).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末设设与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.50（五）、函数的连续性1. 连续的定义连续的定义:000 lim( )(), ( ) . ( ) , ( ) . zzf zf zf zzf zBf zB如如果果那那末末我我们们就就说说在在点点处处连连续续 如如果果在在区区域域内内处处处处连连续续我我们们说说在在内内连连续续. , )()(lim )( 000

35、CzzfzfzCzfzz 处连续的意义是处连续的意义是上上在曲线在曲线函数函数51定理三定理三.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu , ),(22在复平面内处处连续在复平面内处处连续yxyxv . ),( 处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处故故yxf52定理四定理四. ) ( )( )( (1)000处仍连续处仍

36、连续在在不为零不为零分母在分母在积、商积、商的和、差、的和、差、和和连续的两个函数连续的两个函数在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000连续连续处处在在那末复合函数那末复合函数连续连续在在函数函数连续连续在在如果函数如果函数zzgfwzghhfwzzgh 53特殊的特殊的:,)(2210nnzazazaazPw (1) 有理整函数有理整函数(多项式多项式) ; 都是连续的都是连续的对复平面内的所有点对复平面内的所有点 z(2) 有理分式函数有理分式函数,)()(zQzPw , )( )( 都是多项式都是多项式和和其中其中zQzP在在复平面内使分母不为零的点也是连续的

37、复平面内使分母不为零的点也是连续的.541.31.3导数导数( (微分微分) )1.1.导数的定义导数的定义: :, , , )( 00的范围的范围不出不出点点点点中的一中的一为为定义于区域定义于区域设函数设函数DzzDzDzfw , )( . )( 00的导数的导数在在这个极限值称为这个极限值称为可导可导在在那末就称那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记作记作 , )()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 55在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的方式是任意的的方式是任意的即即 zzzz.)()(,0000都趋于同一个数

38、都趋于同一个数比值比值时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可导可导在区域内在区域内就称就称我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数DzfDzf56例例1 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 57例例2 .Im)(的可导性的可导性讨论讨论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而使而使向向当点沿平行于实轴的方当点沿

39、平行于实轴的方 zy58zzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(时时而使而使向向当点沿平行于虚轴的方当点沿平行于虚轴的方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极限值不同极限值不同时时当点沿不同的方向使当点沿不同的方向使 z.Im)(在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导故故zzf 59例例3 是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行

40、于设设zxzz xyoz0 y60 xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 612.2.可导与连续可导与连续: : 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证 , 0可导的定义可导的定义根据在根据在 z, 0, 0 , |0 时时使得当使得当 z,)()()( 00

41、0 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 则则 )()( 00zfzzf 因为因为 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0连续连续在在即即zzf证毕证毕 ,)( )(0zzzzf 623.3.求导法则求导法则: : 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致, , 并且复变并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, , 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地因而实变函数中的求导法则

42、都可以不加更改地推广到复变函数中来推广到复变函数中来, , 且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的. .求导公式与法则求导公式与法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn 63 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是

43、是与与其中其中644.4.微分的概念微分的概念: : 复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数定义定义65. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函

44、数在如果函数在zzfz特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf66可导可导：对任何方向的对任何方向的，极限都存在并唯一。极限都存在并唯一。xyzzz zz复数复数复函数复函数z沿任一曲线沿任一曲线逼近零。逼近零。5 5柯西柯西黎曼方程黎曼方程0 xx实数x实数实数： x沿实轴逼近零沿实轴逼近零。因此，复函数的可导性是比实函因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。数的可导性条件强得多。67柯西柯西黎曼方程黎曼方程z沿实轴, y0 xvixuzxvixuzz0limyiviyiuzyuiyvzz0lim可导，要求二者相等xvyuyvxu必要条件z沿虚轴, x068可导的充分条件:f(z)的yvxvyuxu,存在，连续且满足柯西黎曼方程。证：偏导数连续，则二元函数u 和v 的增量可分别写为12uuuxyxyxy34vvvxyxyxy随着则000()limlimlimzzz